О.Г. Смолянов - Курс лекций по функциональному анализу (1128611), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пусть E полно и {Fj }— такая последовательность замкнутыхTмножеств, что E ⊃ F1 ⊃⊃ F2 ⊃ . . . ⊃ Fj ⊃ . . . и diam Fj → 0. Тогда Fj 6= ∅.2jДоказательство. Пусть xj ∈ Fj , тогда последовательность {xj } фундаментальна, а значит, ∃ lim xj = x. Т.к. Fj замкнуты, то ∀ j x ∈ Fj , аj→∞Tзначит, x ∈ Fj .jТеорема 1.3 (Бэр). Пусть E полно и E =∞SFn , где множества Fnn=1замкнуты. Тогда ∃ n : Fn ⊃ S(x, r).2На самом деле, сформулированное предложение является критерием полнотыметрического пространства.5Доказательство. Предположим противное.
Возьмем шар S(x0 , 1). Тогдамножество S(x0 , 1)\F1 открыто и непусто, а значит, ∃ S(x1 , r1 ) ⊂ S(x0 , 1)\\ F1 (где r1 < 1/2), а значит, S(x0 , r1 /2) ⊂ S(x0 , 1) \ F1 . Тогда S(x1 , r1 /2) \\ F2 6= ∅, поэтому ∃ S(x2 , r2 ) ⊂ S(x1 , r1 /2) \ F2 (где r2 < 1/4). Продолжая,получаем последовательность вложенных шаров:S(x0 , 1) ⊃ S(x1 , r1 ) ⊃ S(x1 , r1 /2) ⊃ S(x2 , r2 ) ⊃ .
. . ,причем S(xn , rn ) ∩ Fn = ∅, поэтому S̄(xn , rn /2) ∩ Fn = ∅. Таким образом, мы получаем последовательность замкнутых вложенных шаровS̄(x1 , r1 /2) ⊃ S̄(x2 , r2 /2) ⊃ . . ., причем diam S̄(xn , rn /2) → 0 (т.к. rn <∞T< 2−n ). По предыдущему следствиюS̄(xn , rn /2) 6= ∅ и не содержитсяn=1в Fi при всех i — противоречие.Топологическое пространство, в котором справедлива теорема 1.3, называется бэровским. Т.о., всякое полное метрическое пространство — бэровское.Упражнение 4.
Привести пример неполного метрического пространства, являющегося тем не менее бэровским.2. Компактность.Определение 2.1. Подмножество K топологического пространства Eназывается компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно извлечь конечное подпокрытие.Подмножество K топологического пространства E называется относительно компактным, если множество K̄ компактно.Множество K топологического пространства E называется счетнокомпактным, если всякое бесконечное подмножество K имеет предельную точку из K.Множество K топологического пространства E называется секвенциально-компактным, если из любой последовательности из K можновыделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу из K.Множество K метрического пространства E называется предкомпакnSтным (или вполне ограниченным), если ∀ ε > 0 ∃ S(xj , ε) :S(xj , ε) ⊃j=1⊃ K.
В этом случае последовательность {xj } называется ε-сетью.Упражнение 5. Очевидно, что из вполне ограниченности следует ограниченность. Покажите, что обратное неверно.6Лекция 3.Теорема 2.1. 1. В топологическом пространстве счетная компактность следует из секвенциальной компактности, а также из компактности.2. В метрическом пространстве компактность равносильна секвенциальной компактности, а также счетной компактности, а такжепредкомпактности и полноте одновременно.Доказательство. Сначала докажем п.1.Докажем, что из секвенциальной компактности следует счетная компактность.
Пусть K — секвенциально компактное множество в топологическом пространстве, и A — его бесконечное подмножество. Возьмембесконечную последовательность {xn } ⊂ A и выделим из нее сходящуюся подпоследовательность: ∃ xnk → x ∈ K. Значит, x — предельная точкамножества A.Теперь докажем, что из компактности следует секвенциальная компактность. Предположим противное: пусть A ⊂ K — бесконечное множество, у которого в K нет предельных точек. Значит, ∀ x ∈ K ∃ V (x) :nSS|V (x) ∩ A| < ∞.3 Т.к. K ⊂ V (x), то ∃ x1 , .
. . , xn :V (xk ) ⊃ K ⊃ A —xk=1противоречие, т.к. A бесконечно.Теперь докажем п.2.Докажем, что из счетной компактности следует секвенциальная компактность. Пусть {xn } ⊂ K ⊂ E. Возможны два случая.1) Множество различных элементов последовательности {xn } конечно. Тогда найдется точка x ∈ {xn }, встречающаяся бесконечное количество раз, а значит, подпоследовательность xnj , где xnj = x, будет сходиться к точке x.2) Множество различных элементов последовательности {xn } бесконечно.
Тогда найдется предельная точка z ∈ K этой последовательности.А значит, ∀ k ∈ N ∃ xnk ∈ S(z, 1/k). Можно считать, что n1 < n2 < . . .,поэтому xnk → z (т.к. ρ(xnk ; z) → 0).Докажем теперь, что из секвенциальной компактности следуют полнота и предкомпактность.1) Пусть K секвенциально компактно и K ⊃ {xn } — фундаментальная последовательность. Тогда ∃ xnj → x ∈ K. Докажем, что в этомслучае xn → x. В самом деле, для любого ε > 0 имеем:∃ k0 : ∀ m, r > k0 ρ(xm ; xr ) < ε/2,3Если M — множество, то |M | — число его элементов.7а также∃ j0 : ∀ j > j0 ρ(xnj ; x) < ε/2.Среди таких j найдется j1 , для которого nj1 > k0 .
