О.Г. Смолянов - Курс лекций по функциональному анализу (1128611), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть E — линейное пространство и f — линейныйфункционал на E. Тогда он непрерывен в слабой топологии (E, σ(E, G))⇔ f ∈ G5 .Доказательство. Если x ∈ E таково, что pg (x) < ε, где g ∈ G, то |g(x)| == pg (x) < ε, а значит, g непрерывен в 0.Обратно, пусть g ∈ (E, σ(E, G))∗ . Тогда g непрерывен в 0, поэтому∀ ε ∃ V (0) ⊂ V : ∀ x ∈ V |g(x)| < ε. Отсюда следует, что∃ gk : {x ∈ E | pgi (x) < 1} = {x ∈ E | |gi (x)| < 1} ⊂ V.nTПоэтому, если |gk (x)| < 1, то |g(x)| < ε, а значит, т.к. ker g ⊃ker gk , тоk=1P∃ λk : g =λk gk , откуда g ∈ G.Существование таких λk следует из леммы 5.1. В самом деле, возьмемK1 = E, K2 = Rn , K3 =PR1 , f12 (x) = (g1 (x), . . .
, gn (x)) и f13 = g. Тогда∃ f23 : f23 ((x1 , . . . , xn )) = λk xk , что и требовалось.Теорема 5.2. Пусть E — нормированное пространство и B ⊂ E. ТогдаB ограничено в топологии σ(E, E ∗ ) ⇔ B ограничено по норме.Доказательство. Пусть B ограничено по норме и g ∈ E ∗ . Тогда ∀ x ∈∈ B |g(x)| 6 kgk · kxk, откуда kxk < ∞ и sup |g(x)| < ∞.x∈BДокажем обратное утверждение. Вложим E в E ∗∗ и применим ко множеству B ⊂ E ⊂ E ∗∗ теорему Банаха–Штейнхауса.
Тогда B ограниченов топологии σ(E, E ∗ ) ⇔ ∀ f ∈ E ∗ sup |f (x)| < ∞, т.е. sup |Fx (f )| < ∞,x∈Bx∈Bт.к. B поточечно ограничено на банаховом пространстве E ∗ . Значит, Bограничено по норме в E ∗∗ . Но вложение E ֒→ E ∗∗ является изометрией,поэтому B ограничено и в пространстве E.Теорема 5.3. Пусть E — нормированное пространство и V ⊂ E —выпуклое подмножество в нем.
Тогда V замкнуто по норме ⇔ V замкнуто в топологии σ(E, E ∗ ).Доказательство. В одну сторону утверждение очевидно, т.к. топологияпо норме сильнее слабой.Докажем обратное утверждение. Для этого рассмотрим следующеепонятие.Определение 5.4. Функционалом Минковского множества W называется функционал pW (x) = inf{λ > 0 | x/λ ∈ W }.5По другому утверждение теоремы можно записать так: (E, σ(E, G))∗ = G.21Функционал Минковского обладает следующими свойствами.1) pW (0) = 0 (обратное неверно!);2) pW (αx) = αpW (x), где α > 0;3) pW (x1 + x2 ) 6 pW (x1 ) + pW (x2 ).Докажем свойство 3) (остальные очевидны). Нам будет достаточнодоказать его в случае, когда ∀ x ∈ E W ∩ {λx} открыто в {λx} и 0 ∈ W .xПусть x1 , x2 ∈ E, тогда ∀ ε > 0 pW (xjj )+ε ∈ W (j = 1, 2).
Т.к. W выпукло,xpW (xj )+εpW (x1 )+pW (x2 )+2εи zj = pW (xjj )+ε имеем: τ1 x1 + τ2 x2 ∈ V . Ноx1 + x2pW (τ1 x1 + τ2 x2 ) = pW< 1,pW (x1 ) + pW (x2 ) + 2εто при τj =тогдаоткуда pW (x1 + x2 ) < pW (x1 ) + pW (x2 ) + 2ε, что и требовалось.Теперь докажем обратное утверждение теоремы.
