Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка (2001) (1135779), страница 2
Текст из файла (страница 2)
После дальнейших преобразований и подстановки а ж - получим общий интеграл исходного у уравнения; Чтобы найтк частное рещение, в общее решение подставим начальные условия х = 1 и у ж 0: 2х тогда у = х — — - частное решение. 1п]я~+2 4.ЛИНЕИНЫЕЛИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 'УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯЛКА Определенке. Линейным дифференпиальным уравнением' первого порядка называется уравнение, линейное относитакьно неизвестной функции и ее производной. Оно' имеет вид где р(х) и д(х) — заданные фунхпни от х, непрерывные в области отыскания решения уравнения «4.1). Определение.
Если д(х) = О, о уравнение (4;1) называется линейным однородным, а если д(х) 14 О, то уравнение (4.1) называется неоднородным. Существуют два метода решения неоднородного линейного уравнения (4,1): 1) метод варнапнн произволькой постоянной (метод Лагранжа) и 2) метод подстановки. Метод варяаиия произвольной Постоянной (метод Лагранжа).
Находим общее решение соответствующего линейного однородного уравкения у'+ р(х)у = О, Это уравнение с разделяющимися переменными, его общее решение будет выглядеть так; у = Се ) я(*)зс. Решение неоднородного уравнения (4.1) будем искать в таком же ваде, полагая С = С(х). Тогда у = С(х)с ) "(") ~, (4 2) где С(х) — човая неизвестная функция, Подставляя у из (4.2) н соответствующее у' в (4.1), определяем С(х), так яак решение (4.2) должно удовлетворять (4.1). Пример 4.1. Решить уравнение Решение.
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение у'+ 2ху = О. Это уравнение с разделяющимися перемен. ными. Общее решение зтого уравнения можно ззлнсать таким образом: у = Се * . Общее решение неоднородного уравнения (4.3) ищем, согласно (4,2), в виде где С(х) — неизвестнзл функция от х, .Подставляя (4.4) в (4.3), получаем С'(х) = 2х, Отсюда С(х) = хз+ С. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (4.3) будет следу-зз юшин: у = (хз + С)с *, где С вЂ” постоякная интегрирования, Пример 4,2.
Решить уравнекне Решение, Рассмотрим соответствующее однородное урав- 5 некие у' — -у = О. Решая его как уравнение с разделяющимися переменными, получаем его общее решекне у = Схз. (4,5) Полагая в (4.б) С = С(х) к подставляя в (4.5), находим С'(х) = = х 7. Отсюда С(х) = — — + С. Тогда у = -' — + Сх есть б бхб бх общее решение неоднородного уравнения (4,5). Метод подстановки. Полагаем у=и(х) ( ) (4.7) где и(х) и е(х) -- неизвестные функдии от х, окка из которых, например е(х),может быть выбрана произвольно, Подставляя (4.7) в (4.1), после преобразований получаем с +( „+„с) (4 8) Определим е(х) нз условия е+ ре = О, а затем из (4.8) найдем функпню и(х).
Подставив и(х) и е(х) в (4.7), получим решение уравнения (4.1). В качестве е(х) можно взять любое частное решение уравненкя е'+ ре = О, е 71 О, Пример 4.3. Рассмотрим уравнение (4,5), решенное ме- 5 1 годом Лагранжа: у' - — у = —. хз Решение, Пусть у = и(х)е(х), тогда у' вв и"е+ ие". Подставляем у н у' в исходное уравнессие, получаем и'и+ и~и — -е/ =— х,7 хз 5 Положим е - — е = О, Решая зто уравнекне с разделяюпшх мнся переменными, находим ~е~ = ев~х~з или е = хевхб, Положим здесь С = О н возьмем знак а+ е; тогда е = х . Подставив Ь 1 зто решение в (4.9) получим в итоге и = — — + С и, накопед, бхб 1 '1 1 придем к у = хз — — +С~ = — — + Сх, бхв ! б Пример 4.4, Решить уравнение у'+ 2ху = 2хзе в . Решение. Положим у = и(х)е(х) н, подставив зто в кс- ходкое уравнение, получим и(е + 2хе) + еи' вв 2хзс (4.10) Уравнение е+ 2хе = 0 имеет частное решение (при с = О) е = в 2 3 = е"', подставив которое в (4,10), найдем и = -х +С.
