Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Эта энергия равна и„.,рйэ, где И вЂ” объем полости. Имеем, следовательно, и, 'г'Йа = пд(Е)Ег(Е. (9Л 2) Подставляя в это выражение значение д(Е) из (8.!0) и значение и из (8.16), найдем ИЕз Е йЕ язсзйз ехр(Е(1:.Т) — 1 Сокращая обе части равенства на И, заменяя Е на йш и г(Е на йпш, найдем окончательно (9.13) Полученное соотношение называется ф о р м у л о й П л а н к а. Формулу Планка часто записывают через спектральную плотность излучения, отнесенную не к единичному изменению частоты, а к единичному интервалу длин волн. Подставляя (9.9) в (9.13), и опуская знак минус, найдем (9, 13) Эта формула также носит название ф о р м у л ы П л а н к а.
Глльл 9 224 С Д о о 8 10 ьл10' с 2 4 б Д, им 5ОООП5001ООО 500 100 ЗОО 30 20 . 10 0 500 1000 1500 2000 Л, нм Рис. 88. Зависимость спектральной плотности излучения от частоты (а) и длины волны (6). 943. Кллссичгс«нг фоямялы для глвноввсного излгчвния 225 Функции и для разных температур изображены на рис. 86 а. Они представляют собой кривые с максимумами.
Спад кривых в сторону малых ш (больших длин волн) объясняется уменьшением статистического веса д(Е), а спад в сторону больших ш (малых длин волн) — увеличением экспоненциального члена в знаменателе (9.13). При увеличении Т плотность излучения возрастает на всех частотах, а максимум и„смешается в сторону больших частот (коротких длин волн). На рис.
86 б для тех же температур изображены функции их. Спектральные плотности их возрастают с температурой так же, как и и,„. Однако их и и„— разные функции. Они имеют разную размерность и различаются по форме. Максимумы этих функпий — при одной и той же температуре — сдвинуты друг относительно друга (мы вернемся к этому вопросу в следующем параграфе), 943. Классические формулы для равновесного излучения Из формулы Планка (9.13) легко может быть получено несколько важных формул. Найдем прежде всего полную (проинтсгрированную по ш) плотность энергии равновесного излучения при температуре Т Преобразуя интеграл к переменной т †...)хэ(йТ, найдем ,(Т) ллтл / хз дх пзсзйз / е* — 1' о Входящий в это выражение интеграл равен п~,г15.
Поэтому (9,15) К тому же результату, конечно, приводит вычисление и(Т) путем интегрирования (9.14). В формуле (9.!5) комбинация констант, стоящая перед Тз, заменена одной константой и'. Утверждение о том, что полная энергия равновесного излучения пропорциональна четвертой степени температуры, может быть получено без статистического рассмотрения задачи на основе термодинамических соображений. Эта формула ГЛАВА 9 226 Рис. 87. К выводу формулы Стефа- на — Больцмана. Рис. 88. К выводу закона Лааббррт. Обратимся к структуре формулы (9.15).
Вывод о том, что плотность энергии излучения пропорциональна четвертой степени температуры, является физическим утверждением, которое следует запомнить. Постоянная о' с точностью до малосущественного коэффициента згз!15 легко может быть получена из соображений размерности. Эту задачу в качестве полезного упражнения мы предоставляем читателям.
С помощью (9.15) нетрудно вычислить энергию, излучаемую поверхностью абсолютно черного тела. Рассмотрим для этого сферическую полость большого радиуса Л с абсолютно черными стенками (рис. 87). Найдем прежде всего 1А — отнесенную к единице телесного угла энергию, излучаемую в единицу времени единицей площади по направлению нормали к поверхности. Выделим в центре полости неболыцой шаровой объем радиуса г. Телесный угол, под которым виден этот объем из каждой точки поверхности шаровой полости, равен П ягв ~Дз С единицы площади полости в единицу времени на рассматриваемый объем падает излучение, переносящее энергию 1АЙ. Это излучение про- ходит через сечение пг~ и движется со скоростью с.
Плотность его энер- гии равна поэтому 1, й 1А я гзс сЛв была получена Стефа пои и Вол ь ц м а н о м задолго до формулы Планка и носит их имя. Формула Планка позволяет, однако, вычислить постоянную и', которая до этого бралась из опыта. У 43. КлАссические ФОРмулы для РАвновесного излучения 22? а полная плотность энергии в 4ЛЛЯ больше указанной, так что (9.16) ' СЛЗ с Найдем теперь, как энергия, излучаемая поверхностью абсолютно черного тела, зависит от угла излучения. На рис. 88 изображены два нагретых до одной и той же температуры равных участка поверхности (площадь каждого участка равна 8); один из них повернут к другому под углом д.
