Л. Прандтль, О. Титьенс - Гидро- и аэромеханика, том 2 - Движение жидкостей с трением и технические приложения (1132333), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поэтому, принимзя во внимание соотношение, полученное В № 67. мы можем сказать, что коэфициент сопротивления тела, двигающегося в вязкой несжимаемой жидкости, при налн ~ни свободной поверхности является функцией числа Рейнольдса н числа Фруда )или корни квадрат. ного из пего); Агля полноты упомянем здесь, что в том случае, когда вследствие больших скоростей сжимаемость О нельзя пренебрегать, коэфициент сопротивления зависит также от отношения скорости тела к скорости ./ ~р~ вятка ч невозчушенной жидкости (с = ь — ) .
Следовательно когда ОдУ и,)' повременно действуют инерция, вязкость, тяжесть и, кроме того, имеет место сжимаемость, для сопротивления тела получается выражение з): '1Я' с ~) мй11с. с. н..нудгобупаппкпез ьсудйемйпсус1орагйе оег д)а))з. )ч)ззеп. зс)зацеп, 1Ч, 3, стр 5' 3. ~) В этом выражении сочротнгле ~ня еше не тчтены кавнзапня, капнлтярносгь н теп1плроаолн~гп !22 сопготивдениг. овтьклемых тгл Однако, уже в том случае, когда прихолится иметь дело с двумя < сдрачмернычи параметрами, достижение механического подобия при применении одной и той же жидкости принципиально невозможно, так как оба безразмерных параметра не могут олновременно оставаться постоянными при из <енении длины й );ак мы видели в главе Х1И первого тома, во все< тех случаях, <<в<2 когда в дичина ( — ' маза по сравнению с единицей, мы можем вподне )< с! ирен:бречь с кимаемостью.
<(то касается сопротивления кораблей, то здесь сопрогивление трения играет менее важи)ю роль по сразнени<о с сопротивлением дзвления н волновым, так как оно ма:<о зависит от формы корабля. Поэтому прн испытании моделей обыкновенно пользуются законом подобия Фрудз. Сопротивление трения определяется прн помощи особых испыта<гий и вычнта тся из сопротивления, полученного для модели.
Полученный ос!атон прн помощи закона Фруда нер считывается нд кораб.<ь в натуре и к полученной величлне прибавляется сопротивление трения, вычисленное по соответствующей формуле. Эгот способ был предложен Фрулом и применяется сейчас во всех судостроительных пспытаге.<ьных лабораториях. В последнее время Тельфер ') предложна другой, несколько измененный способ.
75. Сопротивление прн потенциальном течении. Следуег заранее предупредить, что до сих пор мы н инеем такой теории сопротивления движущихся в жидкостях или газах тел, которая хотя бы до некоторой степени правилыю передавала происходящие при течении явления и при помон)и которой можно было бы определить сопротивление, не прибегая к эксперименту д).
Диференцнальные уравнения нязкой !килкости приводят к таким математическим трудностям, от преодоления которых чы до снх пор еще весьма далеки. Почтов<у предметом теоретических исследований служила сначала значительно более простая задача о движении твердого тела н жидкости без трения (несжи«зев<ой и однородной). Но именно в этом случае и нельзя полностью пренебрегать вязкостью, как бы онз нн была мала, Об этом мы уже говорили в М 1 и 52. Здесь мы не будем полробно останавлнза<ься на этих исс:юдозаниях, так как, с одной стороны, им уделено лостаточно места в соответствующей литературе з), а с другой сторонь<, оии, являясь интересным примером приложения математического анзлиза к гидродинамике, тем не менее для знания действительно возникающих и наблюдаемых течений жидкости — за немногими исключениями — ничего не лают, 26. Сопротивление шара при равномерном потенциальном течении.
Остановимся подробнее только на одном частном случае, расю<отрение которого особенно просто: на сопротивлении шара. Применяя метод источников и стоков, рассмотренный в М 20 первого тома, ') Т е11е<, уь 'ч'. Ргю!кюа) гемгпапсе а <н БЫр гез|з!юке 2!в<1!а<1!Т.,Ък. <и заседания ь)ог!ь Йад! соаз! 1дзблнцоп о! Иги)пеегд апп бшрьн11<!егь )соч. 19 ьоппоп !929. д) Иск«юченне сос!аз<лет предельный <а<чай по<а<щего движения, когд.
Я(<1[ .№Ы), а) !. а и< Ь, Нд Н< Нны< п,<н<ь .. сопротнВление ШАРА пРи РАВнол!ВРном потенциАльпом тыаении 123 получаем для потенциала скоростей Ф шара радиуса г„, двпжуацегося В покоящейся жидкости с неравномерной скоростью а, выражение: гз Ф = — а — соз л.
1 о ла Так кзк в случае жидкости без трения воздействие на двнжуацееся тело со стороны жидкости может оыть оказано только в форме давления на поверхность тела, то сопротивление, т. е. саша, противодсйствуаощая движению шара в жидкости и прямопротивоположная направааению движения шара г~аае (р= — О), будет равна )фиг. 64): 2- г„мл йт = ~ 2пго зли ~-гон!У.)2 соз 'Р. 'о Так как мы рассматриваем неустановившееся движение, то давление р следует определить из обн!его уравнения Бернулли !М 67 перВОРО точа), кОторое, если принять ВО ~~~, 4. О Релелееое е пр.тналевниманне, что плотность постоянна, а действие тяжести уничтожается тидростатической подъемной силой, имеет внд; дФ се! .— -)- — -1- — = сОпз1. д! ' Х Постоянная в втол! уравнении не зависит от времени, так как мы предполагаем, что жидко ть занимает неограниченный объем, в котором дз.
