Т.А. Шапошникова - Курс лекций по уравнениям в частных производных (1134181), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Гармонические функции, их свойства2Пусть u ∈ C (Ω), Ω ⊂ (R)n - область.Определение. Функция u называется гармонической в Ω, если ∀x ∈ Ω ∆u = 0Примеры гармонических функций:nP1. u =ai xi + b - гармоническая в Rni=12. n = 3 : u = 1r , r = |x − x0 | - гармоническая при x 6= x03. n = 2 : ln r, r±m cos mϕ, r±m sin mϕ - гармонические.Пусть теперь u, v ∈ C 2 (Ω), Ω ограниченная область в Rn , ∂Ω ∈ C 1 тогда вспомним, чтоZZZ∂v∂u ∂vuvxj xj dx =dx + uνj dS∂xj ∂xj∂xjZΩdivAdx =ΩZΩ∂Ω(A, ν)dS : A = (0, . . . , u∂Ω∂v, . . .
, 0)∂xj15.2. Формулы ГринаПервая формула ГринаZu∆vdx = −ΩZΩZ(∇u, ∇v)dx +Z(∇u, ∇v)dx +Ωv∆udx = −Zu∂vdS∂νZv∂udS∂ν∂ΩΩ∂Ων - единичная внешняя нормаль к границе.Вторая формула ГринаZZ∂v∂u(u∆v − v∆u)dx = (u− v )dS∂ν∂νΩ∂ΩРассмотрим гармонические функции, зависящие только от расстояния до точки, т.е гармонические функциивида:v(|x − x0 |), x 6= x0 , ∆v = 0, тогдаZv(|x − x0 |)∆ϕ(x)dx = ϕ(x0 ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω)(15.1)Rn31Оператор Лапласа для таких функций:∆v(r) = v ′′ +n−1 ′v =02v(|x − x0 |) = C1 |x − x0 |2−n + C2 , n > 3v(|x − x0 |) = C1 ln |x − x0 | + C2 , n = 2где v ∈ L1,loc Рассмотрим левую часть (15.1), она равнаZZ2−nlim(C1 |x − x0 |+ C2 )∆ϕdx = limε→0ε→0xRn /T ε 0xRn /T ε 0(v(|x − x0 |)∆ϕ − ϕ∆v(|x − x0 |))dx =Тут применим 2-ю формулу Грина.Z∂ϕ∂= lim[(C1 |x − x0 |2−n + C2 )− ϕ(x) C1 |x − x0 |2−n ]dSε→0∂ν∂νxSε 0lim (C1 ε2−n + C2 )ε→0Zx∂ϕdS = 0∂νSε 0Т.к|Zx∂ϕdS| 6 max|∇ϕ|ωn εn−1Rn∂νSε 0где ωn площадь поверхности единичной сферы в Rn .Далее заметим, что∂∂C1 r2−n = −C1 r2−n = −(2 − n)C1 r1−n∂ν∂rПродолжаем цепочку (15.2)Z= −C1 (n − 2) limϕ(x)dS = −C1 (n − 2) lim ϕ(xǫ )ωn εn−1 ε1−n = −C1 (n − 2)ωn ϕ(x0 )ε→0xSε 0ε→0Тогда из (15.1) имеем:−1C1 = ωn (n−2), n>31C1 = 2π , n = 2Фундаментальное решение оператора Лапласа.(2−n0|− |x−x, n>3ω(n−2)nE(x, x0 ) = 12π ln (x − x0 ), n = 2Основное характерное свойство фундаментального решения - это формула (15.1) т.еZE(x, x0 )∆ϕ(x)dx = ϕ(x0 ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω)RnНа языке обобщенных функций это выглядит так(∆E(x, x0 ), ϕ(x)) = ϕ(x0 ) = (δ(x − x0 ), ϕ)т.