Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(8.6) Г!наставляя (8.6) в (8.5) и перейдя от йо к ро, найдем Г (2,„6)з ' (8.7) Формула (8.7) является частным случаем очень обшей формулы (8.8) позволяющей рассчитывать число разрешенных состояний любых частиц. Множитель 2,7 р ! (з — момент импульса) определяет число состояний, не связанных с перемещением частицы в пространстве (число возможных проекций спина).
У фотона это число определяется числом возможных направлений поляризации и равно 2.' Обратимся теперь к множителю Г/(2п6)з. Этот множитель показывает, что число состояний, зависящих от перемещения в пространстве, пропорционально фазовому обьему Г. Из структуры зтого множителя ясно, что знаменатель (2п6)з равен величине фазового объема, приходящегося на одно состояние.
Этот результат имеет фундаментальное значение. В плоских зада зах вместо (2п6)з следует писать (2п6)-', а в одномерных — просто 2тг6. Таким образом, на одно состояние для каждой координаты приходится фазовый объем, равный 2г6. Величина фазового объема, приходящегося на каждую координату, 2п6» с точки зрения принципа неопределенности представляется вполне естественной. Произведение неопределенностей координаты и импульса йьхтбр = 2п6.
Эта величина и определяет »место», занимаемое в фазовом объеме каждым квантовым состоянием. Рассчитаем теперь д(Е) — число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. По определению, имеем д(Е)тдЕ = Х(Е 1-тдЕ) — Х(Е) = тдЕ. дХ(Е) дЕ гИз-за поперсчности» световой волны проекция спина фотона может принимать два, а не три значения и множитель зз' Ч 1 должен быть заменен на 2. ношения р = 66.
Рассмотрим шестимерный ф а з о в ы й о б ъ е м Г, по трем осям которого отложены пространственные координаты, а по трем другим осям — составляющие импульса фотона. Полный шестимерный объем равен произведению объема в пространстве координат на объем (й,г3)про в пространстве импульсов (при р ( ро) 939. ЧислО квлнтовых сОстОяний. Стхтистичесхит! Вес 209 Величина д|У(Е)|'йЕ для фотонов легко может быть найдена из (8.5). Как мы уже отмечали, однако, эта формула неудобна для запоминания и не обладает достаточной общностью. Покажем, как вычисляется д(Е) из обшей формулы (8.8); д(Е)г(Е =- — дŠ—.. — — "йŠ—..
(2д+1) — — ( — )йЕ, д|У др дтпл, др д г4 "р 1' дЕ дЕ' др дЕ др ( 3 (2кй)з или (8.9) Эта формула имеет простой физический смысл. Множитель 4|тра др равен объему шарового слоя в импульсном пространстве. Умножение этого объел|а на К дает величину фазового объема йГ, приходящегося на интервал др. Наконец, умножение на (2д Ь 1)/(2кй)з дает искомое число уровней. Формула (8.9) является общей. Для фотонов вместо 2д+ -|- 1 следует подставить 2 и принять во внимание, что Е = рс, так что д(Е) дŠ—,, дЕ (фотоны).
11Е2 кгсг6~ (8.10) Для частиц, обладающих отличной от нуля массой, при не слишком больших скоростях р = чс2|пЕ. Подставляя это выражение в (8.9), найдем ,зу д(Е)дŠ— — (2д+ 1) и| У ГЕдЕ (8 11) /2 яйз (нерелятивистские частицы с массой |и). Величина д(Е), определяемая формулами (8.9), (8.10) или (8.11), равна числу уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. Она называется статистическим весом и играет огромную роль в физике. Стагпистический вес всегда пропориионален объему, занятому частицами.
Статистический вес увеличивается с энергией и при малых энергиях стремится к нулю, Ори малых энергиях уровни (квантовые состояния) расположены редко, а при больи|их энергиях сближаются и в классическом пределе располагаются непрерывно. Такое поведение статистического веса связано с трехмерным характером рассматриваемой задачи — с множителем 4прздр в (8.9).
!лава 8 210 ф 40. Заполнение уровней. Распределения Бозе— Эйнштейна и Ферми — Дирака Рассчитаем теперь число способов, которыми можно распределить имеющиеся частицы по квантовым уровням. Как мы уже знаем, цель расчета заключается в том, чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц. Это распределение и должно обнаруживаться на опыте. Разобьем энергетический интервал на ряд следующих друг за другом областей с одинаковым шагом ЬЕ между ними.
Выберем размер шага небольшим, чтобы внутри каждой области распределение частиц по уровням можно было считать равномерным. Потребуем вместе с тем, чтобы ширина ЬЕ была велика по сравнению с расстоянием между уровнями. Тогда в каждой области поместится много уровней и можно будет применять статистический метод расчета к каждой области в отдельности. Легко видеть, что при достаточно большом ящике (см.
