Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка (2001) (1135779), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Найдем те значения параметра Й, при которых изоклика у = Й вЂ” 2 удовлетворяет дифференциальному уравнению у'. = у+ 2. Получим Й = О, Епкин гвенная асимптота задается уравкеинем у = -2. Пример 8.3. Применяя'метод изоклнн, построить семейство интегральных кривых дифференпкального уравнения Решение. Областью определения функции является мно- жество точек, координаты которых удовяетворяют неравенству 2л-у: > О, т.е. у < 2я. Функция У(л, у) = 1п(2х-у) определена к 1 непрерывна при у < 2х, а ее частная производная ~ = —— 2ху — у ограничена в зтой же области.
По теореме Коши через каждую точку области у < 2в проходит интегральная кривая и при том только одна, Нзоклкны задаются уравнениями й = 1п(2я — у), т.е. у = Ф = 2х-с (рвс. ВА) Определим области возрастания и убывания частных решений, а также сушествованне точек зкстремума: у' = 0 сз 1п(9з — у) = О, позтому у = 2х — 1 — геометриче- ское место точек возможных зкстремумов; у' > 0 ег у < 2з — 1, а у' < 0 сз 2я — 1 < у < 2я, позтому у < 2я — 1 — область возрастания, а 2з — 1 < у < 2к — область убывания интеграль- рпс. В.е вых кривых, На прямой у = 2х-1 находятся точки минимумов интегральных кривых, Исследуем вторую 'производную: у" = (1п(2х — у))' = 2- 1п(2х — у Интегральные кривые имеют выпуклость 2х-у вниз при 2я — сз < у < 2в и вверх при у < 2я — е, Найдем 3 асямптоты интегральных кривых.
Проверим, существуют ли интегральные кривые, совпадающие с нзоклкнами (такие кри- вые являются аскмптотами). Найдем, прк каком Й график кзо- клииы задается функцией у ж 2к — с, являющейся решением 'з Ы(2в — еь) дифференциального уравнения = 1п(2х — (2з — е )). Получим Й = 2, т.е. у = 2к — ет является аскмптотой к инте- гральной кривой, На граннае областк опред ленив лежит пря- мая у = 2я, которая не является интегральной кривой. При у -+ 2в 1п(2х — у) -+ оо, т,е, у' -+ оо и угол наклона интеграль- ных кривых стремится к —, 2' 9. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 1. Определить тип дифференциального уравнения к найти его общий интеграл: 1) 2хгуу~+ уг = 2, Регпение. Это уравнение с разделяющимися переменны- ми. Разделим обе части исходного уравнения на *г(2 — уг) 14 0 2У4у (Ь и перепишем его в виде — = —.
Проинтегрируем полученуг хг нос уравнение: 1п ~уг — 2~ = — + С или у — 2 = С1е ° з/х. х 2) ху'+ 2У+хзузе* = О, У(1) = е. 1 Решение. Это уравнение Бернулли. Введем х = —, У 14 О, У Учитывая, что з = -2 —, получаем — з + 2з = -х е . у х / з х у -2 Это линейное неоднородное уравнение. Решаем соответствухсз оз ех юшее однородное — + 2з = 0 илк — ж 4 — еь 1пф = -2~Ь з х = 41п ~х~+1п С =ь х = Сх4.
Методом вариации постоянной опре- деляем С(х) (~4х4 + 4хЗС) + 2Сх4 хзее з С! 2ех -2 =ь О = 2е + С1, тогда з = 2х4ез + Сзх4. Общее решение." у г — 2х4е' + Сгх4. Заметим, что у = 0 является решением уравнения. Найдем частное решение у(1) = е =ь 2е+ С1 = ж Е =Ь С1 ю -С. ТОГда у г = 2Х4Е" — СХ4 = Х4(2се — Е); 3) у =3*у' — 7уз Решение. Это уравнение Лагранжа. Введя параметр р ж = у', долучкм у = Зхр — 7рз; возьмем полный дифференциал, учитывая, что Иу = ЗмЦ". ЗьЬ = Зрех+Зхар-21ргНр илк -2рох = 2 дх Зх 21р = (Зх — 21р )Нр, Йерепкшем его в виде — + — = —.
Это лиЫр 2р 2 нейное неоднородНПЕ 'урай74ение, Решаем соответствующее од- ~Ь Зх С породное: — + — = 0 Ф й = —. Методом вариапкк посто~р~з/г ' С' 3 С 3 С 21 якной находим С(х): - — — + - — — — р хз С' = фз/г 2 фз/г 2 ~фз!2 2 21 х=Зр + г 3/г ~С 3 7/г+С ~ „~з/г' 2 у = Зхр — 7р"; 4) у — ху'= 4 Я Решение.
