Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Решая его (например, методом исключения Гаусса), найдем регуляризованное значение х„зависящее от параметра а. Остановимся на выборе параметра. Если а=О, то система (21) переходит в плохо обусловленную систему вида (1). Если же а велико, то регуляризованная система (21) будет хорошо обусловленной благодаря присутствию в левой части хорошо обусловленной матрицы аЕ; но сама система (21) при большом а сильно отличается от исходной системы, и регуляризованное решение х, не будет близким к искомому решению. Поэтому слишком малое или слишком большое а непригодны. Очевидно, оптимальным будет наименьшее значение а, прн котором обусловленность системы (21) еще удовлетворительна. Для фактического нахождения оптимума вычисляют невязку г,=Ах, — Ь и сравнивают ее по норме с известной погрешностью правых частей 66 и с влиянием погрешности коэффициентов матрицы 6А х.

Если а слишком велико, то невязка заметно больше этих погрешностей, если слишком мало — то заметно меньше. Проводят серию расчетов с различными а; оптимальным считают тот, в котором ~! г„1~ 1~ 6Ы1+ ~~ 6А х!Е Для выбора хэ нужны дополнительные соображения; если их нет, то полагают х, = О. Обоснование изложенного метода дано в главе Х1Ч. Заметим, что матрица системы (21) эрмитова, так что для ее решения можно применять метод квадратного корня. й 2. Уравнение с одним неизвестным 1.

Исследование уравнения. Пусть задана непрерывная функция г(х) и требуется найти все или некоторые корни уравнения 1(х) =- О. (22) Эта задача распадается на несколько задач. Во-первых, надо исследовать количество, характер и расположение корней. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью. Первая и вторая задачи решаются аналитическими и графическими методами.

Например, многочлен л Р„(х) = ~~ а„х" А=О згавнвнив с одним нвизввстным 139 имеет п комплексных корней, не обязательна различных, и все корни лежат внутри круга )хр)( 1+ — гпах(~а,), (а, ), ..., !а„,!). Правда, эта оценка не оптимальная; модули всех корней могут быть много меньше правой части неравенства, в чем легко и убедиться на примере многочлена Р (х) = ~ЧР ~(х — й). ь=! Когда ищутся только действительные корни уравнения, то полезно составить таблицу значений 1(х). Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере один).

Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Но выявить по таблице корни четной кратности сложно. По таблице можно построить график функции д = ) (х) и графически найти точки его пересечения с осью абсцисс. Этот способ более нагляден и дает неплохие приближенные значения корней. Во многих .задачах техники такая точность уже достаточна. В технике еще популярны графические методы решения уравнений (номография). Построение графика зачастую позволяет выявить даже корни четной кратности.

Иногда удается заменить уравнение (22) эквивалентным ему уравнением Ч~(х) =ф(х), в котором функции у,=9~(х) и уз= ф(х) имеют несложные графики. Например, уравнение хз(пх — 1=0 удобно преобразовать к виду з)их=1!х. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения. Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами. Рассмотрим наиболее эффективные из них. 2. Дихотомия (деление пополам). Пусть мы нашли такие точки х„, х„что ) (х,) ~(х,) ==О, т. е. на отрезке ~х„х,) лежит не менее одного корня уравнения. Найдем середину отрезка хз = (х„+х,)(2 н вычислим 1 (хз). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой )(х,))(х„р„,). =О, ибо один из корней лежит на этой половине.

Затем йовый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис. 26). Если требуется найти корень с точностью г, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меныпе 2е.

Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций Г(х), в том числе недифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика; за одну итерацию точность СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ~гл.

у увеличивается примерно вдвое, т. е. уточнение трех цифр требует 10 итераций. Зато точность ответа гарантируется. Перечислим недостатки метода. Для начала расчета надо найти отрезок, на котором функция меняет знак, Если в этом отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс (хотя к одному из них сойдется). Метод неприменим к корням четной кратности. Для корней нечетной высокой кратности он сходится, но менее точен и хуже устойчив к ошибкам округления, возникающим при вычислении / (х).

Наконец, на системы уравнений дихотомия не обобщается. Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна. Рис, 2б. Рис. 27. 3. Удаление корней. Один из недостатков дихотомии — сходимость неизвестно к какому корню — имеется почти у всех итерационных методов. Его можно устранить удалением уже найденного корня. Если х, есть простой корень уравнения (22) и /(х) липшицнепрерывна, то вспомогательная функция д (х) = / (х)/(х — х1) непрерывна, причем все нули функций /(х) и д(х) совпадают, за исключением х„ибо д (х1) ~ О. Если х, — кратный корень уравнения (22), то он будет нулем д(х) кратности на единицу меньше; остальные нули обеих функций по-прежнему будут одинаковы.

Поэтому найденный корень можно удалить, т. е. перейти к функции д(х). Тогда нахождение остальных нулей /(х) сведется к нахождению нулей д(х)., Когда мы найдем какой-нибудь корень х, функции д(х), то этот корень тоже можно удалить, вводя новую вспомогательную функцию сс (х) ='д(х)/(х — х,) =-/(х)/(х — х,) х ~с(х — х,). Так можно последовательно найти все корни )(х). Строго говоря, мы находим лишь приближенное значение корня х — х. А функция д (х) ==) (х)/(х — х,) имеет нуль в точке х, и полюс в близкой к ней точке Х, (рис.

27); только на некото- ээлвнание с одним неизвестным 14! ром расстоянии от этого корня она близка к д(х). Чтобы это не сказывалось при нахождении следующих корней, надо вычислять каждый корень с высокой точностью, особенно если он кратный или вблизи него расположен другой корень уравнения. Кроме того, в любом методе окончательные итерации вблизи определяемого корня рекомендуется делать не по функциям типа д (х), а по исходной функции Г(х). Последние итерации, вычисленные по функции д(х), используются при этом в качестве нулевого приближения. Особенно важно это при нахождении многих корней, ибо чем больше корней удалено, тем меньше нули вспомогательной функции 6 (х) =1(х)/Д (х — х;) соответствуют остальным нулям функции 1(х).

Учитывая эти предосторожности и вычисляя корни с 8 — 1О верными десятичными цифрами, зачастую можно определить десятка два корней, о расположении которых заранее ничего не известно (в том числе корней высокой кратности р 5). 4, Метод простых итераций. Заменим уравнение (22) эквивалентным ему уравнением х=<э(х). Это можно сделать многими способами, например, положив <р(х) = — х+<Р(х)1(х), где <Р(х)— произвольная непрерывная знакопостоянная функция. Выберем некоторое нулевое приближение х, и вычислим дальнейшие приближения по формулам х„„ = <г (х„), п = О, 1, 2, ...

(23) Очевидно, если х„стремится к некоторому пределу х, то этот предел есть корень исходного уравнения. Исследуем условия сходимости. Если <р (х) имеет непрерывную производную, тогда х„.„— х = <!<(х„) — <а(х) = (х„— х) <а' (з), (24) где точка $ лежит между точками х„и х.

Поэтому если всюду ~ <р' (х) , '== <!(1, то отрезки ~х„— х! убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем <! С1 и последовательность х„сходится при любом нулевом приближении. Если ', <г'(х) !) 1, то в силу непрерывности , '<р'(х) ~ больше единицы и в некоторой окрестности корня; в этом случае итерации не могут сходиться.

Характеристики

Список файлов книги