Т.А. Шапошникова - Курс лекций по уравнениям в частных производных (1134181), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

РассмотримфункциюW (x, t) = M − u(x, t) − αv(x, t)T v = e−γt (−γ(ρ2 − P )2 − 2(ρ2 − P )Ясно, что T W = −αT v > 0 в цилиндре. Тогда по принципу максимума для ограниченной области,W (x, t) > min W (x, t)σГде σ – «наклонный стакан» (боковая поверхность плюс нижнее основание нашего цилиндра). На боковойповерхности цилиндра W (x, t) = M − u(x, t) > 0, а на нижнем основании W (x, ts ) = M − u(x, ts )− αv(x, ts ) > ε1 −αv(xt , s) > 0, при достаточно маленьком α. Значит, и во всем цилиндре W (x, t) > 0, в частности W (xs+1 , ts+1 ) >0, то естьu(xs+1 , ts+1 ) 6 M − αv(xs , ts ) < MЧто и хотели доказать.Теорема 27.3 (о стабилизации). Пусть u(x, t) ∈ C 2,1 (w∞ ) ∩ C(w ∞ ) – решение уравнения T u = 0,now∞ = (x, t) x ∈ Ω, 0 < t < ∞,S∞ =no(x, t) x ∈ ∂Ω, 0 < t < ∞,Пусть u|S∞ = 0, тогда u(x, t) → 0 t → ∞ равномерно по всем x ∈ ΩДоказательство:Для удобства положим 0 ∈ Ω.

Рассмотрим функциюv(x, t) = e−atnYcos bxj ,a>0j=1Поскольку vt = −av и vxj xj = −b2 v, то T v = (nb2 − a)v. Следовательно при a = nb2 v(x, t) – решение уравнениятеплопроводности. Выберем b настолько малым, чтоnoπΩ ⊂ |xj | < , j = 1, . . . , n4bВнутри этого параллелепипеда v(x, 0) > 0, поэтому (из непрерывности u и v) ∃M > 0 : |u(x, 0)| < v(x, 0),Кроме того, v|S∞ > 0. Рассмотрим функцииW1 (x, t) = M v(x, t) − u(x, t)61x ∈ Ω.W2 (x, t) = M v(x, t) + u(x, t)Очевидно, T W1 = T W2 = 0, при этом M мы выбрали так, что W1 (x, 0) = M v(x, 0) + u(x, 0) > 0 и кроме того,W1 |S∞ > 0, отсюда по принципу максимума W1 (x, t) > 0, x ∈ w ∞ , то есть u(x, t) 6 M v(x, t). Аналогичноприменяя принцип максимума к W2 , получаем −u(x, t) 6 M v(x, t).

Итак,|u(x, t)| 6 M v(x, t)x ∈ w∞Но v(x, t) убывает к нулю равномерно по x ∈ Ω, так что теорема доказана.27.2. Начально-краевые задачи1) Первая начально-краевая задача:C 2,1 (weτ ) ∩ C(w τ )T u = f (x, t) (x, t) ∈ weτu|Sτ = ψ(x, t), Sτ = ∂Ω × (0, τ )u|t=0 = ϕ(x)Здесь f, ψ, ϕ – заданные непрерывные функции.2) Вторая начально-краевая задача:C 2,1 (weτ ) ∩ C(w τ )T u = f (x, t) (x, t) ∈ weτ∂u|=ψ(x,t)∂ν Sτu|t=0 = ϕ(x)Здесь f, ψ, ϕ – заданные непрерывные функции, а поверхность ∂Ω – регулярна.3) Третья начально-краевая задача:C 2,1 (weτ ) ∩ C(w τ )Tu=f (x, t) (x, t) ∈ weτ∂u∂ν + a(x, t)u |Sτ = ψ(x, t)u|t=0 = ϕ(x)Здесь f, a, ψ, ϕ – заданные непрерывные функции, а поверхность ∂Ω – регулярна.4) Задача Коши:C 2,1 (Gτ ) ∩ C(Gτ )T u = f (x, t) (x, t) ∈ Gτ = Rn × (0, τ ]u|t=0 = ϕ(x), x ∈ RnЗдесь f, ϕ – заданные непрерывные функции.27.3.

Теоремы единственностиТеорема 27.4. Первая краевая задача для оператора теплопроводности имеет единственное решение.Доказательство:Как обычно, рассмотрим разность v = u1 − u2 двух решений этой задачи. Тогда T v = 0, v|Sτ = 0, v|t=0 = 0.Согласно принципу максимума для ограниченных областей,0 = min v(x, t) 6 v(x, t) 6 max v(x, t) = 0στστПоэтому v(x, t) = 0 в weτ и единственность доказана.Теорема 27.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности в классе ограниченных функций имеет единственное решение.Доказательство:Рассмотрим разность v = u1 − u2 двух решений этой задачи. Тогда T v = 0, v|t=0 = 0, |v| 6 M для v ∈ Gτ .Согласно принципу максимума для неограниченных областей,0 = minv(x, 0) 6 v(x, t) 6 maxv(x, 0) = 0nnRRПоэтому v(x, t) = 0 в Gτ и единственность доказана.62.

Характеристики

Список файлов лекций