Т.А. Шапошникова - Курс лекций по уравнениям в частных производных (1134181)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций поуравнениям в частных производныхЛектор — Т. А. Шапошникова3 курс, 5–6 семестр, поток математиковМосква, 2005 г.Оглавление1.Лекция 11.1. Введение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Линейные уравнения в частных производных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Задача Коши. Характеристики . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44452.Лекция 22.1. Задача Коши с данными на характеристике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Задача о слабом разрыве решения вдоль некоторой кривой y = ϕ(x) . . . . . . . . . . .2.3.

Нехарактеристическая задача Коши для линейного уравнения в частных производныхпорядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .677. . . . .. . . . .второго. . . . .83.Лекция 33.1. Теорема Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Классификация линейных УРЧП 2-го порядка. О приведении их к каноническому виду . . . . .8884.Лекция 44.1. Задача Коши для волнового уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9105.Лекция 55.1. Энергетическое неравенство. Единственность решения .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11136.Лекция 66.1. Единственность классического решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1.1. Энергетическое неравенство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Решение задачи Коши для случая n = 2 . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131414167.Лекция 77.1. Формула Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Область зависимости решений от начальных данных . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .7.3. Обобщенные решения волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161616178.Лекция 88.1. Обобщенные производные. Пространства Соболева . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .18189.Лекция 99.1. Пространство Соболева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191910.Лекция 1010.1. Строго липшицева область . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Неравенство Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3. Теорема Реллиха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2121222311.Лекция 1111.1. Неравенство Фридрихса . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2. След функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3. Метод Фурье (метод разделения переменных) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .2323242512.Лекция 1212.1. Обобщенное решение первой начально-краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2. Единственность решения смешанной задачи (1)-(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3. Задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2525262613.Лекция 13.13.1. Базис в пространстве H10 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2. Обобщенное решение первой начально-краевой задачи . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .27272814.Лекция 1414.1. Теорема о существовании обобщенного решения задачи (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3031215.Лекция 1515.1. Гармонические функции, их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .15.2. Формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31313116.Лекция 1616.1. Лемма о знаке нормальной производной гармонической функции в точке максимума . .16.2. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа и единственность решения этих задач16.2.1. Задача Дирихле .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2.2. Задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.3. Оценки производных гармонической функции . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .16.4. Аналитичность гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......3535353535353617.Лекция 17.17.1. Функция Грина. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .373718.Лекция 1818.1. Интеграл Пуассона . . . . . . . . . .18.2. Неравенство Харнака . . . . . . . . .18.3. Обратная теорема о среднем . . . . .18.4. Теорема об устранимой особенности....383840404019.Лекция 1919.1. Теория потенциала .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .404120.Лекция 2020.1. Объёмный потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20.2. Потенциал двойного слоя . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43434421.Лекция 2121.1. Теорема о скачке потенциала двойного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .464822.Лекция 2222.1. Потенциал простого слоя . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494923.Лекция 23.23.1. Постановка краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505124.Лекция 2424.1. Решение внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана в виде потенциала . . . . . .

.24.1.1. Теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24.2. Решение внешней задачи Дирихле и внутренней задачи Неймана в виде потенциала . . . . . . .5252525325.Лекция 2525.1. Вариационный метод решения задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555726.Лекция 2626.1. Метод Ритца . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.2. Уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57575827.Лекция 2727.1. Принципы максимума . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.2. Начально-краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.3. Теоремы единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60606262....................3......................................................................................................................................1.

Лекция 11.1. ВведениеНеобходимость в изучении дифференциальных уравнений с частными производными возникла в связи стем, что математическое описание многих физических явлений приводит к определению решений уравнений счастными производными.Рассмотрим некоторые примеры:utt = a2 uxx + f (x, t)Такие уравнения описывают многие колебательные процессы.ut = k 2 ∆u + f (x, t)Это уравнение называется уравнением теплопроводности. Оно задает распределение температуры в однородномтеле.∆u = f (x)Уравнение такого вида называется уравнением Пуассона. Оно описывает стационарное распределение температуры при наличии тепловых источников внутри тела с плотностью f (x).Дадим несколько определений:Определение.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестнымиявляются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, нои их производные. Если неизвестными являются функции нескольких переменных (не менее двух), то уравненияназываются уравнениями в частных производных.В дальнейшем мы будем рассматривать только одно уравнение в частных производных с одной неизвестнойфункцией.1.2.

Линейные уравнения в частных производных второго порядкаРассмотрим уравнение:F (x, u(x), ux1 (x), . . . , uxn (x), . . . ,dm u(x)) = 0dxmn(1.1)где x = (x1 , . . . , xn )Скажем, что это уравнение в частных производных порядка m, если m является максимальным порядкомпроизводных в этом уравнении.mУравнение (1.1) называется линейным, если F , как функция переменных u, ux1 , . . . , uxn , , . . . , ddxmu являетсяnлинейной функцией.Будем рассматривать линейные уравнения в частных производных второго порядка. Такие уравнения имеютвид:nnXXaij (x)uxi xj +aj (x)uxj + a(x)u = f (x)(1.2)i,j=1i,j=1где Ω ⊂ Rn , aij (x), aj (x), a(x), b(x) достаточно гладкие функции, заданные в Ω.Обозначим A(x) := (aij (x)).Замечание. Матрицу A можно считать симметрической.Действительно, в силу гладкости функции u смешанные производные второго порядка совпадают, поэтомуa (x)+a (x)соответствующие элементы матрицы А можно «перераспределить», введя a′ij = ij 2 jiтогда aij (x) =a (x)−a (x)a′ij (x) + a′′ij (x), где a′′ij = ij 2 jiи a′′ij = −a′′ji После такого преобразования мы получим то же самоеуравнение, но с симметрической матрицей A′ (x).Сразу отметим то обстоятельство, что существуют уравнения вида (1.2) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, которые в любой окрестности точки x0 не имеют ни одного решения.

Такие уравненияназываются локально неразрешимыми.Примером такого уравнения может служить:(x22 − x23 )ux1 x2 + (1 + x21 )(ux2 x2 − ux3 x3 ) − x1 x2 ux1 x3 − (x1 x2 u)x1 x2 + x1 x3 ux1 x3 = f (x) − (x1 x3 u)x1 x3Л. Хермандер доказал, что такое уравнение не имеет ни одного решения при некоторой f (x) ∈ C ∞ (Rn ) длялюбой области Ω ⊂ Rn .41.3. Задача Коши. ХарактеристикиВ случае одного пространственного переменного уравнение (1.2) выглядит так:y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = f (x)Вспомним, что задачей Коши в этом случае являлась задача о нахождении решения этого уравнения, удовлетворяющего в точках x0 , x1 , где [l1 , l2 ] ⊂ R, xn ∈ (l1 , l2 ) начальным условиям y(x0 ) = y0 , y ′ (x1 ) = y1 , y0 , y1 ∈ R.Заметим, что в этом случае всегда существует решение задачи Коши.Перейдем к постановке аналогичной задачи для уравнения в частных производных (1.2).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций