Т.А. Шапошникова - Курс лекций по уравнениям в частных производных (1134181), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Доказательство.T = Tε1 + Tε2 , Kε1 (x, ξ) = K(x, ξ)η(|x − ξ|), Kε2 (x, ξ) = K(x, ξ)(1 − η(|x − ξ|)),η — «шапочка» до ε. u(x) − Tε1 = Tε2 + ϕ =: g(x), ||Tε1 || < M εβ/2 , ε ≪ 1Tε2 u непрерывен, т.к Kε2 ∈ C ∞ ⇒ g(x) ∈ C(Γ)(Id − Tε1 )u = g(x) ∈ C(Γ), ||Tε1 || < 1.Теорема Банаха.A - линейный ограниченный оператор на банаховых пространствах и норма А меньше 1, тогда существует∞Pограниченный оператор (Id − A)−1 и при этом (Id − A)−1 =Ann=0продолжим доказательство∞Pu(x) =(Tε1 )n g(x); (Tε1 )n g(x) ∈ C(Γ)n=0|Tε1 g|6⇒ZΓ′ε|A(x, ξ)||g(ξ)|dSξ , |g(ξ)| 6 M0 , |A(x, ξ)| 6 M1 ⇒rn−1−β|Tε1 g|6 M0 M1ZΓ′εdSξrn−1−β,ZΓ′εdSξ6 M 2 εβ ⇒rn−1−β⇒ max |Tε1 g| 6 M0 M1 M2 εβx|(Tε1 )2 g|= |Tε1 (Tε1 g))| 6 (M0 M1 M2 εβ )2|(Tε1 )n g| 6 (M0 M1 M2 εβ )nБерем ε : M0 M1 M2 εβ = q < 1 тогда исходный ряд будет сходится равномерно ⇒ u ∈ C(Γ)5625.1.
Вариационный метод решения задачи ДирихлеΩ - ограниченная область в Rn , H ′ ⊂ H1 (Ω) произвольное подпространство - линейное подпространство, накотором задано (.,.), и оно эквивалентно (.,.) на H1 (Ω), причем Н’ полно относительно (.,.) c||u||H1 6 ||u||H ′ 6C||u||H1 .Рассмотрим:E : H ′ → R, Eu = ||u||2H ′ + 2(f, u)L2 , f ∈ L2 (Ω) фиксирована.|(f, u)L2 (Ω) | 6 ||f ||L2 (Ω) ||u||L2 (Ω) 6 ||f ||L2 (Ω) ||u||H1 (Ω) 6 c||f ||L2 (Ω) ||u||H ′Eu = ||u||2H ′ + 2(f, u)L2 > ||u||2H ′ − 2c||f ||L2 (Ω) ||u||H ′ = (|u||H ′ − ||f ||L2 )2 − c2 ||f ||L2 > −c2 ||f ||L2⇒ inf′ Eu < −∞, ∃vn :H′lim E(vm ) = d - минимизирующая последовательность.m→∞u ∈ H называется элементом, реализующим minE на H’, если Eu = dЛемма.Для любого подпространства H ′ пространства H(Ω) ∃! элемент u ∈ H ′ , реализующий минимум функционала Ена H’.Любая минимизирующая последовательность сходится к этому элементу.Доказательство леммы{vm } минимизирующая последовательность.
∀ε > 0 ∃M (ε) ∀m > M d 6 Evm < d + ε||||vm ± vn 2111||H ′ = ||vm ||2H ′ + ||vn ||2H ′ ± (vm , vn )H ′2442vm − vn 211vm + vn 211vn + vm||H ′ = ||vm ||2H ′ + ||vn ||2H ′ − ||||H ′ = E(vn ) + E(vn ) − E()2222222n 2||H ′ < 12 (d + ε) + 12 (d − ε) − d = ε ⇒ {vm } фундаментальная, тогда сходится по норме в H’,m, n > M, ⇒ || vm −v2т.к они эквивалентны||.||H ′vm −−−−→⇒ Eu = d.
Единственность очевидна.26. Лекция 2626.1. Метод Ритца′Возьмем в H произвольную линейно независимую систему функций ϕ1 , . . . , ϕk , ..., линейная оболочка которой плотна в H ′ . обозначим через Rk линейную оболочку первых k функций из этой системы. Мы знаем, чтоkP∃!vk ∈ Rk : min E(u) = E(vk ). Ищем vk =ckj ϕj .ВВедем функциюRkj=1kXF (c1 , . . . , ck ) = E(ckj ϕj )j=1∂F= 0 ∀j = 1, . .
