С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

Модельная теория поля привела к описанию частиц со всевозможным их числом. В квантовой теории, рассмотренной в предыдущих главах, мы качали с (нерелятивистской) частицы, число частиц в любой системе было заранее предписано. Поэтому на эту теорию мы будем ссылаться как на квантовую механику частиц, в противоположность квантовой теории поля. В модельной теории поля мы не задавали число частиц вообще. Число частиц при наблюдении может оказаться любым: они появляются сами как кванты поля. Вще более удивительно то, что в многочастичных состояниях все частицы томно идентичны.

Они имеют одинаковую массу и, в нашем примере, одинаковый нулевой спин. В квантовой механике частиц нет ничего такого, что бы исключало мир, в котором не существуют тождественные частицы; например, не запрещен мир, в котором все электроны чуточку отличаются друг от друга. Но в модельной теории поля существуют состояния с любым числом частиц, и эти частицы в точности идентичны. У нас нет способов отличить нх друг от друга. В теориях, 198 Глава 9 учитывающих несколько различных видов полей, может быть несколько типов частиц. Но снова можно сказать, что для каждого типа существуют состояния с любым числом частиц, поэтому все частицы данного типа будут одинаковы.

Большая проблема нашей модельной теории состоит в том, что она скучна. Она описывает гипотетический мир, в котором ничего интересного не происходит. Рассмотрим ситуацию, когда частицы подходят близко друг к другу, как при рассеянии. Но фактически они не сталкиваются, а проходят друг через друга. Это следствие того факта, что классические уравнения поля, на которых основана квантовая теория, являются линейными: сумма двух решений снова является решением. Такая теория дает пример свободной теории полл, т.е.

теории без взаимодействия. Частный случай, который мы здесь обсуждаем, годится для нейтральных бозонов со спином нуль. По аналогии нетрудно сконструировать такую же теорию для заряженных частиц, либо для нейтральных частиц с любым спином. Теория, описывающая заряженные частицы, должна включать как частицы, так и античастицы, как кванты этого поля. Собирая все это вместе, нетрудно построить свободную теорию поля, включающую в себя кванты всех фундаментальных полей, которые есть в реальном мире, — лептоны, кварки и т.д. Но ничего при этом происходить не будет. С той же ситуацией мы встречались в квантовой механике. Там частицы тоже были свободны и независимы, если не были заданы силы, действующие между ними.

Для того чтобы получалось какое-то действие, должны существовать силы. Для теории поля это означает, что для поля должно быть задано взаимодействие: говоря языком математики, в уравнение должны входить нелинейные слагаемые. Взаимодействие Общий формализм квантовой механики частиц относительно безразличен к природе сил, действующих на частицы. Конечно, различные силы будут иметь разные физические следствия. Некоторые силы легче поддаются математической обработке, чем другие, но которые могут лучше соответствовать физической реальности. Но пока выражение для сил не станет патологическим, теория остается согласованной. В квантовой теория поля ситуация может быть вполне противоположной. Случайно выбранные виды взаимодействия, выглядящие вполне безобидно, могут быть не просто нереалистичными, но способны привести к внутренней противоречивости и другим патологиям.

Релятивистская квантовая теория оказывается очень жестко ограниченной и требовательной к виду взаимодействия. Это замечательно. Но такая теория оказывается трудна математически. Это плохо. Так что нет приемлемых реалистических теорий, которые были бы при этом точно решаемыми. Взаимодействие 199 С учетом этих замечаний вернемся к нашей модельной теории поля, добавив к ней простое взаимодействие. Для этого в правую часть (9.2) добавим слагаемое, пропорциональное Эзз.

Это соответствует добавлению к плотности гамильтониана (9.3): 4 На=Лэ . Коэффициент пропорциональности Л здесь выступает в роли «константы связи». Посмотрим, к каким следствиям это может привести, по крайней мере, на уровне теории возмущений, на которой мы остановимся чуть позже. Как уже говорилось, в конкретной модели мы сталкиваемся с серьезными математическими трудностями, независимо от того, приводит ли такая модификация действительно к самосогласованной теории взаимодействующих частиц. Но здесь мы спрячем все концы в воду, поскольку предполагаем использовать эту модель в чисто педагогических целях и получить из нее те свойства, появление которых, по крайней мере, на уровне теории возмущений, можно ожидать и в более реалистичных теориях, рассмотренных позднее.

Развитие во времени любой квантовой системы подчиняется уравнению Шредингера (9.1), которое задается гамильтонианом системы. В отсутствие взаимодействия модельная теория дает кванты данного поля. Но ничего другого. Все происходит благодаря добавлению взаимодействия в гамильтониан. Сразу появляется множество реакций рассеяния, которые ограничены лишь законами сохранения. Когда две частицы (мы будем называть их мезонами) сталкиваются при некоторой достаточно малой энергии, происходит упругое рассеяние — два мезона сталкиваются, два мезона разлетаются.