Отсюда з/2 у вв ие = е в ~- х + С есть решение исходного уравнения. ~3 Прньсер 4.5. Проинтегрировать уравнение с 1 ясов(у)+ ав1п2у' (4.11) Решение. Уравнение (4,11) ке является линейным относн- сзх тельно у. Приведем его к линейному относительно х н х' = —: е =,~у ' ах — — хсову = авсп2у. ау (4.12) Положим х = и(у)е(у), Тогпа ф = иф + е-с~~с = ие', + еи',. Подставим х н х'„в уравнение (4,12), получим е(и„' — исову)+ ие', = ав1п2у, Положив и'„— исову = О, найдем его частное решение и = е""в, подставив которое в (4.13), получим уравнение всз свсзв — = авсп2у. Решал зто уравнение, придем в итоге к асу е(у) = -2а(всп у+1)с "" в+ С.
Общее решение уравнения (4.11) будет иметь вкд х(у) ие св~вв( 2а(вшу+ 1)е-всвв+ С) вв = -2а(в1пу+ 1) + Сенп в. 6. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Определение. Уравнением Бернулли называется уравне- ние вила у'+ р(х)у = д(х)~, (5.1) где р(х), е(х) — функции от х, которые определены и непрерыв- ны на интервале (е,й); а — вещественное число, отличное от 0 'и 1, Введением новой переменной х(х) = уг е уравнение (5.1) можно свести к линейному уравнению. Методы решения уравнения Бернулли: 1) сведение к линейному подстановкой х = уз е, 2) метод вариапин произвольной постоянной, 2) подстановка Бернулли у(х) = н(х)и(х). Замечание. Применять методы 2) и 2) можно непосред- ственно к уравнению Бернулли, не сводя его к линейному.
Пример 6.1. Проинтегрировать уравнение у' — 2»у = = 2»3 уз и найти интегральную кривую, проходящую через точ- ку (1,0). Решение. Сведем уравнение к линейному, положив х хх = у 3. Получим х'+ 2хх = -2хз. Используем метод вари- ации произвольной постоякной, Решаем соответствующее од- 4Ь породное уравненке х' + 2хх = О, откуда — = -2хх. Разах делЯЯ пеРеменные, полУчаем Я»Я = -2хсЬ, !Нф = -хз+ С2, !Нф = 1пе * + !не~2, х хх Се '.. Решение линейного ке- однородиого уравнекия »' + 2х» = -2хз будем искать в виде х = С(х)е " . Чтобы найти С(х), подставим зто решение в уравнение ~ -хз -хз 2 С~-х +С-х( 2)+2С-х 2 -хз з 3 хз С'е х = — 2»; С'(х)е * = -2х ех; Решением линейного неоднородного уравнения явлнетсю -хз 2 2 2 - „2 .,- 2 » =С(х)е " = (-хзех +ех +С)е ' ='Се х +1 — хз. 1 Возврзшвлсь к переменной у„получкм у Се-х + 1 22 Подставив начальные условия в зто уравнение, найдем интегральную кривую, проходящую через точку (0,1): 1 1= — ~ С=О.
С+1 не+в~и+ — и~ = — и и. 2 ~ Йи йх О. Отсюда — = — —, 1п!и! = и 2»'. последнее уравнение, найдем 2 Подберем и так, чтобы и'+ — х хх ж -2!пф+ !и!Сг~, Потекпкруя С3 а = —. Подставляя найденное хз С1, 1С2 2 2 езсг Ф = — Ф се» хз х х~ хз и в уравнение (5.2), получим 1 Искомым частным решением является у =— 1 — хз Пример 6.2, Проинтегрнроватьуравненне (ху+х у )у = 2 3 = 1. ех Решение.
Приведем уравнение я виду (5.1): — — ху = еу — хзуз„Это уравнение Бернулли с неизвестной функцией х(у). 2. 1 и* у 3 Делим обе части уравнения на х: — — — — хх у . Положим язву х х = —. Получим линейное уравнение»'+ ху = -у . Интегрируя 3 -23 1 его находим х =!2 — уз + Се+'). Следовательно, х = - = 9 х 1 2 — уз+ Се'+ 2 Пример 6.6. Проинтегрировать уравнение у'+ -у = — у, х х Решение. Решим уравнение непосредственно методом подстановкю у = их, у' = и'х+ ие'.
