Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Какими методами удобнее вычислять интегралы — сеточными или статистическими? Точность метода статистических испытаний невелика, и для однократных интегралов он явно невыгоден. ,г(ля многих измерений положение резко меняется. Пусть функция пт переменных интегрируется по сеточным формулам р-го порядка точности, причем сетка имеет и шагов по каждой переменной. Тогда полное число узлов есть Ж=-п'", а погрешность расчета е и-д (разумеется, предполагается сущест- вование р-х кусочна-непрерывных производных функции).
Поэтому число узлов, требуемое для достижения данной точности е, есть Ж (1/е) уя; оно экспоненциально растет при увеличении числа изме ений. г) ри интегрировании методом статистических испытаний погрешность е Л' — П"'. Поэтому полное число узлов есть йг (1)е)' независимо от числа измерений. Очевидно, если число измерений т ( 2р, то сеточные методы требуют меньшего числа узлов и более выгодны.
Если т ) 2р, то статистические методы выгодней. И чем больше число измере- ний, тем больший выигрыш дают статистические методы. В многомерном случае редко можно рассчитывать на,лучший . порядок точности, чем р = 2; тогда трехмерные интегралы выгод- ней вычисдять сеточными методами, а пятимерные — уже стати- стическими. Если же функция имеет только первые производные, то р= 1, и статистические методы становятся выгодными даже для трехкратных интегралов. 6. другие задачи. Методы статистических испытаний применяют не толь- ко н численному интегрированию, а и во многих других случаях: задачи массового обслуживания, нахождение критических параметров ядерного реах- тора, расчет защиты от излучения н т. д, Например, рассмотрим расчет надемсности сложной нонструкпии, состоящей из многих элементов, Каждый элемент обычно испытывают на изготовляющем 124 (Гл. зч ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ его заводе и снимают так называемую криаук отказов (рис, 23, а): это вероятность выхода ьлемента из строя после ( часов работы.
Чтобы сннть такую кривую, надо заставить большую партию .лементов работать до попомни. Ясно, что испытывать так готовую хонструкцню слишком дорого. Рассмотрим конструкцию, состоящую из четырех элементов, причем поломка любого элемента выводит конструкцию из строя. Самый ненадежныа элемент мы дублируем так, что после поломки элемента включается дублер (рис. 23, б). Тогда конструкция сломается, если сломаются оба третьих элемента или любой другой. Если время жизни о~дельного элемента есть (ь, та время жизни конструкции равно Т=ппп ((и Гс, Г,+(3, (,).
(60) Проведем математическое испытание конструкции. Разыграем выход наждого элемента из строя при помощи равномерно распредезенных случайных чисел уь Откладывая у, на оси ординат кривой отказов перво~о элемента, Уг 22 а) Рнс. 23. получим на оси абсцисс его время жвзни (рнс. 23, а). Время жизни второго элемента опРеделим по числУ Уз и т, дл РазУмеетсЯ, отказ каждого дУблиРУющего элемента надо разыграть отдельно. Затем по формуле (60) найзделз время жизни конструкции в данном испытании.
Повгорян такое испытание много раз можно найти среднее время работы конструкции т= . ''~т, 1 и построить ее кривую отказов. Если надо испытать слегка измененную конструкцию, это можно сделать по тай же программе, изменив в ней только формул)' (60). ЗАДАЧИ 1. Составить из обобщенных формул трапеций (8) н средних (17) такую линейную комбинацию, чтобы сократились главные части нх погрешностей. Показать, что прн этол~ получается обобщенная формула Симпсона (!2). 2. Доказать для формулы трапеций на квазиравномерной сетке асимптотическую оценку погрешности (1О).
3. построить трехточечные разностные выражения для г" (х) на концах отрезка интегрирования. Подставляя их в формулу Эйлера (21), вывести квадратурную формулу Грегори. Найти погрешность этой формулы. 4. Для примера интегрирования функции ) (х) =х ( х й приведенного в таблице 14, найти по таблице 13 мажорантную оценку погрешности примененных квадратуриых формул. Проверить, насколько фактическая ошибка ЗАДАЧИ на каждой сетке отличается от мажорантной. Убедиться, что фактическая погрешность не имеет вида Р— сй". б. Найти погрешность нелинейной квадратурной формулы (33) на равно. мерной сетке.
6. Найти погрешность квадратурной формулы Филона (33), аналогичной форлгуле трапеций. 7. Для слабо меняюшихся функций формулы средних и трапеций близки по точности. Почему их аналоги для быстро осциллируюших функций (35) и (37) имеют сушесзвенно разную точность? 8. Вывести формулу Филона, соотвегствуюшуюквалратичной аппроксимации амплитуды по трем соседним узлам. Сравнить ее с формулой Симпсона.