При более высоких энергиях разлетающихся мезонов их может стать четыре, и т.дд все большее число реакций может происходить по мере повышения энергии столкновения. В нашей конкретной модели вероятность (сечение рассеяния) появления нечетного числа частиц равна нулю. Причина в том, что полное число частиц, участвующих в реакции, должно быть четным. Как мы увидим далее, это связано с тем фактом, что Н„я является четным полиномом четвертого порядка.

Напомним, что сечение рассеяния для любой реакции частиц определяется квадратом амплитуды перехода, умноженной на легко вычисляемый множитель фазового пространства. Поэтому основная трудность связана с вычислением амплитуды перехода. Точное ее вычисление в настоящее время просто безнадежно, так что приходится прибегать к различного рода приближениям. Среди них стоит выделить подход на основе теории возмущений, который лучше всего приспособлен для интуитивного описания. По отношению к нашей модельной теории идея состоит в разложении любой желаемой амплитуды перехода в ряд по степеням константы связи Л.

Например, амплитуда перехода при упругом рассеянии является функцией Л, а также энергии столкновения и угла 2ОО Глава 9 рассеяния. Раскладывая в ряд по Л, мы получим амплитуду как бесконечную сумму слагаемых, каждое из которых зависит от энергии и угла. Ведущее слагаемое пропорционально Л, следующее — Л~, и т. д. Существуют определенные математические правила, позволяющие вычислять каждое слагаемое в разложении, хотя вычислительные сложности при повышении порядка (увеличении степени Л) растут очень быстро.

Более того, даже если ряд сходится, для получения точного результата надо просуммировать бесконечно большое число слагаемых, каждое нз которых должно быть предварительно вычислено. Поэтому теория возмущений будет полезна хотя бы качественно, только если константа связи достаточно мала, так что несколько первых членов разложения обеспечивают достаточно хорошее приближение. Это выполняется в случае электромагнитного и слабого взаимодействия, к которым мы вскоре перейдем. Количественно, подход с помощью теории возмущений более ограничен для сильных взаимодействий, где константа связи достаточно велика.

Классическому полю в нашей модели соответствует оператор ф. Он может рождать и уничтожать мезоны; таким образом, действуя на состояние с и мезонами, он приводит к новому состоянию, которое является линейной комбинацией состояний с (и+1) и (и — 1) мезонами. Слагаемое со взаимодействием Ньа, действуя на состояние с данным числом мезонов, может, следовательно, создавать четыре дополнительных мезона; уничтожать четыре мезона; создавать три, уничтожать один; создавать один, уничтожать три; создавать два, уничтожать два. Эти процессы совместно представляются диаграммой слева на рис. 9.1, которая представляет четыре линии, соединенные в вершине взаимодействия.

Любой из обсуждавшихся процессов может быть представлен набором стрелок, при этом стрелки, направленные к вершине, соответствуют уничтожению, а стрелки от вершины — рождению частиц. Например, три диаграммы справа от равенства на рис.

9.! иллюстрируют переходы мезонов вида 2 — ~ 2, 1 — 3, 3 --~ 1. Рнс. 9.1. Основное «четырехточечное» взаимодействие в модельной теории (левая диаграмма). Она подразумевает пять различных фундаментальных преобразования, три из которых показаны справа. Конечно, реально один мезон не может превратиться в три мезона; или наоборот. Точно также не могут появляться из вакуума четыре 201 Фейнманавекие диаграммы мезона или наоборот. Такие вещи запрещены законом сохранения энергии-импульса. Например, рассмотрим переход 1 — 3 с точки зрения системы отсчета, в которой начальный мезон покоился. Полный импульс был равен нулю. Тогда появившиеся мезоны тоже должны иметь полный импульс, равный нулю. Пока все хорошо. Но энергия в этом случае не будет сохраняться, т. к. начальная энергия должна быть, как минимум, в три раза больше, чем энергия каждого из разлетевшихся мезонов.

Но, поскольку исходная частица покоилась, это невозможно. Поэтому такие процессы представляют только возможности, реализоваться которым мешают законы сохранения энергии-импульса в реальных физических процессах. В том смысле, который будет описан чуть позже, возможности могут реализоваться в переходах с участием виртуальных частиц, Фейнмановские диаграммы Теория поля начала свое развитие с конца 1920 г., когда создавалась квантовая электродинамика (КЭД). В ранних работах КЭД представляла собой смесь квантовой механики частиц для электронов и других заряженных материальных частиц и квантовой теории поля для фотонов, являющихся квантами поля. Со временем квантовые поля были введены и для остальных частиц; сейчас мы убеждены, что все частицы— это кванты каких-то полей.

Характеристики

Список файлов книги