Подставляя у и у' в исходное уравнение, получки Й~ С1«1х разделяя переменные, придем к — = —. е2 3 С1 С2 2хз Следовательно, -- = — — — †, откуда е = 9 2х2 2 С1 + Сдх С1 2х2 Обшее решение уравнения: у м и(х)е(х) = — 1 х2 С1+Сзхз 2С1 2 С1 С2 СЗ Пля укроп«ения кокс танту — заменяем на С, т.е, С = —, С1 С,' 2 Тогда о«йдее решение примет вкд у = — х, Замечание. Обшее решение уравйения первого порядка у = ««>(х, С) зависит от аргумента х и одной произвольной по- стоянной С. Прокзвольная постоянная, полученная при вычи- слении первого множителя и(х)> всегда входит в произвольную постоянную, полученную при вычислении второго множктеля ' е(х), как мы увидели в пркведенном примере, Поэтому при вычислении первого множителя и(х) произвольную постоянную можно считать равной О, Пример $.4.
Проинтегрировать уравнение у' — ху уз«х Решение. Полагаем у(х) = и(х)е(х)> у' = и'е+ ие>. Под- ставляем у к у' в уравнение: ив+ее -хаем -и е е > 3 3 хз г«4е >1 3 3 з ие+е« вЂ” -хе~ ж-в е с ~ь «Ь Положив — - хе = О, получим дифферекднальное уравкенке ««х «1е и с разделяюшимися перемениымк — = х«1х, 1п ~е~ = —, т,е. е ' 2' е = «~, Подставляем найденную фуккщао е(х) в (5.3), тогда З~ ««3 «гн - г — = -и~«2, или — = -а . Разделяем переменные — — 3 = ~Ь ' «Ь аз ,1х — = х + С, находим и (х) = .
Отсюда У 1 2 ' аз 2(х+С)' «* 2 х пзп2 = —, общий интеграл имеет вид 2уз(я+ С) = «', 2(х+ С) Пример Ь 5 Решить уравнение Берпглли ху + у = уз1пх. (5.4) Решение. Используем метод вариапни произвольной постоянной, Обшее решение соответстпуюпзего одпорошюго урав- С пения ху'+ у = О имеет вид у = —. Обшее решение уравнения х С(х)- (5,4) залишем так: у = —, Подставим зто выражение и х )пх (5.4) получим С'(х) = С (х) — 2. Это уравнение с разделюо- > щкмися переменными, разделяя которъ«е и интегрируя, получим — = — + — +С1, С(х) = 1 1пх 1 . х , Обшее решепне С(х) х х ' 1+ С«х+1пх' 1 уравнения (5.2) примет внд у = 1+ 1х + !пх 8.
УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ПИФФЕРЕНЦИАЛАХ Определение. Пифферендиаяьпое уравнение вида Р(х,у)4х+ ««(х, у)«1у = О (6.1) называется уреапением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функппп «>(х, у). Уравнение можно переписать так: «111 = О, н тогда его обший интеграл будет выглядеть следувщиз«образом: У(х,у) = С. Предположи.л, что фгнкдпи «"-(х,у) и «~~(х,у) о и непрерывны в некоторой кц«освязной«области П > улГ «У у1~) 1" Ы.г1А Из формул (6.3) следует, что дР дзУ д«') дзУ ду дхду дх дудх (6.4) ией непрерыв!«ые частные производные по х и по у. Так как дУ' дУ дУ = — Уг + — лу, дх ду дУ дУ вЂ” = Р(х, у)', — = «ь!(х, у). Решение, В зз.данном уравнении Р(х, у) = с з., Я(х, у) = д'Р хс-к — = -е к и — = -с ".
Так как — =— то уравнение яЪляется уравпейиеы в полных лифферепциалак. Непосредственно восстановим функцию У(х,у) по ее частным дУ л дУ производным: — = Р(х,у) = е ". Тогда У = ) — «Ь+ дх дх +«р(у) = с "«Ь + «р(у) = хе " + «р(у). Иля определения «р(у) продифференпируем найденную функцию У(х, у) по у: дзУ дзУ Поскольку — = —, то нз (6.4) получаем дхду дудх' Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы уравнение (6.1) было уравнением в полных лифференпиРешение уравнения сводится к восстановлению функции по ее полному дифференпиалу, Интегрируя первую формулу (6.3) дУ по х, получим У =- ) — дх+ «р(у), где «р(у) играет роль произдх вольной постоя!«ной, Лля определения «р(у) продифференпируем найденную функпи10 'м(х, у) по у! ! ду = д, ««и +«Р(У) Полученная частная производная долЖна, бйть равна фх,у), ~ дУ Из уравнения ~ ) — «Ь) + «р~(у) ж фх,у) кайлам функпию «р«(у), интегрируя которую, вычислим «р(у) и подставим ее в и(х, у), Пример 6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