. , k, что эквивалентно системе линейныхВ точке минимума должны выполняться условия ∂cjуравненийkXci (ϕi , ϕj )H ′ + (f, ϕj )L2 (Ω) j = 1, . . . , ki=1Определитель системы представляет собой определитель Грамма для системы ϕ1 , . . . , ϕk и не равен нулю вkPсилу их линейной независимости. Поэтому существует решение ck1 , . . . , ckk , и элемент vk =ckj ϕj , реализующийj=1минимум на Rk .Последовательность {vk } называется последовательностью Ритца.Теорема 26.1. Последовательность Ритца является минимизирующей функционал E(·) на подпространстве H ′ последовательностью.Доказательство:ИмеемR1 ⊂ R2 ⊂ R3 ⊂ .
. .E(v1 ) > E(v2 ) > E(v3 ) > . . . > d57Так как система {ϕk } полна, то∀ε > 0 ∃K(ε) ∃uε (x) = C1 (ε)ϕ1 + . . . + CK(ε) ϕK(ε) ∈ RK(ε) : ||u − uε ||H ′ < εГде E(u) = d.РассмотримE(uε ) = ||uε ||2H ′ + 2(f, uε )L2 = ||uε − u + u||2H ′ + 2(f, uε − u)L2 + 2(f, u)L2 == E(u) + E(uε − u) + 2(uε − u, u)H ′ 6 d + ||uε − u||2H ′ + 2(f, uε − u)L2 + 2(uε − u, u)H ′ 6 d + ε2 + C0 ε 66 d + C1 εПолучили E(uε ) 6 d + C1 ε , Но d 6 E(vKε ) 6 E(uε ) 6 d + C1 ε, поэтому ∀ε > 0 ∃K(ε) ∀s > K(ε) d 6 E(vs ) 6d + C1 ε, откуда lim E(vs ) = d.
Что и требовалось доказать.s→∞Итак, пусть E(u) = d – минимум функционала в H ′ . Рассмотрим функцию w(t) = u + tw, где t ∈ R, w ∈ H ′ ,и многочленP (t) = E(u + wt) = ||u + tw||2H ′ + 2(f, u + tw)L2 == ||u||2H ′ + 2(f, u)L2 + 2t(u, w)H ′ + t2 ||w||H ′ + 2t(f, w)L2 > d ∀tКроме того, P (0) = E(u) = d, значит P ′ (0) = 2(u, w)H ′ + (f, w)L2 = 0 ∀w ∈ H ′ .Рассмотрим H ′ = H10 (Ω), тогда это соотношение примет видZZ(u, w)H ′ = (u, w)H10 (Ω) =∇u∇w dx = −f w dx ∀w ∈ H10 (Ω)ΩТогда u ∈H10 (Ω)Ωесть обобщенное решение задачи Дирихле.Подведем итог.Теорема 26.2. Существует единственная функция ,реализующая минимум функционала на. Если скалярное произведение на задается формулой ,то эта функция является обобщенным решением задачи Дирихле ∆u = f, x ∈ Ωu|∂Ω = 0u ∈ H10 (Ω), f ∈ L2 (Ω)Последовательность Ритца может быть рассмотрена как последовательность, приближающая решение.26.2.
Уравнение теплопроводностиРассмотрим дифференциальный оператор (теплопроводности):T u = ut − ∆x uтогда сопряженный операторT ∗ v = −vt − ∆x vУравнение теплопроводности имеет вид T u = f (x, t), где x ∈ Ω – ограниченная область, t > 0.Для уравнения теплопроводности имеет место аналог формулы Грина: пустьu, v ∈ C 2,1 (eωτ ) ∩ C 1 (ω τ ),гдеωeτ = (x, t) x ∈ Ω, 0 < t 6 τωτ = (x, t) x ∈ Ω, 0 < t < τздесь C 2,1 – пространство функций, дважды дифференцируемых по х и один раз по t.
