О.Г. Смолянов - Курс лекций по функциональному анализу (1128611), страница 7
Текст из файла (страница 7)
∂xrnnКаждое из пространств D, S, E является линейным. В этих пространствах задается топология следующим образом.Начнем с пространства S. В нем топологию определяет система полунорм P = {pn,k : n, k = 0, 1, 2, . . .}.∞SТеперь рассмотрим пространство D. D =Dr , где Dr = {ϕ ∈ D |r=1supp ϕ ⊂ S(0, r)}. Но Dr ⊂ D ⊂ S.
Получаем в Dr индуцированнуютопологию из S.Определим фундаментальную систему окрестностей нуля:W ∈ V ⇔ W выпукло и ∀ r ∈ N W ∩ Dr — открытая окрестностьнуля в Dr .Определение 8.4. V ⊂ D открыто тогда и только тогда, когда онопредставляет собой объединение (возможно, сдвинутых) окрестностейнуля.Теперь определим топологию PE в E. Для этого снабдим пространствоE семейством полунорм: p ∈ PE ⇔ ∃ компакт K ⊂ Rn и r, k ∈ {0, 1, 2, . . .} :P ∂ k ϕ(x) ∀ ϕ ∈ E pr,k = sup P. r1rnx∈Krj =r ∂x1 . . . ∂xnЭто семейство полунорм и задает топологию.Теорема 8.1.
Пусть E хаусдорфовое и локально выпуклое пространство и топология может быть задана не более чем счетным семейством полунорм. Тогда E метризуемо.Доказательство. Если {pn } — полунормы из условия, то метрика такоPpn (ϕ−φ)ва: ρ(ϕ, φ) = ∞n=1 2n (1+pn (ϕ−φ)) .31Лекция 14.Предложение 8.1. Fg = 0 ⇔ g(x) = 0 почти всюду.Доказательство. Рассмотрим семейство гладких функций(1, x ∈ (a + 1/n; b − 1/n);ψa,b,n (x) =0, x 6∈ [a; b].Понятно, что ∀ x 0 6 ψa,b,n (x) 6 1. Пусть теперьДокажем, что ∀ a < b ∈ R1Rb+∞Rg(x)ϕ(x) dx = 0.−∞g(x) dx = 0.
В самом деле, посколькуaψa,b,n → γ(a;b) при n → ∞, то, подставляя ϕ = ψa,b,n и переходя к пределупод знаком интеграла (это возможно по теореме Лебега), получаем:Z+∞Zb0=g(x)ψa,b,n (x) dx → g(x) dx.−∞aДокажем теперь, что для любогоR ограниченного измеримого подмножества A из R1 верно равенство g(x) dx = 0. Действительно, ∀ ε >A> 0 ∃ Aε : ν(Aε △A)< ε и ∀ ν > 0 ∃Rδ > 0 : ∀ B ⊂ RR1 , ν(B) < δ,RB ⊂ [a−1; b+1] ⇒ |g(x)| dx < ν. Значит, g(x) dx = 0 иg(x) dx < ν,BAεA△AεRоткуда g(x) dx = 0.AПусть ν : B(R1 ) → R1 — мера.
Построим следующее отображение∗этойR меры в пространство обобщенных функций: ν 7→ Fν ∈ D , Fν (ϕ) == ϕ(x) ν(dx). Рассуждая так же, как и при доказательстве предыдущейR1теоремы, получаем, что ∀ a < b ∈ R1 ν((a; b)) = 0. Если A ∈ B(R1 ), то±±по теореме Хана ν = ν + − ν − , поэтому ∀ ε > 0 ∃ A±ε : ν (A△Aε ) < ε.Отсюда следует, что ∃ Aε : ν ± (A△Aε ) < ε и ν(Aε ) = 0. Отсюда получаем,что |ν + (A) − ν − (A)| < 2ε, а значит, ν(A) = 0.Введем теперь некоторые операции в пространстве обобщенных функций. Для этого прежде всего заметим, что D ∗ — это модуль над E.Поэтому, например, ϕFg = Fϕd .Определение 8.5. Производной обобщенной функции F называется такая обобщенная функция F ′ , что (F ′, ϕ) = −(F, ϕ′ )329.
Преобразование Фурье.Сначала определим преобразование Фурье для функций из классаL1 (Rn ).7Определение 9.1. Пусть Rϕ ∈ L1 (Rn ). Ее преобразованием Фурье называется функция ϕ̂(x) = c1 e−i(x,z) ϕ(z) dz, где c1 — некоторая ненулеваяRnконстанта.Замечание.R i(x,z) В дальнейшем мы докажем т.н.
формулу обращения: ϕ(x) == c2 eϕ̂(z) dz. При этом константы c1 и c2 выбираются таким обраRnзом, чтобы c1 c2 = (2π)n . В дальнейшем мы будем считать, что c1 = 1 и1c2 = (2π)n.Рассмотрим некоторые свойства преобразования Фурье.Теорема 9.1. Преобразование Фурье L1 (Rn ) → C 0 (Rn ) непрерывно.Доказательство.