нленне вдали от тел остаеася постоянным. дФ Выражение — относится к неподвижной точке пространства, радиус д! же вектор г отсчитывзется в подвижной системе. Стедовательно, производнзя по времени потенциала скоростей Ф в системе отсчета, покоящейся относительно жидкости в бесконечности, будет равнз И др д-е+' дх !Направление х выбирается так, чтобы оно совпадало с направлением а; сч означает диференцирование в движущейся системе).
Подставляя х=гсозл, получаем; И Гаа АФ, — + а ~ — соз аа — — з)п р ) д! ~ дг пли, после выполнения диференцнрования! гз ал — — — соз ча — а' — соз' ' — —, з)па м 2 г д! га~ 2 Принимая во внимание, что дг/ глт ге !л ' 4 124 сопготяглгчие онте>сзе>!ых тел получаем для — выра кение: Р з > Р, 1 'зал его)> †.== соьз'; — — — — соз >у+ аз — созт р — — з)п ь )— 2 'аг — аз — з ) соя~ з> + — з|пз 3>). „з~ Постоянная здесь означает не что иное, как давление в бесконечности, деленное на плотность, т.
е. —, в чем нетрудно убедиться, если >>ц перейти к пределу при г= — со. Для точек нз поверхности шара, т. е. для г=г, получаеч после некоторых преобразований: а. э „ , , Р, — = — — гз — соз т> + —. аз соз 2 р — -'- аз + --, 2 аг ' .б ' 1б Определяя отсюда р и подставляя в вышеприведенное выражение для сопротивления, получаем после в,>полнения интегрирования '); 2 таа )г'.— — — — пр>.
— . 3 а1 ал Если шар движется с постоянной скоростью, г. е. — =О, то только гг что приведенная формула доказывает уже неоднократно упоминавшу>ося теорему, что шар, движущийся прямолинейно с постоянной скоростью, не встречает при своем движении никакого сопротивления. При эточ следует отмщи>ь, что отдельные частицы жидкости, вытесняемые шаром при своем движении в сторону, после прохо>кд ния шара не ззннмшо> своего прежнего положения в пространстве, таь как их траектории являются не зак>кнутыми линиями, з перекрещивающимися кривыми вндз, нзобра>кенного на фиг.
65 з). Следовательно, шар при свои>> движении. кроме прехолюцего дей твия — - вытеснения встреча мых им на своем пути частиц жидкости в стороны, оставляет за собой еще сохраняю>цнйся след, правда, зна штельный лишь в н посредственной близости от себя. 77. Соирогивление тцара црц н< равномерном потенцизьтьн»м теченип. Однако, при ускоренном движении шара сопротивление получается и в потенциальном течении. Следовательно, для ускоренно>о движения шара в кндкости, не обладающей трением, необходима не только силл, равная произведению нз массы шара нз ускорение, но еще дополнительная сита для преодоления инерции массы жидкости, приводимой шаром в движение.
Из вышеприведенной формулы хтя сопротивления после полстзновкп в нее -- )Р вчесто -,-пг 1'к' есть об нем шара) выте. 1 з кает, что эта дополнительная сила равна произведению из половины массы зсидкостн, выгссняечой шаро», на ускорение шара. Таким образом движение шара в неограниченной идеальной жидкости можно рассматри- ') 1>н>е>рсыы трсх посл днях слагаечых тождественно рази, нул>г. к1е с к е, ел Вс!>га е >иг Мул о ге. цзп) . 1ч.сьг.
я, к. >>еь ц. т)>1зз. зц с>оц1зяеп, Ма1ц.-р1>уз, К1а> е 1888, стр. 347. пвиьшньние творамы импттсьсов вать так, как если бы жидкости совсем не было, но масса шарп увеличилась на половину массы вытесненной пиром жидкости. Такое кажущееся увеличение массы будет различным для тел различных форм и для различных движений.
Прп двухмерном течении вокруг круглого цилиндра добавочная масса равна полной массе вытесняемой цилиндром жидкости. Кажущееся увеличение массы может быть вычислено и дли ь(плиндра с некруглым поперечным се <синем. Флт. 65. Абсолютвые траектории еастпп жвлкоств пр» авоекеквв шера в иаеальвой жвткоств (по Е. рвккев Однако, в действительности обтекание шара и круглого цилиндра происходит обыкновенно совершенно по-другому' ), чем это следует по ~сории( поэтому приведенные выводы как раз для шара и круглого цилиндра не имеют особо большого практического значения. Тем не менее подобного рода исследования для некоторых случаев сохраняют свой интерес и иченно — для таких тел, при обтекании которых получается спектр линий тока, мало отличающийся от спектра при потенциальном ~ечении.
Такие спектры линий тока дают тела сигарообразной формы (дирижабли), т((. Приттеиепатс теоремы импульсов. Локазанная в предыдущем котлера теорема о рав нстве нулю сопротивления шара, равномерно движущегося в неограниченной идеальной жидкости, уже давно известнвя под нааванием „парадокса Дирнхле", легко может быть распространена прн помощи теоремы импульсов тактке и на случай тел произвольной '( Лти малых колебаний (пути малы по сравнению с се) результаты, даваемые теорией потенциального течении, подтверждаются хорошо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