ТогдаZZ(vT u − uT ∗ v) dxdt =(vut + uvt − v∆u + u∆v) dxdt =ωτ=ZΩωτu(x, τ )v(x, τ ) dx −Zu(x, 0)v(x, 0) dx +ΩZSτ58u∂v∂u +vdS∂ν∂νПроверим, что фундаментальным решение для оператора теплопроводности является|x−x0 |2θ(t − t0 )−pe 4(t−t0 )(2 π(t − t0 ))nΓ(x, x0 , t, t0 ) =То есть нужно проверитьTx, t Γ(x, x0 , t, t0 ), f (x, t) = Γ(x, x0 , t, t0 ), T ∗ f (x, t) = f (x0 , t0 )Убедимся, что Γ ∈ L1, loc (Rn+1 ):1n2 π n/2tZ0 +Rt0Z|x−x0 |< C|x−x |21− 4(t−t0 )0edxdt|t − t0 |n/26То есть1π n/2tZ0 +RZt0Γ(x, x0 , t, t0 ), T ∗ f (x, t) =limZ∞ Zε→0t0 +ε Rn=x−xξ= √ 021π n/2t−t0tZ0 +Rt0Z2e−|ξ| dξdt 6|ξ|< √C2t−t02e−|ξ| dξdt = RRnZΓ(x, x0 , t, t0 )T ∗ f (x, t) dxdt =Rn+1Γ(x, x0 , t, t0 )T ∗ f (x, t) dxdt =Пользуясь формулой Грина,= limε→0 Z∞ ZT Γ(x, x0 , t, t0 )T f (x, t) dxdt +t0 +ε RnZRnΓ(x, x0 , t0 + ε, t0 )f (x, t0 + ε) dxУпражнение: Для любого t > t0 T Γ = 0.Используя этот факт, пишем:= limZε→0Rn1Γ(x, x0 , t0 + ε, t0 )f (x, t0 + ε) dx = lim √ nε→0 (2 πε)e|x−x0 |2−4εRn= lim1ε→0 π n/2Zn 1= lim n/2ε→0 πZZ√2e−|ξ| f (x0 + 2 εξ, t0 + ε) dξ =f (x, t0 + ε) dx=ξ=x−x0√2 εRn√2e−|ξ| (f (x0 + 2 εξ, t0 + ε) − f (x0 , t0 )) dξ +1π n/2|ξ|>NZ|ξ|<No√2e−|ξ| (f (x0 + 2 εξ, t0 + ε) − f (x0 , t0 )) dξ+f (x0 , t0 )Покажем, что интегралы стремятся к нулю:M = sup |f (x, t)| < ∞ ∀ε > 0Rn∃NMπ n/2Z2e−|ξ| dξ < ε/2|ξ|>N∀ε > 0 δ > 0 ∀x, t : |x − x0 | < δ, |t − t0 | < δ |f (x, t) − f (x0 , t0 )| < ε√Возьмем 2 εN < δ, ε < δ, тогда и второй интеграл меньше ε,что мы и хотели показать.
Итак, мы доказали, чтоΓ(x, x0 , t, t0 ) является фундаментальным решением.Теорема 26.3 (Принцип максимума в ограниченной области). Пусть u(x, t) - решение уравненияT u = 0 в слое weτ , принадлежащее классу C 2,1 (weτ ) ∩ C(wτ ). Тогда ∀(x, t) ∈ weτ :min u(x, t) 6 u(x, t) 6 max u(x, t)στστ59Где στ = Ω ∪ Sτ , Sτ – боковая поверхность цилиндра.Доказательство:Достаточно доказать, что min u(x, t) 6 u(x, t), потому что применив это рассуждение к функции v = −u,στполучим утверждение для максимума.Из непрерывности u ∃M > 0 : |u(x, t)| < M в wτ .
Выберем M1 такое, чтоv(x, t) = u(x, t) − M1 < 0 ∀(x, t) ∈ wτТогда T v = 0 в weτ и v < 0 в wτ . Положим v = eγt w, γ = const > 0. Покажем, что минимум отрицательногозначения w может достигаться лишь на στ . Предположим противное: ∃(x0 , t0 ) ∈ weτ : 0 > w(x0 , t0 ) = min w(x, t).wτЯсно, что w(x, t) < 0 в wτ ,∂w∂xj (x0 , t0 )= 0,∂w∂t (x0 , t0 )6 0, а∂2w(x0 , t0 )∂x2j> 0. Но тогдаT v∂w(x, t) − eγt ∆w(x, t) <0= γeγt w(x, t) + eγt∂t(x0 ,t0 )(x0 ,t0 )Что противоречит равенству T v = 0.Следовательноw(x, t) > min w(x, t)στИли, что то же самое,e−γt v(x, t) > min e−γt v(x, t)στПереходя к пределу при γ → 0 получаем v(x, t) > min v(x, t), а отсюда и требуемое неравенство для u(x, t).στ27.
