Т.А. Шапошникова - Курс лекций по уравнениям в частных производных (1134181), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Этоозначает, чтоZ(wα1 − wα2 )f (x) dx = 0 ∀f ∈ C0∞ (Ω)Ωe ⊆ Ω, в ней, очевидно,Рассмотрим область ΩZ(wα1 − wα2 )f (x) dx = 0eΩe∀f ∈ C0∞ (Ω)e а в L2 (Ω)e множество C ∞ (Ω)e всюду плотно (по норме L2 ), поэтому существует последоваНо wα1 − wα2 ∈ L2 (Ω),0∞ e1тельность fk (x) ∈ C0 (Ω), сходящаяся к (wα − wα2 ):||(wα1 − wα2 ) − fk (x)||L2 (Ωe ) → 0,Вернемся к интегральному тождеству:Zek→∞(wα1 − wα2 )fk (x) dx = 0ΩИ перейдем к пределу при k → ∞:Ze(wα1 − wα2 )2 ) dx = 0ΩА значит,wα1−wα2= 0, что и требовалось.9.1. Пространство СоболеваnПусть Ω - некоторая область в R .ОбозначимnoH1 loc (Ω) = u ∈ L2 loc (Ω) | ∀j = 1, . .

. , n ∃uxj ∈ L2 loc (Ω)onH1 (Ω) = u ∈ L2 (Ω) | ∀j = 1, . . . , n ∃uxj ∈ L2 (Ω)Где производная понимается обобщенная в смысле Соболева.19В пространстве H1 (Ω) можно ввести скалярное произведение:Z(u, v)1 = (uv + ∇u∇v) dxΩКоторое порождает нормуZ||u||21 =(u2 + |∇u|2 ) dxΩДокажем, что относительно введенной нормы пространство H1 (Ω) полно.Теорема 2.H1 (Ω)- полное (т.е и гильбертово)Доказательство теоремы.{uk (x)} , uk ∈ (Ω), ||uk − um ||1 → 0, k, m → ∞||uk − um ||1 =⇒ZZ(|uk − um |2 )dx +ΩZ|∇(uk − um )|dx → 0 ⇒Ω(|uk − um |2 )dx → 0 ⇒ ||uk − um ||L2 (Ω) → 0ΩТ.к пространство L2 (Ω) полное, то∃u ∈ L2 (Ω) : ||u − uk ||L2 (Ω) → 0, k → ∞.ДалееZΩ|∂uk∂um−|dx → 0 ⇒∂xj∂xjТогда∃ωj (x) ∈ L2 (Ω) : ||Тем самым осталось доказать, чтоZΩωj (x)ϕ(x)dx = −ZuΩ∂ukϕ(x)dx = −∂xjZΩukфундаментальная вL2 (Ω)∂uk− ωj ||L2 (Ω) → 0, k → ∞.∂xjΩZ∂uk∂xj∂ϕdx, ∀ϕ ∈ C0∞∂xj∂ϕ→ (k → ∞)∂xjZωj (x)ϕ(x)dx = −ΩZΩu∂ϕdx∂xjДоказательство закончено.Пример.Ω = {|x| < 1} , x ∈ (R)n , u(x) = |x|ε ∈ H1 (Ω)(?)Посмотрим, когда u ∈ L2 (Ω)Z2ε|x| dx = C|x|<1т.еZ12ε n−1r rdr = C0Z10r2ε+n−1 < ∞ если 2ε + n > 0n⇒ u ∈ L2 (Ω)2∂u∂xjx 6= 0, :=|x|ε = ε|x|ε−1∂xj∂xjxε>−Отсюда |∇u| ∈ L2 (Ω) еслиε2Z|x|2ε−2 dx < ∞ ⇒ 2ε − 2 + n > 0 ⇒ ε > 1 −|x|<120n2Убедимся, что ωj обобщенная производная, т.еZZε−1 xjϕ(x)dxεε|x||x||x|ε∂ϕdx∂xj|x|<1|x|<1Вырезаем шарик O(0, δ).

