Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка (2001) (1135779), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти общий интеграл дифференпнальиогоч уравнения е кох+(1- хе к)ау = О, приравняем полученную производную уже известному значению фх,у) = 1 — хс -хе "+«р'(у) = 1-хе "; «р'(у) = 1, откуда «р(у) — у+ Сы Тогда У(х, у) = хс к + у+ С), 0бцшм интегралом уравнения «Ш = О будет хе к + у + С1 = Сз, т.е. хс л + у = С, где С = Сз — С1. Пример 6,2.
Решить уравнение Ох~у««х + (хз — у)5у =- О. дР дЯ Решение. Проверим условие — = —: ду дх дР Р = Ох~у — = 5х д у дЯ' , дР д~~ Я = хв — у — ' = 5х~, дх ' ду дх ' Условие равенства.частньгя производных выполнено, следовательно, существует У(х, у) такам, что дУ = Р~Ь+ЯЫу, Из равенства — = «."г(х,у)находим У = )'(х -у)ду= х у- — '+«р( ); полученное выражение подставляем в равенство — = Р(х,у). Лля зтото определяем — = Ох у+«р (х) = бх у, слелователы, дУ 4 ! 4 дх ю (х) = 0 к у(х) = С.
Таким образом, ц"(х, у) = хэу Тогда общий интеграл уравнения запишем в виде хзу- — = С. 2 Иногда существует функция пз(х,у), после умножения на которую уравнение Р(х, у)ох+Я(х, у)еу = О становится уравнением в полных дифференциалах, тогда эта функция называется кнтегрирукяцим множителем. Пример 0.3. Решить уравнение Му — удх = хдх.
Решение. Заметим, что х = 0 является решением этого у~авиення. Если х З1 О, умножим обе части этого уравнения на —. Получим хз или ~-+ — ) 4х- - Иу = О. Очевидно, что, — = — = —. Ис- /1 у1 дР 1 дЯ 1х хз) х ' ду хз дх" ходкое уравйенне является уравнением в полных дифференциалах, Легко заметить, что уравнение (6.6) можно преобразовать к виду д~-) ж Ы!ли.
Откуда — = 1п х+ С вЂ” общий интеграл /у'1 у Ы х исходного уравнения, 7. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛИО Определение, Уравнением Лагранжа называется уравнение вида а(у')х+ е(у')у+ с(у') = 0 илк у = ху(у')+ у(у'), Чтобы решить это уравнение, введем параметр р = у'. Тогда ду = рдх. Проднфференцкровав уравнение у = хЯр) + д(р), получим рдх = Др)~Ь + у~(р)др+ х~(р)др, ние исходного уравнения зелкшется в параметрическом виде х = Ф(р,с) у = хор) + у(р). Определение. Уравнением Клеро называется уравнение вида у = ху' + у(у'). Оно получается нз урз,внення Лагранжа при з(у') гк у.
Вводим параметр р = у'. Дкфференцируем уравнение у = = хр+ у(р). Учитывая, что еу = рИх, получаем рдх = умЬ+ ядр+ у'(р)др илн ядр+ у'(р)др = О, т,е. х = -у'(р). Общее решение уравнения Клеро имеет вид у = Сх + у(С) и представляет собой семейство прямых. Пример т.1. Решить уравнение у = х(у') — у'. Решение. Введя параметр р = у' и продифференцнровав уравнение у = хря — р, получим рдх = рэех + 2рхдр- др или, сгруппировав слагаемые прн ~Ь к Ир н поделив на ер(р-1) р ф О, дх 2 1 придем к уравнению вида — — — х = —. 4 р-1 р(р- 1) С Решая однородное уравнение, находим я = —.
(р- 1)з' Далее методом вариаций дроизвольной постоянной получар- 1цр+ С (р- 1)' Тогда общее решение можно записать в виде р — 1пр+ С х= — —, (р-1)' ' у=хр р Пример 7.2. Проинтегрировать уравнение у = ху'+ —,. 2у' Решение. Полагая у' = р, получим (7.1) (р- Пр))дх — х1(р)цр = у'(рур, Это уравнение является лкнейным относительно л н решается кзвесткымн методами. Ясли его решение х л Ф(р, С), то реше- 1 у ~ хр+ —. 2р Таблица 7.1 Одвород- Можно прпвестя к виду Р(х, у) Нх + ц(х, у) Ну = О, где Р(х, у) я Я(х, у) должны быть .
одпородкымя фуияпклмв одя- вакового й-го измерения: иые уравяе- яия Способ решения Вяд уравнения Тяп ураявенк* у' = У(х,у) а) Введеяие навои переменной по формуле з(х) = у~ б) Метод вариакия произвольной восгояяпой в) Подстаяовка Бериулли у = ии иля соответствекпо х т ие Пряводктсз к виду у'+р(х)у=у(х)у", к '' + р(у)х = ч(у) ' где оМОг1 4. Уравне- ния Бернулли Восстаповить фупхпвю У(х, у) по ее Приводятся я виду 5. Уравнения у' = 1(х,у), где ,г (х, у) — однородная фувкпяя пулевого из- мерения.
