Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если ! <р' (х) ~ ( 1, но вдали от корня ; ;р' (х) ~ ) 1, то итерации сходятся, если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню; при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть. Эти рассуждения переносятся на липшиц-непрерывные функции практически без изменений. Очевидно, что чем меньше <1, тем быстрей сходимость. Вблизи корня асимптотическая сходимость определяется величиной (<р'(х)~ и будет особенно быстрой при <р'(х) = О.
142 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ [гл. у Значит, успех метода зависит от того, насколько удачно выбрано гр(х). Например, для извлечения квадратного корня, т. е. решения уравнения ха=а, можно положить р(х) =а/х или гр(х) = т/з[х+(адт)] и соответственно написать такие итерационные процессы: а ! l а) хл т = — или хл = — ~х„+ — ).
(25) .тл 2 ~ " л ! ':-' ~- .,:.-'., хл хл-т ! (Хл Хл-т) ч ! [ 2хл-т — хл лл-з [ (26) При выполнении этого условия итерации можно прекращать. Легко заметить, что выражение в левой части есть поправка Эйткена (4.24). Если последние три простые итерации уточнить процессом Эйткена, то это обычно заметно повышает точность расчета и позволяет ограничиться меньшим числом итераций. Метод простых итераций и почти все другие итерационные методы имеют важное достоинство; в них не накапливаются ошибки вычислений.
Ошибка вычислений эквивалентна некоторому ухудшению очередного приближения. Но зто отразится только на числе итераций, а не на точности окончательного результата. Подобные методы устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы об,части сходимости. При обработке энспернмента возникают сгпохастичгские задачи, где ошибки определения функции велики и носят случайный характер. Погрешность функции 61 приводит к погрешности корня 62=61(2)йи(2). Однако поскольку ошибки носят случайный характер, то методамн статистики можно определить корень гораздо более точно, чем по указанной оценке, Рассмотрим простые итерации Клчт = Хл — ал) (Хл) М2П )' (Х) (27а) Первый процесс вообще не сходится, а второй сходится при любом хе~О; сходится он очень быстро, ибо гр'(х) =О. Второй процесс используют при извлечении корня на клавишных машинах.
Каков практический критерий сходимости, т. е. когда надо прекращать итерации (23)? Из (24) видно, что если гр'(х) (О, то итерации попеременно оказываются то с одной, то с другой стороны корня, так что корень заключен в интервале (хл, хл,). Это надежная, хотя несколько грубая оценка. Но она неприменима при гр'*(х))О, когда итерации сходятся к корню монотонно, т. е. с одной стороны.
Вблизи корня итерации сходятся примерно как геометрическая прогрессия со знаменателем д = (хл — хл,) !(х„т — хл. з). Чтобы сумма дальнейших ее членов не превосходила в, должен выполняться критерий сходпмости 143 УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ й 21 при дополнительных условнях и„) О, ~ а'„- (оо, ~ оп=со, (27б) л =1 и —.- с которым удовлетворяет, например, последовательность о„=()/л). Доказано [47[, что х„-~-х при и — ьсо с вероятностью единица. Исйольэование в фор. муле (27а) знака производной не означает, что надо вычислять эту производную: достаточно лишь определить ее знак по разностл двух значенийфункции.
Напомним, что стремлением к пределу с вероятностью единицабазывается сходимость к пределу х в подавляющем большинстве случаев (т. е. при раз. ных нулевых приближениях и разных выборах последовательностей о„), хотя в отдельных случаях процесс может не сходиться или сходиться к другому пределу. Стохастические процессы сходятся медленно, поэтому к детермини. рованным задачам их нецелесообразно применять. б. Метод Ньютона. Он называется также методом касательных или методом линеаризацисс. Если х„есть некоторое приближение к корню х, а 1(х) имеет непрерывную производную, то уравнение (22) можно преобразовать следующим образом: О = 1(х) = 1 (х„ + (х — х„)) = 1 (ха) + (х — х„) 1' (й), Приближенно заменяя Г'(й) на значение в известной точке х„, получим такой итерационный процесс: х„„, = х„—, . (28) 1(х„) 1'(х.) ' Геометрически этот процесс означает замену на каждой итерации графика у=[(х) касательной к нему (рис.
28). Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если положить ср(х)— = — х — [/(х)//' (х)1. Тогда ср' (х) =(/1"//"). е Если х есть р-кратиый корень уравнения (22), то вблизи него / (х) = = а(х — х)Р; отсюда нетрудно получить ср' (х) = (р — 1)/р, т. е. О = ср' (х) (1. Для простого корня р=1 и ср'(х)=О. Используя результаты п.
