И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Поэтому К = Ц) + рз/2(т + М). А так как К„р = рг/2пг, то, исключив рэ из этих двух уравнений, получим Глава З 21з Зто и есть пороговая кинетическая энергия налетающей частицы т, начиная с которой данная эндоэнергетическая реакция становится энергетически возможной. В ядерной физике обычно можно ограничиться нерелятивистской формулой (8.45).
Но в процессах с участием релятивистских частиц следует исходить из инвариантности выражения (П.З): Ю вЂ” рзсз — — -тзсз = 1пч, (8. 46) где Š— полная энергия системы. Например, в случае расщепления атомного ядра массы т под действием 7-кванта при пороговом значении его энергии е„р мы имеем (е„р + те~) — е„= (т, + тз е ...) с~.
Здесь левая часть равенства записана в Л-системе, а правая — в Ц-системе, где образовавшиеся частицы покоятся (при е„р). Из этого равенства получим (т1 рте+...) — т г г впар с 2т (т, + тз+..;т)(т, + тз+...+т) с . (8. 47) 2т Из последних двух скобок в числителе первая представляет собой энергию эндоэнергетической реакции ~ф, а вторая равна Ц + 2тсэ. В результате (8.47) примет вид (8.48) Это и есть выражение для пороговой энергии 7-кванта в случае эндоэнергетической реакции, энергия 9 которой известна. Уровни возбуждения ядра.
Приведем в заключение энергетическую схему ядерной реакции, проходящей через составное ядро М*: т + М -+ М* — + т' + М' + 9. Эта схема показана на рис. 8.13. Здесь т+ М и т'+ М' — суммы масс частиц до и после реакции, К и К вЂ” суммарные энер- гии частиц в Ц-системе, Е" энергия возбуждения составного ядра, 9 — энергия реакции.
На рисунке показаны также уровни составного ядра, они обозначены цифрами 1, 2, 3, ... Варьируя энергию налетающей частицы, т. е. К в 1(-системе, можно обнаружить, что выход ю ядерной реакции вблизи каждого уровня плавно меняется, проходя через максимум (рис. 8.14). Из этого следует, что сами энергетические уровни «размыты». Пусть ширина кривой ю(Е) на половине эвысотыэ равна Г. Эта величина представляет собой Е' неопределенность энергии соответствующего уровня. Из соотношения неопределенностей для энергии и времени Г.тьй М Р . ВЛЗ Рж.
8.14 можно оценить время жизни т данного конкретного уровня, т. е. время пребывания составного ядра в данном возбужденном состоянии. Разным уровням соответствуют, вообще говоря, разные значения Г и т. Эту главу закончим рассмотрением при- 3 мера на нахождение энергетических уровней ядра. 2 Пример. При облучении мишени из углерода дейтронами возбуждается ядерная реакция "с (н,в) ым, выход ю которой имеет максимумы при следующих значениях энергии К„ "Х дейтронов: 0,60, 0,90, 1,ББ и 1,80 МэВ.
Найдем энергии Е' соответствующих Рж. В.1Б уровней составного ядра, через которые идет данная реакция„если энергия связи дейтрона в со- Глава 3 ставном ядре мМ равна Е„= 16,16 МэВ. Из рис. 8.15 видно, что Е* = Е„+ К = Е„+ — Кю 1 (1) где учтено, что суммарная энергия К исходных-частиц (С и 4) определяется формулой (3.41). В результате получим: тс 13 Е* Р с К Е + гас+ тз ' 15 При указанных значениях Кз получим соответственно 16,68, 16,94, 17,50 и 17,72 МзВ. Задачи 8.1.
Энергия связи ядра. Найти энергию связи ядра, которое имеет одинаковое число протонов и нейтронов, а радиус в д = 1,5 раза меньший радиуса ядра згА). Р е ш е н и е. Сначала найдем массовое числоА искомого ядра. Согласно формуле (8.3) А = (г/гы)зАы = 27/т~з = 8. Это отвечает ядру зВе.
Его энергия связи в соответствии с (8.8) и табл. 8.1 равна Е = 4(бн+ Лп) Лв = 4(0 007825+ 0 008665) 0 005308 = = 0,060652 а.е.м. = 56,5 МэВ. 8.2. Закон радиоактивного распада. Радионуклид Х образуется с постоянной скоростью так„ что ежесекундно возникает 7 радиоактивных ядер. Постоянная распада этих ядер равна 1. Считая, что в момент 1 = О число данных ядер )у(0) = О, найти закон накопления их со временем, т. е. )у(г). Р е ш е н и е.
За промежуток времени ОГ приращение 6% числа ядер нуклида Х определяется уравнением б)у = дйг — арубе = (д — иу)би Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования: 221 Атомвое ялро Интегрирование последнего уравнения по )т и з с учетом началь- ного условия Ж(0) = О дает Потенцируя, получим в результате )У(З) = — (1 — е и). Видно, что с течением времени число ядер Х асимптотически приближается к Ф = д/1. 8.3. При радиоактивном распаде ядер нуклида Хз образуется радионуклид Хз. Их постоянные распада равны 1, и 1з. Полагая, что в момент з = 0 препарат содержал только иуклид Хз в количестве )т'зз определить: а) количество ядер нуклида Хз как функцию времени, Фз(з); б) момент г, когда количество ядер иуклида Хз достигает макси- мума. Р е ш е и и е.