(8.9), (8.!0)) плотность уровней оказывается огромной и эти требования не противоречат друт другу. При расчете числа способов, которыми можно осуществить всякое данное распределение, важно помнить, что частицы неотличимы друг от друга. Мы уже об этом говорили. Состояние, в котором первая частица находится на уровне 1, а вторая — на уровне 2, неотличимо от состояния, в котором на уровне ! находится вторая, а на уровне 2 — первая частица.
При расчете числа способов распределения частиц по уровням мы должны считать эти размещения за одно, а не за два. Дальнейшие расчеты будут проведены для фотонов, т. с. для частиц с целым спином, на которые принцип Паули ие распространяется. Формулу для фермиопов мы приведем без вывода. Возьмем для расчетов один из выбранных выше энергетических. интервалов. Присвоим ему индекс 1, Пусть в этом интервале имеется д, и возможных фотонных состояний и и, квантов. Число способов, которыми можно разместить п, неразличимых между собой квантов при д, возможных состояниях, можно вычислить с помощью обычных методов комбинаторики.
Оно равно (д, — и,, — 1) ! (д, — 1)! и,'. Для вьщода этой формулы применим следующий прием. Отделим уровень д1 от остальных. Все остальные уровни и кванты будем считать равноправными объектами, вначале не различая, где квант (!), а где уровень (д).
Полное число объектов будет равна и; -'. д..- 1. Выстроим все объекты в произвольном порядке в одну линию справа от уровня д,. Пусть при этом, например, 2П 440. Злполнеииа эновнгй возникает комбинация д1, 78, 12, 727, де, д!4, 1.1, 128, Д16 Придадим этой комбинации следующий смысл. Поместим все кванты на первый находящийся слева от них уровень. В нашем случае восьмой, девятый и двадцать седьмой кванты попадут на первый уровень, шестой уровень окажется пустым, одиннадцатый и двадцать восьмой кванты попадут на четырнадцатый уровень, и т.д. Теперь ясно, зачем первый уровень с самого начала был исключен из рассмотрения и помещен в начало последовательности.
Если бы это не было сделано, первым мог оказаться не уровень, а квант, который в этом случае остался бы без места. Вычислим число возможных перестановок из (д, + п, — 1) объектов. Как известно, оно равно (д, -1- и, — 1)1 Учтем теперь, что каждое состояние было сосчитано много раз. При нашем способе расчета рзсстановки у112д271 и 7д271у172, например, считались различными, хотя они тождественны даже с точки зрения классической физики в обоих случаях на уровне дг находится второй квант, а на уровне дз — первый.
Переставляя между собой уровни (но не меняя их заполнения фотонами!), мы обнаружим, что каждое состояние было сосчитано (д, — 1) 1 раз. Учтем теперь неразличимость квантов. Число способов, которыми можно пересташзть кванты, равно п,( Итзк, число способов, которыми можно разместить а, квантов по д, уровням, равно (д, -). и, - 1)! (д4 — Ц! и,! Рассчитаем теперь число способов, которыми можно осуществить распределение, при котором в первой энергетической области находится пг фотонов, во второй — из фотонов, и т.д.
Расстановка фотонов в разных энергетических областях нс зависит друг от друга. Поэтому полное число способов Р равно произведению: (8,12) Как было уже указано, «нстинныма распределением является то, которое может быть достигнуто наибольшим числом способов, т. е. распределение, при котором Р имеет максимум, При отыскании максимума следует помнить, что полная энергия излучения определяется температурой стенок и должна считаться заданной. В то же время число фотонов является свободным, так как они непрерывно поглощаются и испускаются стенками'.
Обозначая через Ез среднюю энергию фотонов в 1-й 'Идеально зеркальные стенки не поглошают н не испускают фотонов. Однако лостаточ- 1лдвд 8 2!2 энергетической области, найдем, что максимум выражения (8.12) следу- ет искать при условии, что полная энергия излучения з задана; з = ~~» Е,и, .= сопя(. Итак, наша задача сводится к вычислению максимума функции (8.12) при условии (8.!3).
Расчет показывает, что этот максимум достигается цри и» = д» (8Л4) ехр( Е', т»д) — 1 где 0 — некоторое число, смысл которого еще предстоит установить, Выведем формулу (8.14). Находить максимум произведения сложно. Существенно проще вычислять максимум функции В = 1пР, являющейся суммой, а не произведением членов, относящихся к отдельным уровням Применяя формулу Стирлинга 1пп! юп1пп — и, которая справедлива при больших и, и пренебрегая в (8.12) единицей по срав- нению с большими числами дь и пю найдем Я = !пР = ~[1«»(де+ пи)! — 1пдь! — 1п аз 1~ = .— —. ~[(дь+ пь)1п(дь+ пь) — дь 1пдь — пь 1ттпь~. Задача сводится к тому, чтобы найти максимум этого выражения при условии Р=к — ~ ~Едок =О. Используя метод неопределенных множителей Лагранжа для нахождения услов- ного экстремума функции многих переменных, найдем «И+ (1/д) с(Р— О, где д — некоторый множитель (обозначение !Гд введено здесь вместо обычного лагранжева обозначения Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