Из термодинамических соображений следует, что потоки энергии, которыми они обмениваются, должны быть равны друг другу. Первый участок виден из второго под углом (5?ЛЯ), а второй из первого — под уголом (8,?ЛЯ) сов д. Приравнивая потоки, найдем 1в — = 1з —, сов д. Л Л Лз Лэ Индекс д при 1 указывает Еугол, под которым испускается излучение. Сокращая равенство на О',?Л, найдем (9. ! 7) 1п — -- 1А сов д.
Формула (9.!7) носит название з а ко н а Л а м б е р т а. Для абсолютно черных тел она, как мы видели, является точной, а для большинства других тел — приближенной. Найдем теперь Л; — энергетическую светимость абсолютно черного тела. Она равна Л," = у~1вг?П = ~ 1, созд2яв!Ндг!д = 2я1~ / в!Ндг!(Янзд). Интегрирование следует распространить на всю переднюю полусферу, т. е. От д = 9 до д = я?2.
Произведя интегрирование, получим (9.!8) Л,* =я1з. Подставляя в это выражение значение 1е из (9.!6) и значение и из (9.!5), найдем (9. ! 9) Л,' определяет полную мощность излучения, испускаемого с единины поверхности абсолютно черного тела. Соотношение (9.!9) так же, как Глдвь 9 228 и (9.15), носит название закона С т е ф а н а — Б о л ь ц и а н а, а входящая в него константа о называется по с т о я н н о й С т е фа н а— Больцмана: „я !4 (9.20) 60 йз <г —" — <г с 4 Формула (9.21) очень напоминает формулу для числа ударов молекул о стенку, которая выводится в кинетической теории газов и имеет вид где п — плотность молекул, ь — их скорость, а д! — число ударов в единицу времени, приходящихся на единицу плошади стенки.
Умножая эту форл!улу на среднюю энергию молекул (Е), получим !Ч(Е) =- с. и(Е) (9.22) Сравним эту формулу с (9.21). Для этого умножим (9.21) на Т'! аТ ... с. 4 а 3 4 (9.23) Числители дробей, стоящих в правых частях формул (9.22) и (9.23), определяют энергию молекул и соответственно энергию электромагнитного излучения в единице объема. Скорость молекул ь заменяется на скорость фотонов с. В левой части формул стоят соответственно полная энергия молекул, ударяющихся о единицу площади стенки в единицу времени, и полная энергия фотонов, испускаемых в единицу времени с каждой единицы площади стенки.
Эта энергия, как мы уже знаем, равна энергии аадаюших на стенку фотонов, так что левые части сравниваемых формул имеют один и тот же смысл. Формулы (9.22) и (9.23), таким образом, по сути дела идентичны. Вернемся к формуле (9.18). Если бы излучение испускалось во все стороны равномерно, то полная мощность излучения оказалась бы в 2я раз больше, чем мощность 1ъ, испускаемая в единицу телесного угла в перпендикулярном направлении. На самом деле она оказывается всего в я раз больше. Это показывает, что мощность, излучаемая в едина!(у телесного угла перпендикулярно к стенке, в два раза больше, Числовое значение а в системе СГС равно 5.,67.
10 ' эрг!г(с.см'-'.Кл). Сравним формулы (9.15) и (9.19). Они имеют один и тот же вид и различаются только величиной входящих в них констант а и а'. Как нетрудно найти, (9.21) 943. Кт!Ассические ФОРмулы для РАвновесного излучж!ия 229 с й !и гии 4 4язсз ехр((ки()СТ) — 1' (9.24 а) (9.24 б) с г 1 дЛ ЕА — —.
— ил = 4п йс 4 ехр(2л.гю,гЛ!ЕТ) — 1 Лз Обратимся снова к формуле (9.19). Мы видим, что энергетическая светимость пропорциональна очень высокой (четвертой) степени температуры. При обычных (комнатных) условиях и температурах основные тепловые потери связаны с конвекцией и теплопроводностью. Эти потери, однако, пропорциональны первой, а не четвертой степени температуры. Поэтому при достаточно высоких температурах основную роль начинают играть именно потери на излучение. С излучением связана и теплопроводность сильно нагретых тел, например горячей плазмы (как в лабораторных, так и в астрофизических условиях): электроны, находящиеся в более горячих участках плазмы, испускают излучение, которое поглощается электронами в более холодных ее участках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