Лекция 2727.1. Принципы максимумаТеорема 27.1 (Принцип максимума в oнеограниченной области). Пусть u(x, t) - решение уравненияnT u = 0 в слое Gτ = (x, t) x ∈ Rn , 0 < t 6 τ , принадлежащее классу C 2,1 (Gτ ) ∩ C(Gτ ). Предположим, что∀(x, t) ∈ Gτ|u(x, t)| 6 M .
Тогда ∀(x, t) ∈ Gτ :inf u(x, 0) 6 u(x, t) 6 sup u(x, 0)x∈Rnx∈RnДоказательство:ОбозначимM0 = sup u(x, 0), m0 = infn u(x, 0)x∈Rx∈RnВведем вспомогательную функцию v(x, t) = |x|2 + 2nt. Легко видеть, что в Gτ T v = vt − ∆|x|2 = 2n − 2n = 0.Введем еще функцииW1 (x, t) = M0 − u(x, t) + εv(x, t)W2 (x, t) = M0 − u(x, t) − εv(x, t)Заметим, что T W1 = T W2 = 0 в Gτ , и кроме тогоW1 (x, 0) = M0 − u(x, 0) + ε|x|2 > 0W2 (x, 0) = m0 − u(x, 0) − ε|x|2 6 0Далее, ∀ε > 0 ∃R(ε) ∀x : |x| > R(ε) W1 (x, t) > 0, W2 (x, t) 6 0 Теперь применим принцип максимума дляограниченной области к функциям W1 и W2 в области Gτ :W1 (x, t) > 0,W2 (x, t) 6 0(x, t) ∈ GτЧто равносильноm0 − εv(x, t) 6 u(x, t) 6 M0 + εv(x, t)Переходя к пределу при ε → 0, получим утверждение теоремы.60∀(x, t) ∈ GτТеорема 27.2 (строгий принцип максимума ).
Пусть функция u(x, t) в цилиндре weτ =no(x, t) x ∈ Ω, 0 < t 6 τудовлетворяет уравнению T u = 0, принадлежит классу C 2,1 (weτ ) ∩ C(w τ ) и принимает в точке (x0 , t0 ) ∈ weτнаибольшее значение, то u(x, t) ≡ u(x0 , t0 ) = const в цилиндре weτ0 = weτ ∩ {t 6 τ0 }.Доказательство:Предположим противное. Пусть u(x1 , t1 ) < u(x0 , t0 ) := M , где t1 < t0 . Соединим точки (x0 , t0 ) и (x1 , t1 ) ломаной,содержащейся в weτ с вершинами в точках t1 , . . . , tn , tn+1 = t0 , причем t1 < t2 < . . . < tn+1 = t0 . Если мы докажем,что из неравенства u(xs , ts ) < M следует u(xs+1 , ts+1 ) < M , то, двигаясь по ломаной, получим u(x0 , t0 ) < M –противоречие, и теорема будет доказана.Пусть точки (xs , ts ) и (xs+1 , ts+1 ) лежат на прямойxj = kj t + aj ,Рассмотрим цилиндр P (x, t) < ρ2 , где P (x, t) =nPj = 1, .
. . , n(xj − kj t − aj )2 . Выберем ρ > 0 : u(x, ts ) < M − ε1j=1∀x :P (x, ts ) < ρ2 . Построим вспомогательную функциюv(x, t) = e−γt (ρ2 − P (x, t))2 ,γ>0Тогда∂P+ 4n(ρ2 − 8P ) − 8P∂tПокажем, что можно γ выбрать настолько большим, что T v < 0 внутри цилиндра. Действительно, на боковойповерхности цилиндра T v = −8e−γtρ2 < 0, поэтому неравенство справедливо и в некоторой δ-окрестностиповерхности. Если же P (x, t) < ρ2 − δ, то ρ2 − P (x, t) > δ и при достаточно большом γ первый член в скобкахбудет больше по модулю, чем сумма модулей остальных членов, то есть T v < 0 внутри цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
