Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Это позволило численно решать новые классы задач; например, процессы в сплошных средах, описывающиеся уравнениями в частных производных. Сначала для решения эти задач использовались численные методы, разработанные в <доэлектронный» период. Но применение ЭВМ быстро привело к переоценке методов. Многие старые методы оказались неподходящими для автоматизированных расчетов. Стали быстро разрабатываться новые методы, ориентированные прямо на ЭВМ (например, метод Монте-Карло).
Мощности ЭВМ быстро растут. Если в 50-е гг. в СССР всту- пила в строй первая «Стрела» со скоростью 2000 операций в се- кунду и памятью 1024 ячейки, то сейчас во многих вычислитель- ных центрах страны работают БЭСМ-6 со скоростью в ЗОО раз больше и памятью в ЗО раз больше. А наилучшие современные ЭВМ имеют скорость до ЗО миллионов операций в секунду при практически неограниченной оперативной памяти с прямой адресацией. Становятся возможными расчеты все более сложных задач. Это служит стимулом для разработки новых численных методов. $2.
Приближенный анализ 1. Понятие близости. Если требуется определить некоторую величину у по известной величине х, то символически задачу можно записать в виде у=А (х). Здесь и у, и х могут быть числами, совокупностью чисел, функцией одного или нескольких ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ? 1гл. ! переменных, набором функций и т.д. Если оператор А настолько сложен, что решение не удается явно выписать или точно вычислить, то задачу решают приближенно.
ь Например, пусть надо вычислить у= ~х(г) а(. Можно приблиа женно заменить х(Г) многочленом х(г) или другой функцией, интеграл от которой легко вычислить. А можно заменить интеграл суммой У, 'х(г;) стть вычислить которую тоже несложно. Таким образом, приближенный метод заключается в замене исходных данных на близкие данные х и (или) замене оператора на близкий оператор А, так чтобы значение у = А (х) легко вычислялось.
При этом мы ожидаем, что значение у будет близко к искомому решению. Но что такое «близкомо Очевидно, для двух чисел х, и х, надо требовать малости ~ х, — х, (; а близость двух функций можно определить разными способами. Эти вопросы рассматриваются в функциональном анализе, некоторые понятия которого будут сейчас изложены, Множество элементов х любой природы называется метрическим пространством, если в нем введено расстояние р(х„х«) между любой парой элементов (метрика), удовлетворяющее следующим аксиомам: а) р (х„ х,) — вещественное неотрицательное число, б) р (х,, ~ ) =О, только если хд — — х„ (2) в) р(х„х,) =р(х„х,), г) р (х„х,) == р (х„х,) + р (х„х,).
Последовательность элементов х„метрического пространства называется сходящейся (по метрике) к элементу х, если р (х„, х) — «О при и — «со. Последовательность х„называется фундаментальной, если для любого е) О найдется такое н(з), что р(х„, х ) (з при всех п и т)й. Метрическое пространство называют полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к элементу того же пространства. Примером неполного пространства является множество рациональных чисел х=(п!т) с метрикой р(х„х,) =1х,— х,~. Последовательность х»=(1+1й«)» ему принадлежит, является фундаментальной, а сходится к иррациональному числу е, т.е. не к элементу данного пространства.
Если переменные у, х принадлежат неполным пространствам, то обосновать сходимость численных методов очень трудно: даже если удается доказать, что при х„ -« х последовательность у„ фундаментальная, то отсюда еще не следует, что она сходится к элементу данного пространства, т.
е. к решению допустимого класса,' 19 ПРИБЛИЖЕННЫИ АНАЛИЗ эп Элементами наших множеств будут числа, векторы, матрицы, функции и т. п. Сами множества обычно являются линейными нормированными пространствами, ибо в них определены операции сложения элементов и умножения их на число и введена норма каждого элемента !!х!!, причем выполнены следую1цие аксиомы: Х, + «з —— Х, + Хн (Х, + Х,) + Хв — — Х, + (Х, + Х,); существует единственный элемент 6 такой, что х+з=х для любого х (будем использовать для 0 обозначение 0); для всякого х существует единственный элемент — х такой, что х+ ( — х) =9; (3) а (х, + х,) = ах, + ах„(а+ Ь) х = ах+ Ьх; а(Ьх)=(аЬ)х; 1 х=.х; О.х=з единствен; 1!х!!.=0 — вещественное число; !!ах!! = ! а'! !!х!!; !!х!!=0 только при х=О; !!«г+хе!!» !!«1!!+!!«з!! ° Линейное нормированное пространство есть частный случай метрического пространства, а норма определяется метрикой.
