Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Одру. тих схемах (450). Задачи ...........,, ...., 424 439 451 4 4. Сходимость 1. Основная теорема (324). 2. Оценки точности (327). 3. Сравнение схем на тестах (33!). Задачи оглхвлнния Глава Х!Ч Интегральные уравнения 452 462 478 Глава ХЧ Статистическая обработка аксперимента 1. Ошибки знсперимента (480). 2. Величина и доверительный интервал (482). 3, Сравнение величин (490). 4. Нахождение стохастической зависимости (494).
Задачи, 500 501 505 509 П р и л о ж е н и е Ортогональные многочлены Литература Предметный указатель . 4 1. Корректно поставленные задачи 1. Постановки задач (452]. 2. Разностный метод (455). 3. Метод последовательных приближений (458). 4. Замена ндра вырожденным (460). 5. Метод Галеркина (461). 4 2. Некоррентные задачи 1. Регуляризация (462).
2. Вариационный метод регуляризации (465). 3. Уравнение Эйлера (469). 4. Некоторые приложении (473). 5. Разностные схемы (476). Задачи ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА Современное развитие физики н техники тесно связано с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время ЭВМ стали обычным оборудованием многих институтов и конструкторских бюро.
Это позволило от простейших расчетов и оценок различных конструкций или процессов перейти к новой стадии работы — детальному математическому моделированию (вычислительному эксперименту), которое существенно сокращает потребность. в натурных экспериментах, а в ряде случаев может нх заменить. В основе вычислительного эксперимента лежит решение уравнений математической модели численными методами. Изложению численных методов посвящено немало книг. Однако большинство этих книг ориентировано ва студентов и научных работников математического профиля.
Поэтому в настоящее время ощущается потребность в книге, рассчитанной на широкий круг читателей различных специальностей и сочетающей достаточную полноту изложения с разумной степенью строгости при умеренном объеме. Предлагаемая книга отвечает этим требованиям. Она достаточно полно освещает тот круг вопросов, знание которого наиболее часто требуется в практике вычислений, и содержит ряд разделов, которые редко включают в учебные пособия. Умеренный объем достигнут за счет тщательного отбора материала и включения в книгу только наиболее эффективных н часто используемых иа практике методов.
Материал изложен четко и сжато, при этом большое внимание уделено рекомендациям по практическому применению алгоритмов; изложение пояснено рядом примеров. Для обоснования алгоритмов использован несложный математический аппарат, знакомый студентам физических и инженерных специальностей. Книга рассчитана ва читателя, который занимается не столько разработкой численных методов, сколько их применением к прикладным проблемам. Однако в процессе работы над книгой читатель знакомится с основными идеями построения вычислительных алгоритмов и с их обоснованием и приобретает знания, достаточные для разработки новых алгоритмов.
пРедислОВие РедАХТОРА Зта книга является по существу введением в численные методы. Овладев ею, читатель затем может углубить свои знания, обратившись к руководствам по теории разиостных схем и по методам численного решения отдельных классов задач.
Книга написана специалистом по теоретической и математической физике. Она возникла в результат работы автора над рядом актуальных проблем физики в Институте прикладной математики ЛН СССР и преподавания на физическом факультете МГУ. Несомненно.
книга окажется полезной широкому кругу читателей — студентам, аспирантам, научным сотрудникам и инженерам математических, физических и технических специальностей. ,ч, А. Самарский ПРЕДИСЛОВИЕ Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных — таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются (например, решение уравнений бесстолкновительной плазмы).
Поэтому полная программа обучения численным методам должна состоять из ряда этапов. Во-первых, это освоение логарифмической линейки, клавишных вычислительных машин и программирования на ЭВМ. Во-вторых, основы численных методов, содержащие изложение классических элементарных задач (включая основные сведения о разностных схемах). В-третьих, курс теории разностных схем. И в-четвертых — ряд специальных курсов, которые сейчас нередко называют методами вычислительной физики: численное решение задач газодинамики, аэродинамики, переноса излучения, квантовой физики, квантовой химии и т. д. Эта книга является введением в численные методы. Она начинается с простейших задач интерполирования функций и кончается недавно возникшим разделом вычислительной математики— методами решения некорректно поставленных задач.
