О.Г. Смолянов - Курс лекций по функциональному анализу (1128611), страница 4
Текст из файла (страница 4)
если ∀ x, z ∈ Ω или x 6 z или z 6 x).Пусть Ω1 ⊂ Ω. Тогда элемент ω ∈ Ω называется мажорантой Ω1 ,если ∀ x ∈ Ω1 x 6 ω.Элемент a ∈ Ω называется максимальным элементом Ω, если ∀ x ∈ Ωx > a ⇒ x = a.Лемма 4.1 (Куратовский–Цорн). Если для каждого линейно упорядоченного подмножества Ω1 ⊂ Ω существует мажоранта ω ∈ Ω, то в Ωесть максимальные элементы.4Теперь мы готовы завершить доказательство. Пусть Ω = (G, fG ), гдеE1 ⊂ G ⊂ E и fG1 — продолжение f на G1 для которого ∀ x ∈ G fG (x) 6p(x). Введем на Ω следующее отношение порядка: (G1 , fG1 ) 6 (G2 , fG2 ),если G1 ⊂ G2 и fG2 — продолжение fG1 на G2 .
Пусть Ω1 ⊂ Ω — линейноупорядоченноеS подмножество, тогда найдется мажоранта ω = (GΩ1 , fΩ1 ),где GΩ1 =Gα и fΩ1 — продолжение f на GΩ1 , определенное следуюGα ∈Ω1щим образом: если x ∈ Gα , то fΩ1 (x) = fGα (x) (из линейной упорядоченности Ω1 вытекает корректность этого определения). По лемме Цорна вΩ есть максимальный элемент (Gmax , fmax ).В силу первой части доказательства Gmax = E. Действительно, если Gmax 6= E, то ∃ z ∈ E \ Gmax , и согласно первой части, fmax можнопродолжить на подпространство conv(Gmax , z) в противоречие с максимальностью (Gmax , fmax ).4Ее доказательство можно найти, например, в книге Н.
Бурбаки «Теория множеств».16Следствие 4.1. Пусть E — нормированное пространство и f : E1 → R1— непрерывный линейный функционал на пространстве E1 ⊂ E, причем¯ = kf k.kf k = C > 0. Тогда ∃ f¯: E → R1 : f¯ |E1 = f и kfkДоказательство. Пусть p(x) = Ckxk, тогда ∀ x ∈ E1 |f (x)| 6 Ckxk == p(x), а значит, по теореме Хана-Банаха ∃ f¯: E → R1 : f¯ |E1 = f , причем¯f¯(x) 6 Ckxk. Но неравенство f(x)6 Ckxk влечет −f¯(x) = f¯(−x) 6¯6 Ckxk, а из этих двух неравенств вытекает, что |f(x)|6 Ckxk, т.е.что kf¯k 6 C.
Значит, kf¯k = C (поскольку kf¯k > kf k ввиду того, чтоf¯ |E1 = f ).Предложение 4.4. ∀ x ∈ E ∃ f x ∈ E ∗ : kf x k = 1 и f x (x) = kxk.Доказательство. Положим E1 = {λx | λ ∈ R1 } и f0 : E1 → R1 , f0 (λx) == λkxk. Тогда kf0 k = 1. Тогда продолжение этого функционала без увеличения нормы будет искомым.Рассмотрим пространство E ∗∗ . Можно считать, что E ⊂ E ∗∗ ; а именно, рассмотрим отображение x 7→ Fx ∈ E ∗∗ , где Fx (g) = g(x). Это отображение — вложение: если x 6= 0, то Fx 6= 0 по предыдущему предложению.Поскольку |Fx (g)| = |g(x)| 6 kgkkxk, то kFx k 6 kxk, причем равенстводостигается при g = f x .
Значит, kFx k = kxk. Т.о., вложение E ֒→ E ∗∗ ,x 7→ Fx является изометрическим на образ f (E).Определение 4.7. Пространство E называется рефлексивным, если образ E при этом вложении совпадает с E ∗∗ .Определение 4.8. Нормированные пространства E1 и E2 называются изоморфными, если существует линейная биекция между этими пространствами, сохраняющая норму.Определение 4.9.
Пополнением нормированного пространства E называется такое нормированное пространство Ē ⊃ E, что E всюду плотнов Ē.Теорема 4.4. Для любого нормированного пространства E существует его пополнение Ē, однозначное с точностью до изоморфизма, тождественного на E.Доказательство. Вложим E в банахово пространство E ∗∗ и рассмотримего замыкание Ē в E ∗∗ . Оно и будет искомым.
Доказательство единственности аналогично доказательству единственности в теореме о пополнении метрического пространства.17Определение 4.10. Графиком отображения f : E → G называетсямножество Γf = {(x, f (x)) | x ∈ E, f (x) ∈ G} ⊂ E × G.Норма в произведении E × G вводится так, чтобы ее сужения наподпространства E × {0} и {0} × G, изоморфные (как линейные пространства) соответственно, пространствам E и G, совпадали с нормами,порожденными нормами пространств E и G.Примеры.1.
k(x, z)k = kxk + kzk;2. k(x, z)k = pmax{kxk, kzk};3. k(x, z)k = kxk2 + kzk2 .Предложение 4.5. Если отображение f непрерывно, то его графикзамкнут.Упражнение 12. Докажите это предложение.Лекция 7.Теорема 4.5 (Банах). Если f — линейное непрерывное биективное отображение, то отображение f −1 непрерывно.Теорема Банаха равносильна следующему утверждению.Теорема 4.6. Пусть E и G — банаховы пространства и f : E → G —линейное отображение, график Γf которого замкнут. Тогда отображение f непрерывно.Доказательство равносильности теорем 4.5 и 4.6. Докажем, сначала,что теорема 4.5 влечет теорему 4.6. Т.к.