Это уравнение Клеро. Перепишем его в виде у = ху' — 4 Я, Полагал у' = р, получаем Дыфференпируя последнее уравнение к заменяя Иу на рИх, нахо2Ыр / 2 1 дкм рех = рдх+хЫр- —, откуда Нр~х — — ( = О. Приравни,/р' ~,/р( ззя нулю первый множитель, получаем Нр = О, откуда р = С. Общее решение исходного уравнения есть у = Сх — 4 = 4С, 2 Пряравнивел нулю второй множктель, находим х = —. Нс- ~/р ключах р из этого уравнения и из уравнения (9.1), получаем 4 у = — — — решение исходного уравнения. П.
Решить задачу Коши; 1)х(у' — у) = ех, у(1) = е. Решение. Это линейное неоднородное уравнение. Разделки обе части исходного уравнения на х ф 0 и решим соответствующее однородное уравнение у — у = 0 нлк — = Нх =ь Ну у х~ 1п ~у~ = х+ С кли у = Сге'. Далее методом вариапик постое», 1 яккой определяем С1(х); С'ех+С1е -С1а = — или С~~ = — еь х 1 х ~ С1 = 1п ~х~ + Сг. Тогда общее решение такое: У = е 1п ~х~ + +Стех, Частное решение найдем, подставив началькые данные в общее решение: е = Сгс =ь Сг = 1 =ь у = ех(1п )х~+ 1); 2) ху' — ухе хзу-, у(1) ю я/2. у х' Репзекяе.
Это однородное уравнение первого измерения, так как функции М(х, у) = х и Р(х,у) = у+ хгй- являются у х одкороднымк первого измерения. Положим — =- $, тогда у' = У И / аз й Ых 1+х — и х~з+х — ( = $х+хзуз Ф вЂ” ю Ь 4х ~ Ь( х 31 :х !и!»!п»~ = 1пф + С или йп- = Сх. Тогда частное ре* У х щенке, отвеча»ощее начальным данным, будет вьпллдеть тан: «!и- =х.
у 10. ЗАДАс4И ЛЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Проинтегрировать следу»очке дифференднальные уравне- 1.х+ ху+ уу'(1+х) =О. Ответ: х + у =!и!С(х+ 1)(у+ 1)!. 2. 2уу' = х(у' + 4). 1 Ответ: у = сх~ + —; у = ~2х. 2. х«Л + ут + УА + х у' = О. Ответ: «/Г+х~+ Д+ у = С. 4. (1+ я»)у'+ У4Г+х~= ху, сА+ х Ответ; у= х + «/1+ х' 5. (1+ею)~Ь+сю ~1- -)»!у =О, у(0) = 1. у а Ответ: х+уею = 1.
6, Зххст + (х«ев — 1)у' = О, у(0) = 1. Ответ. хлев — 1 = -1. 7. (хв + ув)»!х — ху»!у = О, Ответ: ух = х»(!и!х1 — с). 8. Уу' = 2у — х, Ответ: у-х = Сс~""', 8. (1 — х')йу- у»Ь =О, у(0) = 1. 1 Ответ: у = —. 1-х 10.'ху со» вЂ” = усов- — х, у у х х Ответ: е!п-+)пф = С. 11. у = -ху~ + у~~. с 2 Ответ; х= - — р, у=-хр+р р ~в.
Ф = Ь ~ „'Р+~~»и,. Ответ: Схт = у+ /х~+ух, 13. ху' = у )н —. у Ответ: у ж хе~с+1, 14. (х + 1)ф — (2у + (х + 1)4»!х = 0. 1 Ответ: у = С(х ~. 1)х + -(х + 1)4. 2 16, у'х+ у = -хув. 1 Ответ: у = —. х1п!Сх~ ' 17. Ыу = (х5 у~ — 2у)й», 1 О*~ю: у -х~+ Сх з ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ Я АВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Редактор 0.3з'. Королево Корректор В,В, Малюозона СПИСОК РЕКОМЕНДУЕ36ОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Аеоеуонов С.Ао Герман А,Л., Муровеево Т.В. Дифференциальные уравнение: Учебник длл вузов, Мл Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 1997. 2. Арнольд В.В, Обыкновенные дифференциальные уравнение. Мл Наука, 1971. 3. Пснзуовснок Я,Г. Лекции по теории обыкновенныл диффереипиальных уравнений, Мл Наука, 1970. 4, Сомоблснко А,М,, Крнеошвл С,А., Псреснзюв В.А. Пиффо. ренцнальные уравнении: Примеры и задачи.
Мл Иыспзлцко 1969. 6. Снзеоанов В,В. Курс дифференциальных уравнений, Мл Гостехнздат 1962, 6. Филонове А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Мл Наука, 1979, Владимир Георгиевич Богомолов Ирина Евгеньевна Кандаурова Светлана Ивановна Шипонина Изд. лнц. Ма 020523 от 25.04.07 г, Подвксаио в цечать 01.10.01. формат 60к64/16.
Бумага офсетнак Печ. л. 2,6. Уел. кеч. л, 2,33. Уч.-кзд. л, 2,10, Тираж 60 зкз. Изд. Иа 3. Заказ №В Издательство МГТУ им, Н.Э, Баумана, 107006, Москва, 2-в Ваумакскак, 3. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