В самом деле,R функция ϕ̂ непрерывна по теореме Лебега и kϕ̂kC 0 = max |ϕ̂(x)| 6 |ϕ(z)| dz = kϕkL1 . Кроме того, |ϕ̂(x)| → 0xRnпри x → ∞: это верно для функций ϕ(x) = γ[a;b] (x), которые плотны в L1 ,а значит, ими можно приблизить любую другую функцию и применитьтеорему Лебега.Теорема 9.2. Пусть g(x) ∈ C 1 (R1 ) ∩ L1 (R1 ), тогда gb′ (x) = ixĝ(x).Доказательство. Действительно,gb′ (x) =Z−ixz ′eg (z) dz = limZnn→∞−nR1e−ixz g ′ (z) dz == lim e−ixz g(z) |n−n +ixn→∞Zn−ne−ixz g(z) dz = ixĝ(x),Rzт.к.
g(z) = g(0) + g ′ (z) dz, откуда ∃ lim g(z) = c1 и ∃ lim g(z) = c2 .z→∞0z→−∞Оба этих предела равны 0, т.к. g ′ ∈ L1 (R1 ), откуда и следует искомоеравенство.7В дальнейшем мы для простоты часто будем считать, что n = 1.33Лекция 15.Теорема 9.3. Если f ∈ L1 (R) и [x 7→ xf (x)] ∈ L1 (R), то (fˆ)′ (z) =\= −ixf(x).−eДоказательство. ∀ α, β |eiα −eiβ | 6 |α−β|.Отсюда | e∆zRR −ix(z+∆z)−e−ixz Поэтому fˆ′ (z) = lim e dx = −ixe−ixz f (x)dx.−ix(z+∆z)∆z∆z→0 R−ixz| 6 |x|.RТеорема 9.4. fd( xa )(z) = afˆ(az).RRДоказательство. fd( xa )(z) = f ( xa )e−ixz dx = af (y)e−iayz dx = afˆ(az),RnRnгде была сделана замена x = ay.Теорема 9.5. fˆ(x + a)(z) = eiaz f (z).RRДоказательство.
fˆ(x + a)(z) = f (x + a)e−ixz dx = f (y)e−i(y−a)z dx =Rniaz=eRnfˆ(z), где была сделана замена x = y + a.Парсеваля). Если функции f, g ∈ L1 (R), тоRТеорема 9.6 (РавенствоRˆf (x)g(x)dx = f (x)ĝ(x)dx.RRДоказательство. Согласно теореме Фубини, имеем:ZZ Z−ixzˆf (x)g(x)dx =f (z)edz g(x)dx =RRR=Z ZR−ixzg(x)eRZdx f (z)dz = ĝ(z)f (z)dz.RRRПрименение теоремы Фубини возможно, поскольку|f (x)||g(x)|dzdx =R2RR= |f (z)|dz · |g(x)|dx < ∞.Примеры.x2\c′ = i · iz fˆ(z) =Пусть f (x) = √12π e− 2 .
Тогда (fˆ)′ (z) = −ixf(x)(z) = if= −z fˆ(z). Получаем дифференциальное уравнение: (fˆ)′ (z) = −z fˆ(z).2xОбщее решение fˆ(z) = Ce− 2 . Константа C определяется из условия2Rˆ = f (x)dx = 1. Поэтому fˆ(z) = e− z2 .fˆ(0) = C. Но f(0)RЗамечание. S ⊂ L1 .34Теорема 9.7. ∀ ϕ ∈ S ϕ̂ ∈ S и отображение ϕ 7→ ϕ̂ непрерывно.Доказательство.
Проверим, что ∀ n, ksup(1 + |x|2k ) · |ϕ̂(n) (x)| < ∞.x∈R\n ϕ(z)(x) + ((−iz)\n ϕ)2k (x) · (−i)2k . Оценивая по модулю это(1 + x )(−iz)выражение, получаем требуемое.2kТеорема 9.8. ϕ ∈ S ⇒ ∀ P, ∀ m = 0, 1, 2, . . . P (x)ϕm (x) ∈ S, где P —многочлен.S(m)Теорема 9.9. Если ϕn −−−→ 0, то P ϕnn→∞SLn→∞n→∞S−−−→ 0.n→∞1Теорема 9.10. ϕn −−−→ 0 ⇒ ϕn −−−→ 0.12Доказательство. ϕn (x) = 1+x2 · (1 + x )ϕn (x).R 112|ϕn (x)| = 1+x|ϕn (x)|dx =2 · (1 + x )ϕn (x) 6 kϕk · 1+x2 . kϕn kL1 =RRdx= kϕn k2,0 ·6 Ckϕn k2,0 .21+xRЗамечание. Из этой теоремы следует, что отображение ϕ 7→ ϕ̂ непрерывно.Теорема 9.11.