е∆E(x, x0 ) = δ(x − x0 ) - дельта функцияПокажем, что ∀ функции из C 2 (Ω), ∂Ω ∈ C 2 Ω ограниченная область верно некоторое свойство.x0Пусть Ωε = Ω/T εZZ(u∆E(x, x0 ) − E(x, x0 )∆u)dx = − E(x, x0 )∆udx =ΩεΩε32(15.2)Применяем вторую формулу ГринаZZZ∂E(x, x0 )∂u∂E∂u∂E(x, x0 )∂u− E(x, x0 ) )dS = (u− E )dS +(u− E )dS(u∂ν∂ν∂ν∂ν∂ν∂νxΩΩεПерейдем к пределу при ε → 0−ZE∆udx =ΩZuSε 0∂E(x, x0 )dS −∂ν∂Ωт.кZE∂udS − u(x0 )∂ν∂ΩExZZ∂udS → 0, ε → +0∂νSε 0u(x)x∂E(x, x0 )dS → −u(x0 )∂νSε 0∂E∂E∂ −r2−nε1−n|Sεx0 = −|r=ε = −|r=ε = −∂ν∂r∂r ωn (n − 2)ωnТаким образом, получаем, что∀x ∈ Ωu(x0 ) =ZE(x, x0 )∆udx +ΩГдеZZu∂E(x, x0 )dS −∂ν∂ΩZE(x, x0 )∂udS∂ν∂ΩZE(x, x0 )∆udx - объемный потенциал.u∂E(x, x0 )dS - потенциал двойного слоя.∂νΩ∂ΩZE(x, x0 )∂udS - потенциал простого слоя.∂ν∂Ω2Если ∆u = 0, u ∈ C (Ω), x0 ∈ Ω, тоu(x0 ) =Zu∂E(x, x0 )dS −∂ν∂ΩZE(x, x0 )∂udS∂ν∂ΩЛемма (о потоке через границу гармонической функции)Пусть u ∈ C 2 (Ω), ∆u = 0 в Ω, Ω ограниченная область, ∂Ω ∈ C 1 .
ТогдаZ∂udS = 0∂ν∂ΩДля доказательства надо использовать вторую формулу Грина для v ≡ 1Теорема 1 (О среднем по сфере).x0Пусть u ∈ C 2 (TRx0 ) ∩ C(T R ), предположим, что ∆u = 0 в TRx0 тогдаZ1u(x0 ) = x0u(x)dS|SR |xSR0ДоказательствоДля Tρx0 можно записатьu(x0 ) =ZxSρ 0∂E(x, x0 )udS −∂νZxSρ 0∂u1E(x, x0 ) dS =∂νωn ρn−133ZxSρ 0u(x)dSОсталось перейти к пределу и получить то, что нужно. Второе слагаемое обнулилось по предыдущей лемме.Теорема 2 (О среднем по шару)x0Пусть u ∈ C 2 (TRx0 ) ∩ C(T R ), предположим, что ∆u = 0 в TRx0 тогдаZ1u(x0 ) = x0u(x)dS|TR |xTR0ДоказательствоИз теоремы 1 следует, чтоωn ρn−1u(x0 ) =Zu(x)dSZu(x)dSxSR0Осталось проинтегрировать это равенство по ρ от 0 до R.ωn nR u(x0 ) =nxTR0Теорема 3 (Строгий принцип максимума).Пусть u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), предположим, что ∆u = 0 в Ω.
Ω ограниченная область с гладкой границей.Положимmax u(x) = M, (min u(x) = m)ΩТогда, если u(x0 ) = M (m), где x0 ∈ ΩΩ⇒ u(x) ≡ const(m, M ) в ΩДоказательствоTRx0 , TRx0 ∈ ΩПредположим, что в TRx0 , u(x) ≡ M, u(x0 ) = M . Предположим противное, т.е ∃x′ ∈ TRx0 , u(x′ ) < M , следовательно в силу непрерывности′∃ε, δ > 0 : u(x) < M − ε в шаре Tδx Тогда по предыдущей теореме имеемZZZ1 1u(x0 ) = M = x0u(x)dS = x0u(x)dS +u(x)dS 6|TR ||TR | x x0 x′x′T 0TR /TδRTδo′′εT x01 n6 x0 M (|TRx0 | − |Tδx |) + |Tδx |(M − ε) = M − xR′ < M|TR |TδПротиворечие.Пусть теперь u(x1 ) < m, соединим эти две точки области кривой (в силу односвязности) покрываем эту кривуюшарами.