а) В данном случае изменения во времени количеств № и Фз ядер обоих радионуклидов будут описываться следующими уравнениями: 6№(бз=)оФ~ ЙФз/41=1~№ 1з№. (1) Первое из этих уравнений совпадает с (8.13) и имеет решение (8.14). т. е. М, = Жззе ~".
Второе же уравнение описывает приращение в едииицу времени количества ядер радионуклида Хз. Оно происходит за счет распада ядер Хз в количестве 1з)т'з и убыли дочерних ядер из-за их распада ( — 1зФз). Перепишем второе уравнение из (1) в виде )~)з + 1з)тз = 1з)тза е (2) Решение этого неоднородного уравнения ищем как сумму решения однородного уравнения и частного решении неоднородного: Фз(З)=Ае ' +Вец. (3) Из начального условия Фз(0) = 0 находим 0 = А + В, поэтому (3) можно переписать в виде зтз(з) = А(е ' — е " ) . (4) Глава 8 После подстановки (4) в (2) найдем: А )ууэЛу/(Л, — Лз).
Тогда (4) примет вид Ф,(г)=Ф„Л (е- .-н) Лз — Лт б) Взяв производную дФзу'аг и приравняв ее нулю, найдем: ) (Л ~Л,) Лд-Лу 8.4. Альфа-распад. Распад покоящихся ядер з'эро происходит из основ- ного состояния и сопровождается испусканием двух Ро групп а-частиц: основной с энергией К„= 5,30 МэВ и слабой (по интенсивности) с энергией К' = 4,50 МэВ. Найти энергию а-распада этих ядер и энергию у-квантов, испускаемых дочерними ядрами. Р е ш е н и е. Из условия следует, что дочерние ядра возникают не только в основном состоянии, но и в Р)э возбужденном (рнс. 8.16). рис 316 Из сохранения импульса имеем р =р, или жК,=тдКд, где индексом <дд отмечено дочернее ядро (дэзР5).
Энергия же а-распада с учетом (1) равна (2) Я=К +К =К„1+— юд! Аналогичное выражение запишем для Я', когда дочернее ядро вознккает в возбужденном состоянии: Я'= К' 1+ —" (3) Из формул (2) и (3) получим Ям = й — Ц' = (К„- К„'5 1 — "~ = 0,80 = 0,815 МэВ. т„) 210 вдд! 206 8.5. Вета-распад. Неподвижное ядро эНе испытывает б-распад, в результате которого дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Энергия распада 4) 3,50 МэВ. Под каким углом к А ое ядро найравлению вылета электрона испущено ней- трииЬ если электрон с энергией К, = 0,60 МэВ вылетйл под прямым углом к направлению дви- жения ядра отдачи? Р е ш е н и е. Сначала изобразим треугольник импульсов (рис. 8.17), где р„— импульс отдачи Р, дочернего ядра.
Из рисунка видно, что соэ а = р,/р„. ра С )ь.р)р,, =)»,)»,+В, ') р с = с» = '» К» К» Ряс. 8.17 В последнем равенстве кинетической энергией ядра-отдачи можно пренебречь. В самом деле, из соотношения К = рэ/2з», принимая во внимание, что импульсы всех трех частиц по порядку величины одинаковы, а масса ядра-отдачи значительно превосходит массу электрона, следует: К„ ~ К,. Таким образом, )»,)», 2~)) соз а= Я вЂ” К Отсюда а = 70' и О = ПО'. -))))/ = »)/алебх, где ле — количество ядер в единице объема.
Разделив переменные Ф н х в формуле (1), проинтегрируем полученное выражение. 8.6, Эффективное сечение реакции. Какова должна быть толщина кадмиевой пластинки, чтобы поток тепловых нейтронов при прохождении через нее уменьшался с)х в Ч = 100 раз? Сечение поглощения нейтрона ядром атома кадмия а, = 2,54 кб, плотность кадмия р= 8,85 г/смз.
Ф Ф+йМ Р е ш е н н е. Выделим мысленно бесконечно тонкий плоский слой кадмия, перпендикулярный потоку нейтронов (рис. 8.18). Пусть на 1 смз этого слоя ежесекундно падает ))/ нейтронов. Рис. 8,18 Тогда можно утверждать, что убыль числа /7 равна Глава 8 В результате !л(Ж/Фа) = -оааА откуда искомая толщина д равна 1п(г(з/Ф) 1и ц олс олс Здесь лз = Ф~р/М, Фл — постоянная Авогадро, М вЂ” атомная мас- са кадмия (112,4 г~'моль). 8Л. Энергия реакции. Найти энергию Я реакции ~Ы (р,а)»Не, если известно, что энергии связи ядер Ч,| и 4Не равны соответственно Е,„= 39,2 МзВ и Еп, = 28,2 МзВ.
Р е ш е н и е. Энергия реакции согласно (8.39) равна (с = (та + тн) — 2тн- где т — массы ядер — выражены в энергетических единицах. Представим эти массы в соответствии с формулой (8.5) как ты — — Зтр+ 4т„— Еп, тв = 2тр+ 2т» Я = 2Ев, — Еп = 17. 2 МэВ. 8.8. Найти энергию реакции ыР)(а р) зтС если энергия налетающей а-частицы К„= 4,00 МэВ, и протон, вылетевший под углом 8 = 60' к направлению движения а-частицы, имеет энергию Кр — — 2,08 МэВ. ро рр Р е ш е н и е. Исходим из того, что им- 8 пульс и полная энергия системы в этом процессе сохраняются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