Можно привести к виду Р(,,у)б +д(хзу)ба=о Подстановка и(х) = — врих ведет уравнение к уравнению с разделяющимися керемеп- пыми. Здесь у = хи(х), а у' = =их+и Охоииаиие табл. 7.1 дифференцируя последнее уравнение и заменяя Ну на рЫх, най- 1 1~ дем ргЬ = рИх+х0р- — йр, откуды1р~х — — ~ = О.
Прирав2р кивая нулю первый множитель, получаем Ир = О, откуда р = С. Тогда обшее решение исходного уравнения можно записать в ви- 1 де у = Сх+ —. Приравнивая нулю второй множитель находим 2С' 1 х = —,. Исключая р из этого уравнения и из (7.1) получим э ' В второе решение исходного уравнения: уз = 2х. Основные типы уравнений и методы ях решения предста- ' влены в табл. 7.1. 8. МЕТОД ИЗОКЛИН Уравнение у' = У( ', у) (8.1) определяет в каждой точке (х,у), где су~цествует функпия Дх,у), значение у', т.е. угловой коэффициент касательной к интегральнок кривой в этой точке, Есин в каждой точке области Ю задело значение некоторой величины, то говорят, что в В задано поле этой величины.
Следовагельио, дифференциальное уравнение (8.1) задает в каждой точке облв,сти направление касательной к интегралькой кривой, т.е. определяет поле направлений. Совокупность отрезков этих касательных пает геометрическую картину поля направлении. Задача интегрирования дифференциального уравнения (8.1) может быть поставлена так: найти такие кривые, касательные к которым в каждой точке имели бы направление, совпадыощее с направлением поля в этой точке. Имея поле направлений, можно приближенно построить интегральные кривые. Построение поля направлений путем перебора координат большого количества точек весьма труцоемши; задала,. Для ее облегчения удобно использовать нзоклкны, Определение.
Изоплиной называется геометрическое место точек одинакового угла наклона касательных к ннтеграль иым ярввьм.. Семейство изоклии дифференциального уравнения (8.1) определяется уравнением 1(я у)=й, (8.2) где й - параметр. В каждой точке изоялкн (8.2) касателькые к китегральиым кривым имеют один и тот же угловой коэффициент й, т,е. касательные параллельны.
Придавая й различные числовые значения, получаем сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить поле направлений, Пример 8.1. Применяя метод изоклин, построкть семейство интегральных кривых уравнения (8.3) Решепже.
Используя (8.2), находим, что семейство изоклик уравнения (8.3) есть множество прямых х = и на плоскости (рис. 8.1). Рис, аЛ Построим в плоскости (и, у) поле направлений: через каждую точку изоклины, соответствуюшей числу й, проведем от'резок примой, тангенс угла сз между которой н осью Ох равен я.
Конкретные числовые значения удобно объединить в табл. 8.1. 25 Таблица ЯЛ Таблица б.з Построение поля направлений иллюстрируется рнс.8.2.' Построим приближенно кривые в плоскости (х, у), которые в каждой своей тачке касаются поля направлений. Построенные кривые — интегральные кривые уравнени~ (8.3). Пример 8.2. Применяя метод кзоклкп, построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения (8,4) Решение.
Составим табл. 8.2. Функция ~(я,у) = у+ 2 определена к непрврмвка для любых я н у, фя, у) ~ 1 ограничена всюду. Позтоъ1у Пп теореме Коши через каждую точку плоскостк проходит толвкп пдна интегральная кривая. Определим области возрастания, убывания частных решений и существование точек экстремума: у' = 0 сз у = -2, где у = -2 — геометрическое место точек возможных экстремумов; у' > 0 сз у > -2 — область возрастания интегральных кривых; у' < О сз у < -2 - область их убывания.
Исследуя вторую производную частных решений, получим у" ж (у+ 2)' = у' = у+ 2. Интегралькые кривые имеют выпуклость вниз при у > -2 и вверх при у < -2. Так как на нзоклине у = -2 тангенс угла наклона касательной равен О, то интегральная кривая совпадает с язоклиной; а в силу теоремы Коши ни одна другая ннтегрзльпая кривая не пересекает прямую у = -2, поэтому прямая у = -2 является для нях аснмптотой. Интегральные кривые для этого уравнения не имеют ни точек экстремума, кк точек перегиба.
На ркс. 8.3 показан впд интегральных кривых. Необходи. мо проверить, нет лк других аснмптот, Так хак интегральные кривые не меняют характер выпуклости, то онн не пересекают аснмптоту и прнблнжеются к ней под одним и тем же углом, поэтому аскмптота должна являться нзоклнной. В силу теоремы Коши через каждую точку плоскости должна проходить интегральная кривая, поэтзму асимптота является иктегральной кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