Ωδ = {δ < |x| < 1} , Sδ = {|x| = δ}ZZZxjε ∂ϕ(|x|dx = −ε |x| ε − 1) ϕ(x)dx + |x|ε ϕνj dS∂xj|x|ΩδПусть I =RSδΩδSδ|x|ε ϕνj dS, покажем, что I → 0, δ → 0Действительно, т.к εn − 1 > 0 тоZ|I| = δ ε | ϕνdS| 6 (|νj | 6 1) 6 max |ϕ|δ ε |Sδ | = K(ϕ, n)δ ε+n−1 → 0, δ → 0.|x|61SδRu ∈ L2 (Ω). uh (x) = Rn ωh (x − y)u(y)dy. Пусть существует обобщенная производная вида Dα u ∈ L2 (Ω),тогда:1.Dα uh (x) = (Dα u)h (x) ∀x ∈ Ω ∀h 6 H(x).2.∀Ω′ ⊂⊂ Ω k(Dα u)h − Dα ukL2 (Ω′ ) при h → 0.Доказательство1. uh ∈ C ∞ (Ω).ZZDα uh (x) =Dxα ωh (x − y)u(y)dy = (−1)|α|Dyα ωh (x − y)u(y)dy =Ω=ZΩΩωh (x − y)Dxα u(y)dy = (Dα u)h (x)2.k(Dα u)h − Dα ukL2 (Ω) при h → 0 - уже доказано (на Ω′ имеем Dα uh (x) = (Dα u)h (x)).Примечание. Выше мы рассматривали h: h < ρ(x, ∂Ω).Ч.т.д.Следствие.

u ∈ H1 (Ω).uh (x) → u(x) при h → 0 по норме H1 (Ω′ ), и это ∀Ω′ ⊂⊂ Ω. Рассмотрим H1 (Πa ), a = (a1 , . . . , an ), aj > 0, Πa ={x ∈ Rn : |xj | < aj }.Пространство C ∞ (Πa ) всюду плотно в H1 (Πa ).Доказательство.Пусть u ∈ H1 (Πa ), Dα u, 0 < |α| < 1.∀ε > 0 ∃ϕα (x) ∈ C(Πa ) : k(Dα u)h − ϕα kL2 (Πa ) < εFσ (x) = u σx , σ > 1. Fσ (x) ∈ H1 (Πσa ).

Πa ⊂ Πσa H1 (Πa ) ⊂ H1 (Πσa ). Нужно доказать ∀ε > 0 ∃σ0 > 1 :kDα Fσ0 − ϕα kL2 (Πa ) < εCЕсли это доказано, то (Dα Fσ0 )h = Dα (Fσ0 )h → Dα Fσ0 в L2 (Πa ).Заметим, что Fσ0 ∈ H1 (Πaσ0 ), Πa ⊂ Πσ0 a , (Fσ0 )h ∈ C ∞ (Πa ).Кроме того,k(Dα Fσ0 )h − Dα ukL2 (Πa ) 66 k(Dα Fσ0 )h − Dα Fσ0 kL2 (Πa ) + kDα Fσ0 − ϕα kL2 (Πa ) + kDα u − ϕα kL2 (Πa ) ,откуда мы в итоге и получим требуемое утверждение.10. Лекция 1010.1. Строго липшицева областьΩ - ограниченная область в Rn . CL,R = {x ∈ Rn :n−1Pj=1x2j < R2 , −2LR < xn < 2LR}Определение.

Ω - строго липшицева, если ∀x0 ∈ ∂Ω ∃C = (ckl ) - ортогональная : yk = ckl (xl −x0l ) ⇒ ∂Ω∩CL,R (y)задается уравнением yn = ϕ(y ′ ), y ′ = (y1 , . . . , yn−1 ) и ϕ - липшицева с постоянной Липшица L.Например, если ∂Ω ∈ C 1 , то Ω строго липшицева. Выпуклый многогранник также строго липшицев.Пусть Ω строго липшицева. Тогда C ∞ (Ω) всюду плотно в H1 (Ω). Доказываем в частном случае Ω = Πa (см.21предыдущую лекцию).Выберем σ0 .xkL2 (Πσa ) + kϕα− ϕα (x)kL2 (Πa )σσxσ → 1 + 0, ϕα ∈ C(Πα ) ⇒ kϕα− ϕα (x)kL2 (Πa ) → 0σЗначит, ∀ε > 0 ∃σ1 > 1 : ∀σ : 1 < σ < σ1 kϕα σx − ϕα (x)kL2 (Πa ) < ε.1Но Dα Fσ (x) = σ|α|Dα u σx .