Можно считать, что0 ∈ V . Тогда ∃ S(z, ε) : S(z, ε) ∩ V = ∅, поэтому (V + S(0, ε/2)) ∩∩ (S(z, ε/2)) = ∅. Положим W = V + S(0,Sε/2). Тогда W — это выпуклоеоткрытое множество, поскольку W =(S(0, ε/2) + v). Пусть pW —v∈Vфункционал Минковского множества W , тогда ∃ δ > 0 : pW (z) > 1 + δ.На одномерном пространстве {λz} определим функционал f (λz) == λpW (z). Тогда ∀ x ∈ {λz} f (x) 6 pW (x). Значит, по теореме Банаха–Штейнхауса функционал f можно продлить до функционала f¯ на E, такого, что f¯(x) 6 pW (x). Этот функционал непрерывен: пусть S(0, ε/2) ⊂⊂ W , тогда ∀ x ∈ S(0, ε/2) pW (x) < 1, поэтому f¯(x) 6 pW (x) < 1 и¯f¯(−x) < 1, откуда |f(x)|< 1.Рассмотрим множество U = {x ∈ E | f¯(x) > 1 + δ/2}.
Тогда z ∈ U¯и U ∩ W = ∅ (т.к. f(x)< pW (x), откуда U ⊂ {x ∈ E | pW (x) > 1 ++ δ/2}, а последнее множество не пересекается с W ). Но отсюда следует,что U ∩ V = ∅, т.е. V содержит вместе с каждой точкой некоторую ееокрестность в слабой топологии топологии, что и означает открытостьV.Лекция 9.6. Гильбертовы пространства.Определение 6.1. Пусть E — линейное пространство над R1 или C1 .Скалярным произведением на E называется функция b : E × E → C1 ,удовлетворяющая следующим аксиомам:1) b(λx, z) = λb(x, z) и b(x, λz) = λ̄b(x, z);222) b(x1 + x2 , z) = b(x1 , z) + b(x2 , z) и b(x, z1 + z2 ) = b(x, z1 ) + b(x, z2 );3) b(x, z) = b(z, x);4) b(x, x) > 0, причем b(x, x) = 0 ⇔ x = 0.Если пространство E вещественное, аксиомы немного другие, а именно, в аксиоме 1) b(x, λz) = λb(x, z), и в аксиоме 3) b(x, z) = b(z, x).Если (E, b) — евклидово пространство, то на нем можно ввести норму,а именно, kxk2 = b(x, x).В дальнейшем скалярное произведение будем обозначать через (x, z).Предложение 6.1 (Неравенство Коши–Буняковского–Шварца).|(x, z)| 6 kxkkzk.Доказательство.
При z = 0 утверждение очевидно. Пусть теперь z 6= 0.Поскольку неравенство0 6 (x − λz, x − λz) = kxk2 − 2(x, z)λ + λ2 kzk2верно при всех λ, то дискриминант квадратного трехчлена, стоящего вправой части, должен быть отрицательным. А он как раз равен (x, z)2 −− kxk2 kzk2 .Замечание.
В этом доказательстве предполагалось, что пространствоE вещественно. Доказательство для комплексного случая будет дано втеореме 7.5.Определение 6.2. Полное евклидово пространство называется гильбертовым. В дальнейшем мы будем обозначать его через H.Примеры.R1.
Пространство L2 (Ω, B, ν) со скалярным произведением (f, g) == f (x)g(x) ν(dx) является гильбертовым.Ω2. Пространство l2 суммируемыхпоследовательностей со скалярнымPпроизведением ({xn }, {zn }) =xn zn является гильбертовым (на самомделе, это частный случай пространства L2 (Ω, B, ν), когда Ω = N, а ν —считающая мера).Определение 6.3. Вектора a, b ∈ H называются ортогональными, если(a, b) = 0.Вектор a называется нормированным, если kak = 1.Предложение 6.2.
