Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 44
Текст из файла (страница 44)
но, чтобы стенки чуть-чуть «потускнели», чтобы такое взаимодействие начало происходить и установилось тепловое равновесие между стенками и излучением. Небольшое «потускнеиие» стенок не сказывается нв расчете числа фотонных состояний. э40. Злполпцнив УРОВпгй Вариация г1Я должна вычисляться при переменных т!ь и постоянных дь, поскольку число уровней задано, а заполнение их может меняться. Наше уравнение примет при этом вид ~[да.!п(д, -Ра)-Р * г1а„— агг,!па, -. — *г1а, — — Е, Жь) = О, или 1а,(1п д' "' — Е') — 0. Поскольку это равенство должно выполняться при любых !1тг„имеем д .1-'а Е, Из этой формулы следует (8.!4).
Выясним смысл постоянной О. Рассмотрим распределение квантов по очень высоким уровням. При больших Е, уровни мало заселены, и при расчете числа возможных распределений становится несушествепным, являются ли кванты различимыми или неразличимыми. Следует поэтому ожидать, что найденные формулы перейдут в классические. При больших Е, экспоненциальный член в знаменателе (8.14) становится велик, и единицей можно пренебречь по сравнению с ним.
Отношение п!,!д, равно вероятности заселения уровней с энергией Е,. Мы видим, что вероятность заселения при больших Е! равна ехр( — Е,/О). Сравнивая это выражение с формулой Максвелла (8.1), находим, что где й — постоянная Больцмана. Подставляя О = ЕТ в (8.!4), найдем окончательно и, .=. д, ехр(Е, /ЙТ) — 1 (8.15) Исследуем структуру полученной формулы. Первый множитель в правой части равен числу уровней в рассматриваемом интервале. Значит, второй множитель показывает, сколько фотонов — в среднем— находится на каждом уровне. Это число равно (8.16) Формула (8.!6) заменяет формулу Максвелла для электромагнитного излучения. 1лдвд 8 2!4 Приведем формулу для других бозонов. Если масса частиц отлична от нуля, то в дополнение к условию (8.!3), задающему энергию частиц, появляется еще одно условие — неизменность их числа. Решение задачи об отыскании экстремума приводит в этом случае к формуле (8.
17) Формулы (8,16) и (8,17) определяют распределение Бозе— Эйнштейна. Параметр д носит название химического пот е н ц и а л а. Его величина определяется по числу имеющихся частиц: заменяя второй множитель в (8.15) на (8.17), получим очевидную формулу для определения рп 1 ехр [(Ет — ц) УБТ~ — 1 (8.18) Для фермионов (частиц с полуцелым спином) вместо (8.17) следует пи- сать (8,19) с()у' = А ехр(-- — ) т'с(рм г(рв с(рв =- А ехр(-- — ) т(Г 'В (ЗН) обьем М входит в нормировочную константу Л.
Эта формула выводится аналогично (8.16) и называется р а с пр еделен нем Ферм и — Дира к а. Мы приводим ее здесь без вьвода. Химический потенциал д в (8.19) обычно называется э н е рг и ей Ф е р м и. Как и для бозонов, его величина определяется числом частиц. Заметим, что при распределении Ферми а не может быть большим единицы, так как в знаменателе (8.19) к единице прибавляется существенно положительная величина.
Этого, конечно, и следовало ожидать, поскольку принцип Паули не позволяет двум частицам находиться в одном квантовом состоянии. Каждое состояние может быть либо занято, либо свободно, — в среднем занято меньше чем один раз. Это простое рассуждение позволяет запомнить, что между экспонентой и единицей в знаменателе распределения Ферми стоит знак плюс, а в знаменателе распределения Бозе — знак минус. В системе частиц, занимающей объем 1', распределение частиц, по импульсу в классической физике определяется (8.1)'.
215 440. Зхполпвниа э овпсй или Д?мг = .4 ехр( — —,,) — „г?Е. (2кй) Е 2,7+ 1 дГ (8.20) 22 — 1 КТ (2в!г)з ~(Е Множитель — г(Е равен числу квантовых состояний у(Е) дЕ 2/+ 1 аГ (2яд)з г?Е в интервале энергии с(Е (см. (8.9)). Преобразуем первый множитель формулы (8.20), введя потенциал р по формуле 1пр = — Л 1 (2яй)з (8.21) После этого распределение Максвелла принимает вид дЖ = д(Е) г(Е.
ехр ((Š— р) ~ 'кТ~ Сравнивая эту формулу с (8.15), найдем, что число частиц и, приходящихся па одно квантовое состояние, определяется множителем Больцмана, имеющим вид и. =— (8,22) ехр ' (Š— р) 7 Гьт') Эту формулу н следует сравнивать с (8.1?) и (8.19). Распределения (8.17), (8.19) и (8.22) изображены на рнс. 84. При больших значениях аргумента, когда среднее число частиц, приходящихся на каждый уровень, оказывается много меньше единицы, все три распределения совпадают— квантовые распределения переходят в классическое, Рассмотрим распределение Ферми при низких температурах.
Если энергия состояния хотя бы и не намного (на несколько ЕТ) превосходит энергию Ферми р, то в знаменателе формулы (8.!9) появляется очень большое число, и заполнение оказывается малым: при низких температурах уровни, расположенные выше энергии Ферми, не заполнены. Если, наоборот, энергия уровня меньше энергии Ферми (на несколько ЕТ), то экспоненциальный множитель мал и почти ничего не прибавляет к единице. Уровни, расгголоженные ниже энергии Ферми, заполненьь Между этими областями имеется область, ширина которой по порядку величины равна нескольким йТ. В этой области происходит переход от заполненных уровней к пустым.
