С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Снова упомянем то, что мы, говоря о кварках, подразумеваем под этим словом как частицы, так и античастицы; то же самое касается лептонов. Пока остается неоткрытым нейтральный, бесспиновый бозон, частица Хиггса. В нашем списке теперь нет, вообще говоря, ни протонов, ни нейтронов, ни пионов, ни других частиц, хотя они и образуют в комбинации известные субъядерные частицы. Все они являются составными, образованными из кварков и глюонов. Современная теория стоит на двух ногах: теории сильных взаимодействий (квантовая хромодинамика, КХД) и объединенной электрослабой теории. Мы не разбирали теорию в каких-либо деталях, остановившись лишь на наборе частиц и их взаимодействий и лишь отметили их точные и приближенные симметрии. Более подробный обзор этих вещей уведет нас в глубинные структуры калибровочной симметрии и очень быстро погрузит в сложные технические детали.
К сведению, стандартная модель прошла все экспериментальные проверки, исключая отмеченные выше проблемы с нейтрино — проблемы, которые, возможно, могут быть решены без излишнего напора. Если это так, то есть различные причины считать, что современная теория должна быть включена в некоторые более широкие рамки, что пока не завершено.
Одна из причин состоит в том, что в теории неприемлемо много входных параметров, около дюжины или половины того. Среди них различные массы. Особенно досаждает в связи с этим вопрос о масштабах масс, которые они образуют: от малой массы электрона до очень большой массы тау-лептона; Резюме 193 от малых масс и- и д-кварков до чрезвычайно большой массы 1-кварка, причем на их фоне, на самом низшем конце шкалы возможны малые, но ненулевые нейтринные массы. Почему? Кроме того, в стандартную модель вообще не входит гравитация.
ГЛАВА 9 Квантовые поля Субъядерные частицы, которыми мы занимались, являются очень маленькими объектами, которые или оставляют треки в детекторах различного вида, или переключают счетчик Гейгера, или регистрируются другими путями. Если они стабильны, то имеют определенную массу, если нестабильны, то у них есть определенное время жизни и почти определенная массу. Некоторые их них; протоны, нейтроны и электроны — комбинируются в большое число различных групп, образуя материальный, макроскопическнй мир повседневной жизни. Фотоны, взятые во всей совокупности, образуют повседневный мир света (а также радиоволн, рентгеновских лучей и т. д.). По этим причинам на макроскопическом уровне нас, очевидно, привлекают частицеподобные объекты.
Тем не менее, с теоретической точки зрения, частицы не являются первичной теоретической конструкцией. Приходится обращаться к квантовым полям. Обратимся сначала к классической ситуации. Классически, частицы и поля являются динамическими величинами равного статуса. Любая данная частица имеет определенное положение в каждый момент времени. Цель динамики — предсказать, как положение меняется со временем. Изменение во времени определяется законом Ньютона и действующими силами. В противоположность этому, классическое поле ч(ап у, з, З) является величиной, определенной сразу во всем пространстве.
Цель динамики для поля — предсказать, как поле меняется со временем в каждой точке пространства. Поскольку существует бесконечно много точек пространства, существует и бесконечно много динамических переменных, или степеней свободы. Динамика определяется соответствующими уравнениями в частных производных, например, уравнениями Максвелла для электрических и магнитных полей. Общая динамическая система содержит как поля, так и частицы: для электромагнетизма, кроме полей Е и В, существуют заряженные частицы.
Как перейти к квантованию полей? Сначала проделаем это для системы частиц. Основными классическими наблюдаемыми величинами 195 Свободные поля и свободные настины для частиц являются положение и вектор импульса, Другие интересуюшие нас величины, например, энергия, угловой момент, и т.д. могут быть выражены через координаты и импульс. С учетом этого, квантование состоит в замене координат и импульсов операторами (которые мы будем обозначать сверху тильдой). В представлении Шредингера, которое мы использовали, эти операторы не зависят от времени. Другие наблюдаемые, например, энергия, при этом тоже станут операторами.
Состояние системы закодировано в волновой функции, которая меняется со временем в соответствии с уравнением Шредингера (4.19). Самым основным моментом в этой процедуре являются коммутационные соотношения между операторами координат и импульсов. Оператор координаты одной частицы коммутирует с операторами координат и импульсов остальных частиц. Для данной частицы не равны нулю коммутаторы (9.1) Эти коммутационные соотношения, совместно с уравнением Шрединге- ра, и составляют ядро процедуры квантования системы нерелятивист- ских частиц.
Свободные поля и свободные частицы 1 дауа Д~Р дауа дз- сз дгз (ежа дуя дзз) (9.2) Константа р получит физическую интерпретацию чуть позже, пока будем считать ее за параметр. Из (9.2) легко получить, что величина, которая не меняется с течением времени, может быть отождествлена с энергией поля.