график отображения f являетсязамкнутым линейным пространством в E × G, то он является банаховымпространством. Рассмотрим отображение F : (x, f (x)) 7→ x. Оно линейно,биективно и непрерывно, поэтому по теореме Банаха об обратном отображении получаем, что и F −1 непрерывно. Значит, непрерывно отображение f как композиция непрерывных отображений x 7→ (x, f (x)) 7→ f (x)(первое из них — это F −1 , а второе — проекция E × G на G).Теперь докажем, что из теоремы 4.6 следует теорема 4.5.
Пусть отображение f : E → G линейно и непрерывно, тогда Γf ⊂ E × G замкнут.Пусть ϕ = f −1 , тогда Γϕ = {(z, ϕ(z))} = {(f (x), x)} ⊂ G × E. Отображение E × G → G × E, (x, z) 7→ (z, x) биективно и непрерывно, причем Γfотображается на Γϕ . Значит, Γϕ замкнут вместе с Γf и ϕ непрерывно потеореме 4.6.18Теорема 4.7. Пусть f : E → G — линейное непрерывное сюръективноеотображение банаховых пространств. Тогда образ всякого открытогоподмножества из E открыт в G.Доказательство.
Пусть V ⊂ E — открытое подмножество. Сначала докажем теорему для случая, когда V = S(0, r) — открытый шар.Докажем, что f (S(0, ε)) ⊃ S(0, η). В самом деле,∞[n=1n · f (S(0, ε)) ⊃∞[n=1=fn · f (S(0, ε)) =∞[n=1∞[n · S(0, ε) = fS(0, nε) = f (E) = G.n=1По теореме Бэра ∃ n : n · f (S(0, ε)) ⊃ S(x, r). Т.к.
слева стоит выпуклое симметричное множество, то f (S(0, nε)) ⊃ S(0, r) и f (S(0, ε)) ⊃⊃ S(0, r/n).Докажем, что f (S(0, 2ε)) ⊃ S(0, η). Возьмем последовательность {εj },∞Pтакую, чтоεj < ε, и произвольное z ∈ S(0, η). Найдем такое x ∈j=1∈ S(0, 2ε), что z = f (x). По доказанному ранее ∀ j ∃ ηj : f (S(0, εj )) ⊃⊃ S(0, ηj ), причем ηj → 0. Поэтому ∃ x0 ∈ S(0, ε) : kz − f (x0 )k < η1 , т.е.z − f (x0 ) ∈ S(0, η1 ). Аналогично, ∃ x1 ∈ S(0, ε1) : kz − f (x0 ) − f (x1 )k << η2 , т.е. z − f (x0 ) − f (x1 ) ∈ S(0, η2 ), и т.д. Таким образом, мы получаемnPпоследовательность {xn }, где x0 ∈ S(0, ε), xj ∈ S(0, εj ) и z −f (xj ) ∈j=0nPon∈ S(0, ηn+1 ). Последовательностьxj фундаментальна в E, т.к.j=0n+knn+kn+kn+k∞ XXXXXX xj −xj 6 xj 6kxj k <εj <εj → 0.j=0j=0j=n+1j=n+1j=n+1j=n+1nPxj .
Кроме того,f (xj ) → z, и в силуn→∞ j=0j=0PnnPнепрерывности f получаем: fxj =f (xj ) → f (x∞ ), откуда z =Поэтому ∃ E ∋ x∞ = limnPj=0j=0= f (x∞ ).Таким образом, ∀ δ > 0 ∃ r(δ) : f (S(0, δ)) ⊃ S(0, r(δ)), откуда получаем, что f (S(x, δ)) ⊃ S(f (x), r(δ)).Теперь докажем теорему для произвольного открытого подмножестваV . Пусть z ∈ f (V ), тогда z = f (x), где x ∈ V . Т.к.
∃ δ > 0 : S(x, δ) ⊂ V ,то S(f (x), r(δ)) ⊂ f (S(x, δ)) ⊂ V .195. Локально выпуклые пространства.Определение 5.1. Локально выпуклое пространство — это пара (E, P),где P — семейство полунорм на E.Определение 5.2. На локально выпуклом пространстве (E, P) можнозадать топологию: множество V ⊂ E назовем открытым, если∀ x ∈ E ∃ n ∈ N, p1 , . . . , pn ∈ P, ε1 , . .
. , εn > 0 :n\{z | pj (x − z) < εj } ⊂ V.j=1Если E и G ⊂ E ∗ — линейные пространства, то p ∈ PG ⇔ ∃ f ∈∈ G : ∀ x ∈ E pf (x) ≡ p(x) = |f (x)|. Тогда пространство (E, PG ) будетлокально выпуклым.Определение 5.3. Топология на пространстве (E, PG ) называется слабой топологией на E, порожденной G, и обозначается через σ(E, G).Если E нормировано и G = E ∗ , то топология σ(E, E ∗ ) называетсяслабой топологией нормированного пространства E.Для пространства E ∗ возьмем G = {Fx | x ∈ E}, тогда топологияσ(E ∗ , E ∗∗ ) называется *слабой на E ∗ .Лекция 8.Лемма 5.1. Пусть f12 и f13 — линейные отображения, причем ker f13 ⊃⊃ ker f12 .
Тогда существует такое линейное отображение f23 , что следующая диаграмма коммутативна:K1 BBBBBBf13 BB!f12K3/K2||||||}|| f23Доказательство. Пусть K2 = f12 (K1 ) ⊕ K. Тогда положим(−1f13 (f12(x)), если x ∈ f12 (K1 );f23 (x) =0,если x ∈ K.Это определение корректно ввиду того, что ker f13 ⊃ ker f12 .20Теорема 5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