4, можно сформулировать следующие условия сходимости итераций (28). Если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню, ньютоновские итерации, сходятся; скорость сходимостн велика для простого корня и соответствует скорости геометрической прогрессии для кратного корня. При произвольном нулевом приближении итерации сходятся, если всюду',//э~:(1')', в противном случае сходимость будет не при любом нулевом приближении, а только в некоторой окрестности корня.
Сходимость вблизи любого корня монотонна, что легко видеть из рис. 28; но вдали от корня возможна немонотоиность итераций. Отметим, что рис. 28 указывает еще на одно достаточное ]44 системы уРАВнений ]гл. у условие сходимости итераци]";. Пусть 1" (х).=О справа от корня на отрезке [х, а1; если хВ выбрано также справа от корня на этом отрезке, то итерации (28) сходятся, причем монотонно. То же будет, если ]л(х) л=.О слева от корня на отрезке [Ь, х1, и на этом же отрезке выбрано нулевое приближение. Таким образом, итерации сходятся к корню с той стороны, с которой ((х) 7л (х) =- О. Оценим скорость сходимости вблизи простого корня.
По определению простых итераций, х — х,= ч](х) — В](х„,). Разлагая правую часть по формуле Тейлора и учитывая равенство гр' (л) = О, получим хл — х = ]!, (х„, — х)' ср" (~), $ е= (хл „х), (29) т. е. погрешность очередного приближения примерно равна квадрату погрешности предыдущего приближения. Например, если (а — 1)-я итерация давала 3 верных знака, то п-я даст примерно 6 верных знаков, а (и+!)-я— примерно 12 знаков.
Это иллю- 1(х) ==хл-4=0 стрирует быструю сходимость вблизи корня. Разумеется, вдали от корня подобные соображения неприменимьг. Если вычисляется корень высокой кратности, то )' (х) в 3 2,0500 ] ззт] знаменате,че формулы (28) ста- 4 2,0001 ],ВЗЗ0 новится малой вблизи корня. Чтобы не было потери точности, отношение )(х)71'(х) надо вычислять достаточно аккуратно. К остальным погрешностям расчета метод Ньютона хорошо устойчив.
Для нахождения корней произвольной дифференцируемой функции чаще всего применяют метод Ньютона, особенно если известны разумные начальные приближения для корней. Пример. Рассмотрим решение уравнения Г(х)=х' — а=О. Тогда общая формула метода Ньютона (28) принимает вид х =х — — "= — (х + — ) ° лл] л 2 ( л ллл (, ~ лл l Мы получили вторую формулу (25), которая, как отмечалось раньше, позволяет очень быстро находить квадратный корень с помощью только сложения и деления.
Для иллюстрации в таблице 18 приведен ход итераций при извлечении квадратного корня из а=4. Видно, что сходимость очень быстрая; несмотря на неважное нулевое приближение, уже третья итерация дает точность 0,005лл. Попутно можно заметить, что вблизи корня итерации сходятся с одной стороны, т. е. монотонно, хотя первая итерация дает переброс на другую сторону корня, 145 УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ з 21 В. Процессы высоких порядков. В методе простых итераций выберемфункцию <р(х) так, чтобы выполнялось ~р'(Е) = ~р" (х) = „, = ~р'Р-ы (х) = О, ЧГР'(Е) ~ О. (30) Итерационный процесс (23) с такой функцией называют сглаяионорнэеи лро.
чсссом Р-го порядка. Скорость сходимости этого процесса вблизи корня можно получить из следующих равенств: 1 хзэа — к=я (хл) — %(х)= — (к — х)Р цР' (э), в ~ (х„, х). (3!а) ь Если ! гр'Р' (х) ) ( М„, то отсюда следует ! хь х ! «(Мр)я(Р ~У1Р И ( хе Е (Р (31б) Сходимость при Р=! называют линейной (это собственно метод простых итераций), при р=2 — квадратичной (например, метод Ньютона), а при р=з-кубическоц Очевидно, чем больше р, тем быстрей сходятся итерации вблизи корня; к сожалению, тем меньше область гарантированной сходимости этих приближений. Фактически у процессов высокого порядка выход на их асимнтотическую скорость сходимости (31) обычно наступает только тогда, когда итерации уже почти сошлись, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