Для каждого шара проводим такие же рассуждения, тогда и u(x1 ) = M . Тем самым теорема доказана.Теорема 4 (О бесконечной дифференцируемости).Пусть Ω область в Rn . u(x) гармоническая в Ω тогда u ∈ C ∞ (Ω)Доказательствоuh (x) =ZRnyZωh (|x − y|)u(y)dy =ωh (|x − y|)u(y)dy =|x−y|<h= u(x)ZZh0ωh (ρ)Zu(y)dSdρ =Sρxωh (|x|)dx = u(x)|x|<h-в силу свойства ядра усреднения и теоремы о среднем.А в силу свойства ядра усредненияuh ∈ C ∞ (Rn ) ⇒ u(x) ∈ C ∞ (Ω)Теорема 5 (О знаке нормальной производной гармонической функции в точке минимума (макx0симума)).
Пусть u ∈ C 2 (TRx0 ) ∩ C(T R ), предположим, что ∆u = 0 в TRx0 u 6= const в TRx0x0Также предположим, что в точке x′ ∈ SR, minu(x) = u(x′ ). Тогда, если существует нормальная производнаяxT R0∂u′∂ν (x ),ν — внешняя единичная нормаль к границе в точке x′ , то∂u ′(x ) < 0.∂ν3416. Лекция 1616.1. Лемма о знаке нормальной производной гармонической функции в точкемаксимума′′Пусть u(x) 6= const - гармоническая в Ω, x0 ∈ ∂Ω - точка максимума u(x), ∃Bρx ⊂ Ω : Sρx ∩ ∂Ω = {x0 },u(x0 )−u(x0 −sν)∃ ∂u. Тогда ∂u∂ν (x0 ) = lims∂ν (x0 ) > 0.s→+0Доказательство.Можно считать, что u(x0 ) = 0, u(x) < 0 в Ω.
Вспомним следствие принципа максимума: если ∆u = ∆v = 0 в Ω,u(x) 6 v(x) на ∂Ω, то u(x) 6 v(x) в Ω.Рассмотрим w(x) = −(|x − x′ |2−n − ρ2−n ). При n > 3 w(x) будет гармонической в Rn r {x′ }. Рассмотрим шаровой′x′слой K = Bρx r B ρ/2 и функции u(x), εw(x) на K.Внешняя граница: |x − x′ | = ρ, и на ней w(x) = 0, u(x) 6 0.Внутренняя граница: |x − x′ | = ρ/2, и на ней u(x) < −c < 0, w(x) = −(n−2ρ 2−n2n−2− ρ2−n ) = − 2 ρn−2−1 .ρ∃ε > 0 : εw(x) > u(x) на ∂K, ε = c 2n−2−1 .
Значит, εw(x) > u(x)в K.∂uεw(x0 ) − εw(x0 − sν) 6 u(x0 ) − u(x0 − sν) ⇒ 0 < ε ∂w∂ν (x0 ) 6 ∂ν (x0 )Ч.т.д.Примечание. В случае n = 2 достаточно рассмотреть функцию w(x) = ln |x − x0 | − ln ρ.16.2. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа и единственность решенияэтих задач16.2.1. Задача Дирихле(∆u = 0в ограниченной области Ω, u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω)u|∂Ω = ϕ ϕ ∈ C(∂Ω)Решение задачи Дирихле единственно.
Если мы рассмотрим w(x) — разность двух решений, то имеем ∆w =0, w|∂Ω = 0, тогда по принципу максимума/минимума w ≡ 0.16.2.2. Задача Неймана ∆u = 0 в ограниченной области Ω, u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω)∂u|∂Ω = ψ ψ ∈ C(∂Ω)∂νRУсловие разрешимости: ∂Ω ψds = 0.Решение задачи Неймана определено с точностью до константы. Если мы рассмотрим w(x) - разность двухрешений, то имеем ∆w = 0, ∂w∂ν |∂Ω = 0, тогда по лемме о нормальной производной w = const.16.3. Оценки производных гармонической функцииu(x0 ) =u(x) - гармоническая ⇒∂u∂xk1ωn R nZu(x)dx|x−x0 |6R- гармоническая.ZZ ∂u1∂u1(x)=dx=u cos(ν, x)ds ∂xk 0 ωn Rnωn Rn |x−x0 |6R|x−x0 |6R ∂xk ∂u σn Rn−1(x) ∂xk 0 6 ωn Rnmax|x−x0 =R||u|,где σn - площадь единичной сферы, ωn - объем единичного шара в Rn .