Если {xj } ⊂ E — линейно независимая системавекторов, то ∃ {ej } ⊂ E : ej — ортонормированная система векторови ∀ k he1 , . . . , ek i = hx1 , . . . , xk i.23Доказательство. Для доказательства воспользуемся процессом ортогонализации Грама–Шмидта: положим e1 = kxx11 k иxn −n−1P(xn , ej )ejj=1en = .n−1P(xn , ej )ej xn −j=1Легко видеть, что система векторов {ej } искомая.Определение 6.4. Ортонормированная система векторов {ei } пространства E называется тотальной, если hei i = E.Ортонормированная система векторов {ei } пространства E называ∞Pется замкнутой, если ∀ x ∈ E kxk2 = (x, ei )2 .i=1Ортонормированная система векторов {ei } пространства E называется полной, если ∀ x ∈ E : (x, en ) = 0 ⇒ x = 0.Ортонормированная система векторов {ej } называется базисом про∞Pстранства E, если ∀ x ∈ E x =(x, en )en .n=1Лекция 10.Предложение 6.3 (Неравенство Бесселя).
∀ x ∈ E kxk2 >Доказательство. В самом деле,P(x, en )2 .nkk2XX(x, en )en = kxk2 −(x, en )2 ,0 6 x −n=1n=1откуда следует, что при всех k выполнено неравенствоа значит,∞PkP(x, en )2 6 kxk2 ,n=1(x, en )2 6 kxk2 .n=1 PP Предложение 6.4. inf x − αn en = x − (x, en )en .{αn }Доказательство. Несложно убедиться, что2 XXXX αn en = x −(x, en )en + (x, en )en −αn en ,x −откуда следует искомое неравенство.24Теорема 6.1. Имеет место следующая диаграмма:(1) тотальность ks+3KS(4) базисность(2) замкнутость+3(3) полнотаДоказательство. Сначала докажем, что (2) ⇔ (4).
Пусть система век2kkPPторов {en } замкнута. Тогда x −(x, en )en = kxk2 −(x, en )2 → 0n=1при k → ∞, поэтому x = limkPn=1P(x, en )en = (x, en )en .k→∞ n=1Обратно, пусть система векторов {en } является базисом, тогда по2kkPP(x, en )en , откуда x −(x, en )en = kxk2 −лучаем, что x = limk→∞ n=1−kPn=1P(x, en )2 → 0, а значит, kxk2 = (x, en )2 .n=1Теперь докажем, что (1) ⇔ (4).
Пусть система векторов {en } тотальkPна. Тогда ∀ x ∈ E, ∀ ε > 0 ∃ k ∈ N, {αn }kn−1 : x −αn en < ε. В силуn=1kPпредложения 6.4, отсюда следует, что x −(x, en )en < ε, а значит,n=1Px = (x, en )en .Обратная импликация очевидна.Наконец, докажем, что (4) ⇒ (3). Пусть система векторов {en } являkPется базисом и ∀ x, n (x, en ) = 0. Тогда x = lim(x, en )en = 0.k→∞ n=1Теорема 6.2 (Рисс–Фишер). Если пространство E гильбертово, то(3) ⇒ (4).PДоказательство. Поскольку (x, en )2 < ∞, то для всякого x ∈ E име Pk2P k2ем: (x, en )en =(x, en )2 → 0 при k1 , k2 → ∞. Т.к.
E гильбертово,n=k1n=k1P∃ z ∈ E : z = (x, en )en . Остается доказать, что z = x. Это следует изследующей цепочки равенств и полноты:(z − x, el ) = (z, el ) − (x, el ) = limk→∞что и требовалось.25kXn=1(x, en )en , el − (x, el ) = 0,Определение 6.5. Пространство называется сепарабельным, если онообладает счетным всюду плотным множеством.Теорема 6.3. Любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства изоморфныДоказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