При низких температурах этот переход очень резок, так что все нижние уровни, вплоть до некоторого, полностью заняты, а все верхние — совсем пусты. Вопрос о том, какие температуры являются достаточно низкими, зависит от конкретной ситуации, т,е, от плотности уровней и от числа имеющихся частиц 1 ЛАВА 8 216 Рис. 84. Распределения Бозе, Ферми и Больцмана.
!точнее — от их плотности, т,е, от числа частиц в единице объема). Для протонов и нейтронов в ядрах и для электронов в твердых телах «достаточно низкими» оказываются обычные температуры. Обратимся теперь к распределению Бозе. Число частиц, которые могут находиться на одном уровне, при распределении Бозе не ограничено единицей и при малых значениях (Š— д]уП может оказаться очень большим. Скопление частиц на нижних уровнях характерно и для классического распределения Максвелла- Больцмана.
У бозонов это скопление выражено еще сильнее. Более того, при достаточно низких температурах в одном-единственном состоянии с Е = О, несмотря на его равный нулю статистический вес (см. (8.!1)), скапливается конечное, а иногда и большое число частиц. Это явление носит название б о з е - к о н д е н с а ц и и, а совокупность частиц с Е = 0 называется бозе- ко иден с атом или просто конде нс а том. С образованием конденсата связаны явления сверхтекучести и сверхпроводимости, Появление бозе-конденсата при низких температурах легко понять, анализируя (8.18) Запишем эту формулу для инфиинтного движения, когда распределение частиц по энергии является непрерывным, для чего заменим сумму з40. Злполнннип укзвивй 21? интегралом.
Статистический вес состояния возьмем из (8.11) з?з г Я,у ъ'2 лайз / ехр[(Š— д)(йТ) — 1 о (8.23) (8.24) и (О. Теперь нетрудно показать, что при достаточно низких температурах формула (8.23) не может выполняться, так как правая часть оказывается меньше левой. Исследуем входящий в пее интеграл. При выполнении условия (8.24) т?Е г)Е 1" т?Е4Е ехр[(Š— и)/йТ~ — 1,/ ехр(Е)йТ) -.
1 Введем вместо Е переменную л = Е?'к71 (8.25) Входящий в эту формулу интеграл является некоторым числом (можно показать, что он равен 2 3). При уменьшении температуры (8.25), а вместе с ннм н правая часть (8.23), уменьшается как Тз' и становится меньше любого наперед заданного числа. Вследствие этого формула (8.23) при низких температурах не может выполняться. Это означает, что часть входящих в й? частиц должна находиться в состоянии, ничего не вносящем в интеграл 1'. Им является состояние с Е е— в О, хотя оно и обладает нулевым статистическим весом. Частицы, находящиеся в этом состоянии, и образуют бозе-конденсат.
Исследуем эту формулу. Знаменатель подынтегрального выражения определяет среднее число частиц в состоянии с энергией Е и должен быть положительной величиной. Для этого необходилзо, чтобы ехр[(Š— и)/?сТ~ было больше единицы, а значит, чтобы Š— и не принимало отрицательных значений ни при каких Е, включая Е = О. Из этого требования следует, что ГЛАВА 9 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Ватой главе будут рассмотрены свойства р а в новос ного т е яловово го и з луче н и я, т.е. электромагнитного излучения, находящегося в тепловом равновесии со стенками полости, в которой оно заключено.
Исследование свойств такого излучения долгое время являлось одним из центральных вопросов физики. Развивая теорию равновесного излучения, Планк ввел в науку квант действия 6'. При изложении свойств теплового излучения, мы, как и в предыдущих главах, откажемся от следования по историческому пути ради ясности и краткости изложения.
ф 41. Равновесное излучение. Закон Кирхгофа Рассмотрим два непрозрачных тела, обменивающихся электромагнитным излучением и имеющих одинаковую температуру. Заключим эти тела в зеркальную оболочку, полностью отражающую излучение. Такая оболочка играет в нашем случае роль обычной в термодинамике адиабатической оболочки, изолирующей тела от окружающего мира.
По второму принципу термодинамики ни одно из этих тел не может нагревать другое. Это требование приводит к важным следствиям. Пусть, для простоты, оболочка имеет вид эллипсоида, а тела помещены в его фокусы 1рис. 85). По известной из оптики Рнс. 85. Источники све- теореме все излучение, уходяшее от перга в зеркальной оболочке вщ,о тела, попадает в этом случае на втоэллнпсоидальноя Формы рое, а все излучение, уходящее от второ- го тела, — на первое.
Отметим индексом 1 величины, относящиеся к первому телу, и индексом 2 — ко второму. 'Квант веавтввв 6 = Вга = 6,626 зо" зт звг-с 219 з 41. РАвновеснОе излучение ЗАХОн КНРКЕОФА Обозначим через ьгг и 512 потоки энергии, излучаемые этими телами. Эти потоки не равны потокам И'1 и И'2, уходящим от тел, поскольку уходящая от каждого из них энергия складывается из излучаемой и отражаемой. Запишем это утверждение в виде формулы. Введем для этого коэффициент поглощения О, равный отношению интенсивностей поглощенного и падающего на тело излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