Тогдаxxx1kDα Fσ (x) − ϕαkL2 (Πσa ) = k |α| Dα u− ϕαkL2 (Πσa ) 6σσσσxxx16 kDα u− ϕαkL2 (Πσa ) + 1 − α kDα ukL2 (Πσa ) 6σσσσ16 σ n/2 kDα u(x) − ϕα (x)kL2 (Πa ) + 1 − α σ n/2 kDα ukL2 (Πa )σkDα Fσ (x) − ϕα (x)kL2 (Πa ) 6 kDα Fσ (x) − ϕαx, что стремится к 0 при σ → 1 + 0. Множители вида σ n/2 возникают за счет замены переменныхвыражении для нормы.Ч.т.д.Упражнение. Доказать,что если Ω = Q0R , то C ∞ (Ω) всюду плотно в H1 (Ω).Πl = {x : 0 < xj < lj , j = 1, .

. . , n}.xσ= y в10.2. Неравенство Пуанкареu ∈ H1 (Πl )Z⇒Доказательство. Сделаем замену yj =следующее неравенство:Zxjlj ,u2 dx 6Πl1|Πl |Z2ZnnX 2udx +lju2xj dx2 j=1ΠlΠl1lj u y j .тогда dx = |Πl |dy и uxj =Z22n+2Получаем, что достаточно доказатьZu dy 6udy|∇y u|2 dyΠ1ΠΠ1Rp 1В частности, если Π1 udy = 0, то kukL2(Π1 ) 6 n2 k∇ukL2(Π1 ) Докажем теперь наше неравенство.C ∞ (Π1 ) всюду плотно в H1 (Π1 ). РассмотримP0 = (y10 , . . . , yn0 ),A1 = (y1 , y20 , . . . , yn0 ),u(y1 , . .

. , yn ) − u(y10 , . . . , yn0 ) =Zy1y10+Воспользуемся тем, чтоnPk=1ak(u(P1 ) − u(P0 ))2 6 n 2ZP1 = (y1 , . . . , yn ) P0 ∈ Π1 , P1 ∈ Π1A2 = (y1 , y2 , . . . , yn0 ),ux1 (x1 , y20 , . . . , yn0 )dx1 +Zyn0yn6nnPk=1y1y10An = (y1 , . . . , yn ) = P1Zy20ux1 (y1 , x2 , . . . , yn0 )dx2 + .

. . +a2k , тогдаZ01u2x1 dx1!2+ ... +Z+ ...+Z01u2xn dxnΠ1Π1yn0ynИнтегрируя обе части неравенства по P0 и P1 , получимZ2ZZ2u (y)dy − 2u(y)dy 6 n2Π1y2uxn (y1 , y2 , . . . , xn )dxnux1 (x1 , y20 , . . . , yn0 )dx16n...,!2 uxn (y1 , y2 , . . . , xn )dxn  6|∇y u|dyЧ.т.д.Ω - ограниченная область. H10 (Ω) - замыкание C0∞ (Ω) по норме H1 (Ω).H10 (Ω) ⊂ H1 (Ω), H10 (Ω) - гильбертово.