Пусть Λ : S → S — преобразование Фурье. ТогдаZ1ei(x,z) ϕ̂(z)dz.ϕ(x) =(2π)nRnДоказательство. Действительно,ZZZZxxxϕ( )ψ̂(x)dx = a ϕ(y)ψ̂(ay)dy = ϕ(y)ψ̂( )(y)dy = ϕ̂(x)ψ( )dx.aaaRRRRRRПри a → ∞ получаем ϕ(0) ψ̂(x)dx= ψ(0) ϕ̂(x)dx.RR√RR x2x211−Если ψ(x) = √2π e 2 , то √2π ϕ̂(x)dx = ϕ(0) e− 2 dx = ϕ(0) 2π.RRR1Отсюда ϕ(0) = 2πϕ̂(x)dx. Положим ϕ1 (x) = ϕ(x + z), тогда ϕ1 ∈ S.RRRR izx111\ϕ(z) = ϕ1 (0) = 2πϕ̂1 (x)dx = 2πϕ(xe ϕ̂(x)dx.1 + z)(x)dx = 2πRОбозначим ϕ̌(z) =12πRRReizx ϕ(x)dx.R35Предложение 9.1.
Если ϕ ∈ S, то ϕ̌ ∈ S.Предложение 9.2. Λ — сюръекция.Доказательство. ϕ ∈ S ⇒ ϕ̌ ∈ S. ϕ̂ˇ = ϕ ⇒ ϕ ∈ Im Λ.10. Преобразование Фурье обобщенных функций.Определение 10.1. Преобразованием Фурье для F ∈ S ∗ называетсяобобщенная функция F̂ : (F̂ , ϕ) = (F, ϕ̂).Предложение 10.1. F̂ непрерывно на S.Доказательство. Пусть ϕn → ϕ, проверим, что (F̂ , ϕn ) → (F̂ , ϕ).(F̂ , ϕn ) = (F, ϕcn ) → (F, ϕ̂) = (F̂ , ϕ).Лекция 16.Определение 10.2.
Преобразованием Фурье функции F ∈ D ∗ называется обобщенная функция F̂ , такая, что (F̂ , ϕ) = (F, ϕ̂). Здесь ϕ ∈ Z = D̂и ϕ̂ ∈ D. Т.е., Ẑ = Ž = D и F̂ ∈ Z ∗ .В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:Z(F, ϕ) = F (ϕ) = F (x)ϕ(x) dx.R11Если же g ∈ Lloc1 (R ), то положим(Fg , ϕ) = Fg (ϕ) = (g, ϕ) =Zg(x)ϕ(x) dx.R1Определение 10.3.
Регуляризацией функции g (или обобщенной функции Fg ) называется продолжение Fg на все пространство D с сохранениемнепрерывности.Замечание. Продолжение вовсе не обязано быть единственным!Упражнение 14. Докажите, то регуляризации функции g(x) = x−nобразуют подпространство размерности n в D ∗ .36Упражнение 15. Обозначим через D0k множество функций из D, которые равны 0 вместе со всеми своими производными порядка не больше kна некотором интервале (−ε; ε). Пусть также g(x) = x−n . Докажите, что1.
Обобщенная функция Fg непрерывна на D0 = D00 .2. Обобщенная функция Fg однозначно продолжается на D0n−1.3. ∃ K : K ⊕ D0n−1 = D и dim K = n.Теорема 10.1. Пусть F ∈ D ∗ . Тогда выполняются следующие свойства:\1. F̂ ′ = −izF(z).′c2. F = ixF̂ .Доказательство. В самом деле,′′(F̂ , ϕ) = −(F̂ , ϕ ) ==−ZR1−(F, ϕb′ )=−ZF (z)(iz ϕ̂(z)) dz =R1izF (z)ϕ̂(z) dz = −Z\\izF(z)(x)ϕ(x) dx = (−izF(z), ϕ),R1а также\ =−(cF ′ , ϕ) = (F ′ , ϕ̂) = −(F, ϕ̂′ ) = −(F, −ixϕ(x))=ZZF̂ (x)(−ixϕ(x)) dx =R1ixF̂ (x)ϕ(x) dx = (ixF̂ (x), ϕ).R1Предложение 10.2.
Если F ∈ D ∗ и F обладает компактным носителем, то F̂ (z) = (F, [x 7→ e−ixz ]).Строгое доказательство мы дадим позже, а пока что приведем правдоподобное рассуждение, позволяющее обосноватьэто предложение.АRRR−ixzF (x)edx ϕ(z) dz; сименно, ∀ ϕ ∈ D (F̂ , ϕ) = F̂ (z)ϕ(z) dz =11R1RRRRдругой стороны, (F̂ , ϕ) = (F, ϕ̂) = F (x)e−ixz ϕ(z) dz dx. Если быR1R1речь шла об обычных функциях, то правые части этих равенств былибы равны в силу теоремы Фубини. Однако для обобщенных функций,формально говоря, применять эту теорему нельзя.
Поэтому это рассуждение не может считаться строгим доказательством.37Приложение.Экзаменационные вопросы.1. Равносильность счетной компактности и секвенциальной компактности для подмножеств метрических пространств.2. Доказательство того, что всякое секвенциально компактное подмножество метрического пространства полно и предкомпактно.3. Доказательство того, что всякое компактное подмножество метрического пространства секвенциально компактно.4. Доказательство того, что всякое полное предкомпактное подмножество метрического пространства компактно.5. Теорема о вложенных шарах.6. Теорема Бэра.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