9. Найти асимптотическое выражение погрешности квадратурьой формулы (41]. 1О. Найти формулу для определения числа л способом Бюффона (4 4, п, 4) и дисперсию этого способа; для этого улобно свести бросания к вычислению интеграла статистическимя методами. Сделать то же для иголох, скрепленных ирестом и снежинкой. ГЛАВА Ч СИСТЕМЪ| УРАВНЕНИЙ В главе Ч рассмотрены методы решения систем алгебраических уравнений. В 4 1 изложено решение линейных систем методом исключения Гаусса, а также вычисление определителя и обращение матрицы; даи обзор других методов решения этих задач. В 4 2 приведены различные методы нахождения корня одного трансцендентного уравнения.
В 4 3 некоторые из этих методов обобщены иа системы нелинейных уравнений. й 1. Линейные системы 1. Задачи линейной алгебры. Выделяют четыре основные задачи линейной алгебры: решение системы линейных уравнений Ах=Ь, где А — квадратная матрица и х, Ь вЂ” векторы; вычисление определителя; нахождение обратной матрицы; определение собствен- ных значений и собственных веку торов матрицы. В этом параграфе й+0 й мы подробно рассмотрим первую йа ав1А задачу и попутно решим вторую и третью. Четвертая задача суще- и ственно сложней, и ей посвящена йаг" следую|цая глава. л Известно, что если бе1А = О, л л' то система линейных уравнений нли не имеет решения, или имеет Рис.
24. бесчисленное множество решений. Если же бе1 А ~ О, то система имеет решение, притом единственное. Дальше мы будем рассматривать только последний случай,. Все эти случаи хорошо иллюстрируются геометрически на системе двух уравнений (рис. 24). Каждому уравнению соответствует прямая в плоскости х, и, а точка пересечения этих прямых есть решение системы (для п уравнений решение есть точка пересечения всех и гиперплоскостей в п-мерном пространстве). Если де1А =О, то наклоны прямых равны, и онп либо параллельны, либо совпадают. В противном случае прямые имеют единственную точку пересечения.
ч!1 ЛЙНЕЙНЪ!Е СИСТЕМЫ На практике кроме существования и единственности решения важна еще устойчивость относительно погрешностей правой части и элементов матрицы. Формально перепишем линейную систему в виде х=А-тЬ. Варьируя это равенство и определяя вариацию обратной матрицы из соотношения 6Е= 6(АА ') —.-АОА-'-1- +6А А '=О, получим бх=А г(6Ь вЂ” 6А.х).
Формально устойчивость есть, ибо при г)е(А;~0 обратная матрица существует. Но если матрица А-' имеет большие элементы, то можно указать такой вид погрешности исходных данных, который сильно изменит решение. В этом случае систему называют плохо обусловленной (по-видимому, плохая обусловленность была известна еще Гауссу). Очевидно, у плохо обусловленных систем с(е1 А = =-0; однако заметим, что,этот признак плохой обусловленности является необходимым, но недостаточным, Плохо обусловленная система геометрически соответствует почти параллельным прямым. При этом небольшое изменение наклона или сдвиг одной прямой сильно меняют положение точки пересечения (рис. 24, пунктир).
В многомерном случае геометрическая картина может быть более сложной. Так, для трех переменных возможен случай плохой обусловленности, когда соответствующие трем уравнениям плоскости пересекаются под большими углами (т. е. далеки от параллельности), но линии их попарного пересечения почти параллельны. В теоретических исследованиях обусловленность часто характеризуют числом к=)1А)Н йА-Ш Это число зависит от того, какая норма матриц выбрана, но при любой корме нгм1.
Чем больше это число,,тем хуже обусловленность системы; обычно н 1Оз — 1Оа уже означает плохую обуслонленность. В практических расчетах этим определением плохой обусловленности пользуются редко, ибо для его проверки надо находить обратную матрицу, что при плохо обусловленной матрице А нелегко сделать. Чаще ограничиваются проверкой условия бе1 А = О, хотя оно является необходимым, но недостаточным, что видно из простого примера.
Положим А =еЕ, где .Š†единичн матрица; тогда бе1 А = е", и даже при не очень малых е детерминант высокого порядка л очень мал, Но система с диагональной матрицей хорошо обусловлена, и для нее критерий к= 1А1 йА-г(1 = ! наиболее благоприятен. Методы решения линейных систем делятся на прямые и итерационные. Прямые методы дают решение за конечное число действий, просты и наиболее универсальны; они рассматриваются в этом параграфе. Лля систем небольшого порядка и«,200 применяются практически только прямые методы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