Книга написана на основе годового курса лекций, читавшихся автором сначала инженерам-конструкторам, а после переработки — студентам физического факультета МГУ. Для каждой задачи существует множество методов решения. Например, хорошо обусловленную систему линейных уравнений можно решать методами Гаусса, Жордана, оптимального исключения, окаймления, отражений, ортогонализации и рядом других. Интерполяционный многочлен записывают в формах Лагранжа, Ньютона, Грегори — Ньютона, Бесселя, Стнрлинга, Гаусса и Лапласа — Эверетта. Подобные методы обычно являются вариациями одного-двух основных методов, н если даже в каких-то частных пРедислОВие случаях имеют преимущества, то незначительные. Кроме того, многие методы создавались до появления ЭВМ, и ряд из них в качестве существенного элемента включает интуицию вычислителя. Появление ЭВМ потребовало переоценки старых методов, что до конца еще не сделано, и до сих пор по традиции большое количество неэффективных методов кочует из учебника в учебник.
Отчасти это объясняется тем, что эффективность многих методов сильно зависит от мелких деталей алгоритма, почти не поддающихся теоретическому анализу; поэтому окончательный отбор лучших методов можно сделать только на основании большого опыта практических расчетов. В этой книге сделана попытка такого отбора, опирающаяся на многолетний опыт решения большого числа разнообразных задач математической физики. Лля большинства рассмотренных в книге задач изложены только наиболее эффективные методы с широкой областью применимости. Несколько методов для одной и той же задачи даны в том случае, если они имеют существенно разные области применимости, или если для данной задачи еще не разработано достаточно удовлетворительных методов. Часто приходится слышать, что наступила эпоха ЭВМ, а «ручные» расчеты являются архаизмом.
На самом деле это далеко не так. Прежде чем поручать ЭВМ большую задачу, надо сделать много оиеночных расчетов и на их основе понять, какие методы окажутся эффективными для данной задачи. Конечно, даже в мелких расчетах ЭВМ с хорошим математическим обеспечением и набором периферийных устройств (телетайп, дисплей, графикопостроитель) оказь|вает большую пользу.
Однако логарифмическая линейка и клавишные машины еще долго будут необходимы. Поэтому большинство методов, изложенных здесь, в равной мере пригодны для ЭВМ и «ручных» расчетов. Основное внимание в книге уделено выработке практических навыков у читателя. Поэтому в первую очередь изложены алгоритмы, даны рекомендации по их применению и отмечены «маленькие хитрости» вЂ” те незначительные на первый взгляд практические приемы, которые сильно повышают эффективность алгоритма. Теоретическое обоснование методов приведено лишь в той мере, в какой оно необходимо для лучшего усвоения и практического применения.
В книгу включен ряд сведений, не относящихся к необходимому минимуму, ио полезных читателю для лучшего понимания тонких деталей вычислительных процессов. Чтобы не увеличивать объем книги и избежать сложных выкладок, эти сведения приведены, как правило, без доказательств, но со ссылками ип дополнительную литературу.
Некоторые сведения даны в форме задач в конце каждой главы. пггдислоаив Предполагается, что читатели знакомы с основами высшей математики, включая краткие сведения об уравнениях в частных производных. Необходимые дополнительнйе сведения, которые не содержатся в обязательных курсах университетов и втузов, сообщаются здесь в соответствующих разделах. Книга разделена на главы, параграфы и пункты.
В начале каждой главы кратко изложено ее содержание. Нумерация таблиц и рисунков — единая по всей книге, а нумерация формул— самостоятельная в каждой главе. Если ссылка не выходит за пределы данной главы, то указывается только номер формулы; если выходит — то номер главы и номер формулы. В конце книги дан список литературы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