∂unmax |u| ∂xk (x0 ) 6 R |x−x0 =R|35Пусть Ω1 ⊂ Ω0 - ограниченная область в Rn и dist(∂Ω1 , ∂Ω0 ) > d > 0. Пусть u - гармоническая в Ω0 , u ∈C 2 (Ω) ∩ C(Ω). Тогда n ∂u(x0 ) 6 max |u|∀x ∈ Ω1 ∂xkd Ω0Аналогично (методом математической индукции) доказывается неравенство nm mmaxΩ0 |u||Dα u(x)| 6σ, где x ∈ Ω0 , dist(x, ∂Ω0 ) = σ > 0. Действительно, пусть оценка доказана для всех α : |α| 6 k − 1. Возьмемдва шара Bσx′ и Bσx′ /k , где σ ′ - любое положительное число, меньшее σ. По предположению индукции для любойточки ξ из шара Bσx′ /k и любого β, |β| = k − 1, имеет место неравенствоβ|D u(ξ)| 6n(k − 1)σ ′ − σ ′ /kk−1max |u| =Ω0nkσ′k−1max |u|Ω0Таким образом, для любого β, |β| = k − 1, гармоническая функция |Dβ u(ξ)| ограничена в шаре Bσx′ /k постояннойnk k−1max |u|.
Тогда для первых производных этой функции по уже доказанному имеемσ′Ω0β|D u(ξ)ξl | 6nkσ′kmaxΩ0 |u|Переходя в этом неравенстве к пределу при σ ′ → σ − 0, получаем требуемое неравенство.Ч.т.д.16.4. Аналитичность гармонических функцийТеорема. Гармоническая в области Ω функция u(x) является аналитической в Ω.u(x) =X Dα u(x0 )X Dα u(ex)(x − x0 )α +(x − x0 )α ,α!α!|α|<m|α|=mгде α! = α1 ! . . . αn !, (x − x0 )α = (x1 − x01 )α1 . .
. (xn − x0n )αn .ОбозначимX Dα u(ex)γm (x0 , x, xe) =(x − x0 )αα!|α|=mПусть |x − x0 | < ε,Ноx, xe ∈ Bρx0 ,x0u - гармоническая в B2ρ. Тогда|γm (x0 , x, xe)| 6 εmnmρx0 |u|maxB2ρX 1α!|α|=mX 11 X m!nm==α!m!α!m!|α|=mПолучаемСогласно формуле Стирлинга, m! ∼нойm|γm (x0 , x, xe)| 6|α|=mεn2 mρm1max|u|x0m! B2ρ√m,тогда |γm (x0 , x, xe)| оценивается сверху величиной, эквивалент2πm memcεen2√→ 0 при m → ∞, ε ≪ 1mρ3617. Лекция 17.17.1.
Функция Грина. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.Теорема 17.1 (Лиувилль). Пусть u(x) - гармоническая в Rn , неотрицательная функция. Тогда u = const.Доказательство: Зафиксируем точку x0 и шар QxR0 радиуса R с центром в нашей точке.Поскольку производная гармонической функции – также функция гармоническая, по теореме о среднем имеем:ZZ∂u1∂u1(x0 ) = x0(x) dx = x0u(x)νj (x)dS∂xj|QR | QxR0 ∂xj|QR | SRx0Мы использовали формулу Стокса, чтобы перейти к интегрированию по границе шара.
А теперь используемеще одну теорему о среднем, на этот раз из курса математического анализа:Z|S x0 |1x)u(x)dS = Rx0 νj (ex)|u(x0 )|= x0 νj (ex|R ||QR |SR0x0Здесь |SR| = wn Rn−1 ,а |QxR0 | =wn nn R .Таким образом,|∂un(x0 )| 6 |u(x0 )| → 0 R → ∞∂xjR∂uНичего не мешает нам выбрать радиус шара сколь угодно большим, а значит, | ∂x(x0 )| = 0jСледовательно, u = const, что и требовалось.∀j = 1, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