Ω′ - ограниченная область, Ω ⊂ Ω′ , u ∈ H1 (Ω), тогда ue(x) равна u(x) приx ∈ Ω, и равна 0 при x ∈ Ω′ r Ω. ue ∈ H10 (Ω).2210.3. Теорема РеллихаH10 (Ω)Ограниченное множество вкомпактно в L2 (Ω).um ∈ H10 (Ω), kum kH10 (Ω) 6 C = const ⇒ существует сходящаяся подпоследовательность в норме L2 (Ω).Доказательство.Можно считать, что Ω ⊂ Πl (с точностью до сдвига). Тогда продолжаем u тождественным 0 на Πl r Ω. РазобьемΠl на N n элементарных параллелепипедов ωi .

u ∈ H1 (ωi ), тогдаZ2ZZn1n X 2u2 dx 6udx +lu2xj dxj2|ω|2Niωiωiωij=1Z2ZnNnX1n X 2udx +lu2xj dxu dx 6j2|ω|2NiωΠΠlilj=1i=1Z2Z2ZnNnX1n X 2(um − us ) dx 6(um − us )dx +lj(um − us )2xj dx2|ω|2NiΠlωΠili=1j=1Z2к u в L2 (Πl ). Т.е. ∀v ∈ L2 (Πl ) имеемRkum kL2 (Πl ) 6 C. Существует подпоследовательность um , слабо сходящаясяR(u−u)vdx→0приm,s→∞.Возьмемv=χω,получим(u−u)dx→ 0 при m, s → ∞.msjmsΠlωikum kL2 (Πl ) 6 C. Выбираем N0 такое, чтобы второе слагаемое в нашем неравенстве было меньше ε. Выбираем m, sqRRтакие, чтобы выполнялось Πl (um −us )vdx < Nεn |ωj |.

Тогда Πl (um −us )2 vdx < 2ε ⇒ {um } фундаментальна0в L2 (Πl ), откуда и получаем требуемую сходимость.Ч.т.д.11. Лекция 11ЗадачаПусть Ωδ - область «вида цоколя».Ωδ {x ∈ Rn | − δ < xn < f (x′ ), x′ = (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ D} , δ > 0, f ∈ C(D), f (x′ ) > 0.Тогда∂u∃ обобщенной производной вида∈ L2 (Ωδ ) = C ∞ (Ωδ )∂xn11.1. Неравенство Фридрихса∀u ∈ H01 (Ω), Ω ⊂ Rn огр. ||u||L2 (Ω) 6 C(Ω)||∇u||L2 (Ω)(11.1)Доказательство.Можно считать, чтоΩ ⊂ Πl := {x ∈ Rn : 0 6 xj 6 lj } , l1 6 lj , j = 2, n Тогда (11.1) достаточно доказать ∀u ∈ C0∞ .Итак,u ∈ C0∞ , x′ = (x2 , . .

. , xn )Zx1∂u(x1 , x′ ) − u(0, x′ ) =u(y1 , x′ )dy1∂y10ZΠlZ Zx1∂2u(y1 , x′ )dy1 )2 dxu (x)dx = (∂y1Πl0По неравенству Коши-БуняковскогоZΠl2u (x)dx 6ZΠlZl1 Zl1 Z ∂u 2x1 dx1 dx = x1∂x1 00ΠlZ2 Z ∂u 2l1222 dxdx1 = l1|ux1 | dx =|ux1 | dx ∂x1 22ΠlC(Ω) =23l122ΩДоказательство закончено.На H01 можно ввести норму||u||2H1 (Ω) =Z|∇u|2 dxΩОна будет эквивалентна норме H1 (Ω).H10 (Ω) 6= H1 (Ω т.к u ≡ 1 не удовлетворяет неравенству Фридрихса.Формула интегрирования по частям для u ∈ H01 (Ω), v ∈ H1 (Ω)ZZuxj vdx = − uvxj dxΩΩДоказательство очень простое, достаточно вспомнить, что∃um ∈ C0∞ (Ω) : ||u − um ||H1 → 0и перейти к пределу в равенствеZumxj vdx = −ΩZum vxj dxΩ11.2.