С точностью до множителя, который зависит от соглашения, плотность энергии (энергия на единицу объема) может быть записана в виде Н = †„ — + †, + †, + †, . (9.3) Аналогичная процедура предлагалась ранее и для квантования электромагнитного поля. Это полевая система, которую мы уже встречали в классическом виде; но для понимания процедуры квантования полей были придуманы другие понятия, которые в классическом варианте не встречаются. Мы будем интересоваться только полями, которые удовлетворяют релятивистски инвариантным уравнениям, и начнем с простой модели, которую будем использовать только в педагогических целях А именно, рассмотрим поле у(ау у, з, 1), которое на классическом уровне удовлетворяет уравнению: 196 Глава 9 Мы будем ссылаться на это выражение как на плотность гамильтониана.
Аналогичные выражения можно записать для плотностей импульса и углового момента, переносимых полем. Для понимания квантования вернемся к динамике частицы и рассмотрим отдельную частицу массы т, двигающуюся в потенциале (Г(х, у, -). Аналогом уравнения (9.2) являются уравнения Ньютона: "Ру дИ гй ду' г(рх дИ гй дх' ггР» д(г г(т — Р = т —.
г(г дз ' г(1 Аналогом соотношения (9.3) является полная энергия, или гамильтониан: (Рх Ру Рх) Всего имеется три координаты х, у, з и три импульса частицы р„р, рх. В соотношении (9.3) роль координат играют зависящие от времени значения поля д(х, у, з, 1) в каждой точке пространства. Вспомним, что импульс частиц пропорционален производной по времени от соответствующей координаты; мы будем считать производную по времени от поля — =— х(х, у, з, 1) «импульсомгч который соответствует «координаФ те»»а(х, у, з, 1). Это приводит к следующему соображению.
Для квантования заменим Э» --» З»(х, у, з) и х — » х(х, у, з) операторами, которые зависят от точек пространства, но не зависят от времени. Заметим, что аргумент этих операторов (х, у, з) сам по себе не является оператором; это просто метка, которая определяет положение в пространстве; каждая точка в пространстве имеет свой собственный оператор поля. Идея состоит в том, чтобы потребовать выполнения коммутационных соотношений, аналогичных (9.!); а именно, чтобы коммутаторы для всех операторов обращались в ноль, независимо от того, в одной или разных точках они берутся, за исключением коммутатора 'ка(п),х(п')',. По аналогии с (9.1) можно было бы считать, что этот коммутатор должен быть равен нулю, если точки пространства различны, и равен гй, если точки одинаковы.
Будет более правильным рассмотреть следующую процедуру: поскольку пространство является непрерывным, рассмотрим коммутатор (Зу(х), гг(г')), зафиксируем т, и проинтегрируем по г" в малой окрестности х. Тогда лучшей аналогией (9.1) будет сказать, что результирующий интеграл будет равен 1й. Наблюдаемые полной энергии и полного импульса теперь могут быть выражены через операторы.
Они являются интегралами от соответствующих плотностей, выраженных через Э»х и х(т), для которых известны основные коммутационные соотноп|ения. Сделано! Это все, что необходимо, чтобы сформулировать задачу на собственные значения для энергии и импульса. Энергия и импульс в такой модели коммутируют, 197 Свободные поля и свободные частицы как и должно быть в случае любой реалистичной модели.
Соответственно, для этих двух наблюдаемых существуют общие собственные состояния. Мы начали с очень простых классических уравнений поля только для того, чтобы была простой и квантовая версия. Задача на собственные значения легко решается. Результаты вполне известны и состоят в следующем. (1) Существует единственное состояние с нулевыми энергиями и импульсом.
Это так называемое вакуумное состояние, т.е. состояние, в котором ничего нет. (2) Разрешенные собственные состояния импульса р образуют непрерывный спектр со всевозможными значениями и направлениями. Для данного импульса р существует определенное состояние с энергией Это точное релятивистское соотношение между импульсом и энергией для частицы массы т. Поэтому естественно интерпретировать такие состояния как состояния частицы; мы можем сказать, что это одночастичное состояние. Частица появилась из квантового поля.
Параметр р, с которого мы начали, фиксирует массу частицы яи (3) Существует семейство состояний с импульсом р = р1 + рм и энергией Е = Е1 + Ею причем энергии Еы Ез связаны с импульсами р1 и рз соотношением, приведенным в пункте 2. Это семейство двухчастичных состояний, нумеруемых импульсами ры рз. (4) И так далее. Существуют состояния с любым числом частиц. Каждая частица имеет свой импульс и связанную с ней энергию. Полная энергия и полный импульс получаются суммированием по вкладам от отдельных частиц. Посмотрим, что же получилось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