Полное линейное нормированное пространство называется банаховим. Практически всегда величины, с которыми мы будем оперировать, являются элементами банаховых пространств; это важно при доказательстве сходимости численных методов. Рассмотрим некоторые примеры банаховых пространств, с которыми нам часто придется встречаться. Выполнимость аксиом (3) и полноту читатели легко проверят сами. а) Множество всех действительных чисел с нормой !!х!1=!х!.
б) Пространство С вЂ” множество функций х ((), определенных и непрерывных при 0(1(1, с чебышевской нормой !!х!!, = = шах!х(1) !. Сходимость в этом пространстве называется равномерной. Условие 0==,1(1 здесь и в следующем примере принято для удобства; оно не является существенным, и можно определять функции на любом конечном отрезке. Класс непрерывных функций часто еще сужают, накладывая на функции дополнительные требования: липшиц-непрерывности, однократной или многократной дифференцируемости и т.
д. Напомним некоторые определения. Функция х(1) называется равномерно-непрерывной на отрезке, если для сколь угодно малого ы)0 найдется такое 6, что !Х(Г„) — х(Гз) !(а для любой пары точек отрезка, удовлетворяющих условию ! 1, — 1, ! ( 6. Таким образом, устанавливается функциональная связь между а и 6. Величина в (6) называется модулем непрерывности функции. Функция, непрерывная во всех ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛЕИИЫЕ МЕТОДЫТ 1гл.
» точках замкнутого отрезка а~1(о, является на этом отрезке ограниченной н равномерно-непрерывной (теорема Кантора); следовательно, пространство С вЂ” множество ограниченных и равномерно-непрерывных функций. Если в» (б) ~ Кб, где К вЂ” некоторая константа, то функцию называют липа»ии-непрерыв»ой. Нетрудно видеть, что если функция имеет ограниченную производную, то она липшиц-непрерывна, причем К=впр ах' (Т) ~.
в) Пространство»'.р — множество функций х (1), определенных при 0~1~1 и интегрируемых по модулю с р-й степенью, если норма определена 1' 1 чпе 11х|!» =1~ )х(1) ~ей~ Р Сходимость в такой норме называют сходимостью в среднем. Пространство»'., называют гильбертовым, а сходимость в нем — среднеквадратичной. Разницу между равномерной близостью и близостью в среднем иллюстрирует рис.1. Функция х, равномерно близка к функции х„ а функция х, близка в среднем, т.
е. мало отличается От х, на большей части Отрезка, но может сильно отличаться от нее на небольших участках. 1) Выбирая метрические прост- Н Щ ранства, т. е. выбирая множества Х, У и определяя в них метрики„ мы тем самым уславливаемся, в каких классах функций мож/ но брать начальные данные и искать решение. Поэтому в конкретной задаче выбор пространств должен в первую очередь определяться физическим смыслом задачи, и лишь во вторую — чисто математическими соображениями (такими, например, как возможность 'доказать сходимость). Например, при расчете прочности самолета нужна равномерная близость' приближенного решения к точному, а близости в среднем недостаточно: перенапряжение в маленьком участке может разрушить конструкцию.
А в задаче о нагреве тела потоком тепла даже норма 1.» удовлетворительна, ибо температура тела определяется интегралом от потока по времени, Нетрудно показать, что между разными нормами (если они существуют) выполняются определенные соотношения. Если функции х(1) определены при 0~1-=.1, тогда 1)х(Т) Ь.,-=. ~~х(1) ~1», ( ..~ 1)х(1) 11с. (4) привлиженнын АнАлиз В самом деле, например: ! ! !! х (() !!рс = ~ ! х (() ! р Й ~ ~ игах ! х (() (р Й = !пах ! х (() ! р = !! х Я !1рс. о о Следовательно, из равномерной сходимости вытекает сходимость в среднем, в частности — 'среднеквадратичная, Поэтому чебышев- скую норму называют более сильной, чем гильбертова.
г) Координатные бесконечномерные пространства, элементами которых являются счетные множества чисел х=(х„хг, ...). По аналогии с пространствами функций, в них обычно вводят норму !!х!1,=Зпр )х! ! или в !!р 11.!1,,= 1-'-„~ !.г! »»»» ~! а само пространство называют соответственно с или (р. д) Конечномерные пространства с<о>, Р"!, элементамн которых Р являются группы из п чисел х=(х„х„..., х„); их можно считать координатами векторов в и-мерном пространстве, (!р! называют евклндовым. Нормы векторов вводят по аналогии со слу- чаем (г), например, л !гр с=! 11 х !1! ~ !1 х !!г ~! х 11» ~ У и !1 х !!г ~ и 11 х !1г (б) которые легко проверить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