След функцииК понятию следа функции мы придем не сразу. Пусть u ∈ H1 (Ω), где Ω, ограниченное область в Rn , причемNS∂Ω ∈ C 1 , ∂Ω =Sjj=1S1 : xn = ϕ (x′ ), x′ = (x, . . . , xn−1 ), ϕ(x′ ) ∈ C 1 (D) Пусть теперьS1 ⊂ {xn = 0}∃δ > 0 : Qδ = {x|0 < xn < δ, x′ ∈ S1 } ⊂ ΩQδ - область «вида цоколя», C ∞ (Q)δ всюду плотно в H1 (Qδ ) u ∈ C ∞ (Qd elta).′′u(x , xn ) − u(x , 0) =′′u(x , 0) = u(x , xn ) −Zxn∂u ′(x , yn )dyn∂ynZxn∂u ′(x , yn )dyn∂yn00Zxn∂u ′u (x , 0) 6 2u (x , xn ) + 2((x , yn )dyn )2∂yn2′2′0Интегрируем это выражение по Qδ :δZ2′′u (x , 0)dx 6 2S1ZQδ62ZZ Zxn∂u ′u (x , xn )dx + 2 ((x , yn )dyn )2 dx 6∂yn2′Qδu2 (x′ , xn )dx + δ 2QδТ.е получаем, чтоZu2 (x′ , 0)dx′ 6Z|uxn |2 dxQδ2δZu2 (x′ , xn )dx + δQδS10Z|uxn |2 dxQδЕсли S не плоская, то распрямляем диффеоморфизмом.ZZZu2 dS 6 C1 ( u2 dx + |∇u|dx)S1ΩΩ24Так как u ∈ H1 (Ω), то u ∈ H1 (Qδ ), ∃um → u, пусть u = um − uk .Подставляя в предыдущее выражение, получимZZZ2(um − uk )2 dx + δ |∇(um − uk )|2 dx → 0, m, k → ∞.(um − uk )2 dS 6δΩS1Ω⇒ {um } фундаментальна в L2 (S1 ), т.е ∃u|S1 =lim||.||L2 (S1 )umОпределение u|S1 называется следом.Оператор следа T : H1 (Ω) → L2 (∂Ω)(L2 (S1 )), T u = u|S1 .Покажем, что такое определение корректно.

Пусть{um } , {u′k } → u по норме H1u|S1 , u′ |S1 ∈ L2 (S1 )||u|S1 − u′ |S1 ||L2 (S1 ) 6 ||u|S1 − um |S1 || + ||um |S1 − u′k |S1 || + ||u′ |S1 − u′k |S1 ||ZZZ2(u|S1 − um )2 dx′ 6(u − um )2 dx + δ |∇(u − um )|2 dxδS1u′m |S1 ||L2 (S1 )||u|S1 −ΩΩ||u|S1 − um |S1 ||L2 (S1 ) 6 C(δ)||u − um ||H1 (Qδ )6 C(δ)(||u − um ||H1 (Qδ ) ||um − u′k ||H1 (Qδ ) ||u′k − u||H1 (Qδ ) ) → 0, k, m → ∞⇒ ||u|S1 − u′ |S1 ||L2 (S1 ) = 0Что и требовалось.Задача. u ∈ C(Ω) ⇒ T u = u|∂ΩУпражнение. u ∈ C(Ω) ⇒ uh сходится равномерно к u(x) на Ω′ ⊂⊂ Ω при h → 0Следствие.

u ∈ H10 (Ω) ⇒ T u|∂Ω = 0Доказательство следствия.um ∈ C0∞ (Ω)||u − um ||H1 (Ω) → 0, m → ∞||u|∂Ω − um |∂Ω || 6 C||u − um ||H1 (Ω) ⇒ u|∂Ω = 011.3. Метод Фурье (метод разделения переменных)Пусть Ω ⊂ Rn ограничено, ∂Ω ∈ C 1QT = {(x, t)|x ∈ Ω, 0 < t < T }ΓT = ∂Ω × [0, T ]utt = ∆u + f (x, t), (x, t) ∈ QT(1)(3)u|ΓT = 0, u|t=o = u0 (x), ut |t=0 = u1 (x), x ∈ Ω(2)∂u+ α(x, t)u = β(x, t)u, ν единичная нормаль к ΓT∂νu|ΓT = 0,α ≡ 0 - вторая нормаль.α 6= 0 - третья нормаль.12. Лекция 1212.1.

Характеристики

Список файлов лекций