Тогда∀ m > k0 ρ(xm ; x) 6 ρ(xm ; xnj1 ) + ρ(xnj1 ; x) < ε.2) Пусть теперь K секвенциально компактно и не предкомпактно, т.е.nS∃ ε > 0 : ∀ x1 , . . . , xn ∈ KS(xj , ε) 6⊃ K. Но тогда найдется бесконечj=1ное множество элементов {zj } ⊂ K, таких, что ∀ j1 , j2 ρ(zj1 ; zj2 ) > ε, азначит, из последовательности {zj } нельзя выделить фундаментальнуюподпоследовательность — противоречие.Наконец, докажем, что из полноты и предкомпактности следует компактность.Предположим противное: Пусть K не компактно, тогда ∃ Vα :SVα ⊃ K и нельзя выделить конечное подпокрытие.
Т.к. K — предкомαпактно, то ∀ k > 0 ∃ xk1 , . . . , xkn(k) :n(k)Sj=1(F (xkj , 1/k) ∩ K) ⊃ K (как обычно,F (x, r) — это замкнутый шар радиуса r с центром в точке x), а значит,∃ F (x1j1 , 1) : F (x1j1 , 1) ∩ K не покрывается конечным числом {Vα }. Аналогично, при k = 2 имеем:n(2)[j=1(F (x2j , 1/2) ∩ F (x1j1 , 1) ∩ K) ⊃ F (x1j1 , 1) ∩ K,а значит, ∃ F (x2j2 , 1/2) : F (x2j2 , 1/2) ∩ F (x1j1 , 1) ∩ K не покрывается конечным числом {Vα }. Проводя аналогичные рассуждения, получаем послеrTдовательность замкнутых вложенных множествF (xnjn , 1/n) ∩ K, диаn=1метры которых стремятся к 0. Т.к.
K полно, то ∃ x ∈∞Tn=1F (xnjn , 1/n) ∩ K.Но тогда ∃ Vα(x) ∋ x и ∃ ε(x) : S(x, ε(x)) ⊂ Vα(x) , поэтому ∃ n : 1/n << ε(x)/2 и F (xnjn , 1/n) ⊂ S(x, ε(x)) ⊂ Vα(x) — противоречие.Определение 2.2. Пусть (E, ρ) — метрическое пространство. Отображение f : E → E называется сжимающим, если ∃ α ∈ (0; 1) : ∀ x1 , x2 ∈ Eρ(f (x1 ); f (x2 )) 6 αρ(x1 ; x2 ).Всякое сжимающее отображение непрерывно (проверьте это).Теорема 2.2 (Пикар).
Всякое сжимающее отображение f полного метрического пространства (E, ρ) в себя обладает ровно одной неподвижной точкой.8Доказательство. Пусть x0 ∈ E. Рассмотрим последовательность {xn },где xn+1 = f (xn ). Легко видеть, что она фундаментальна:ρ(xn ; xn+1 ) = ρ(f (xn−1 ); f (xn )) 6 αρ(xn−1 ; nn ) 6 .
. . 6 αn ρ(x0 ; x1 ),поэтомуρ(xn+k ; xn ) 6 ρ(xn ; xn+1 ) + . . . + ρ(xn+k−1 ; xn+k ) 6αn+kρ(x0 ; x1 ) → 0.1−αЗначит, ∃ z ∈ E : z = lim xn . Докажем, что точка z неподвижна. В самомn→∞деле,ρ(z; f (z)) = ρ(lim xn ; lim f (xn )) = ρ(lim xn ; lim xn+1 ) = lim ρ(xn ; xn+1 ) = 0,так что z = f (z).Докажем, что неподвижная точка единственна. Пусть z1 и z2 — неподвижные точки. Тогдаρ(z1 ; z2 ) = ρ(f (z1 ); f (z2 )) 6 αρ(z1 ; z2 ),откуда (1 − α)ρ(z1 ; z2 ) = 0, а значит, ρ(z1 ; z2 ) = 0 и z1 = z2 .Упражнение 6. Привести пример неполного метрического пространства, в котором теорема Пикара неверна.Упражнение 7.
Привести пример неполного метрического пространства, в котором теорема Пикара верна.Упражнение 8. Доказать, что отображение f метрического пространства E, для которого ρ(f (z1 ); f (z2 )) < ρ(z1 ; z2 ), может не иметь неподвижной точки, даже если пространство E полно.Упражнение 9. Если E компактно, то отображение f , для которогоρ(f (z1 ); f (z2 )) < ρ(z1 ; z2 ), обладает ровно одной неподвижной точкой.9Лекция 4.3. Непрерывность.Определение 3.1. Отображение f : E → G называется непрерывным вточке x, если для каждой окрестности V (f (x)) точки f (x) существуеттакая окрестность W (x) точки x, что f (W (x)) ⊂ V (f (x)).Определение 3.2.
Отображение f : E → G называется непрерывнымна множестве E, если f непрерывно во всех точках множества E.Предложение 3.1. Отображение f : E → G непрерывно на E ⇔ прообраз любого открытого множества в G открыт в E.Доказательство. Пусть множество V ⊂ G — открытое, и x ∈ f −1 (V ).Тогда по определению непрерывности отображения f в точке x имеем: ∀ V (f (x)) ∃ W (x) : f (W (x)) ⊂ V (f (x)). Значит, W (x) ⊂ f −1 (V ) иf −1 (V ) представляетсяв виде объединения открытых множеств, а именSно, f −1 (V ) =W (x).x∈f −1 (V )Докажем обратное утверждение.
Пусть x ∈ E и V (f (x)) — произвольная открытая окрестность точки f (x) в G. Тогда множество W == f −1 (V (f (x))) открыто и x ∈ W . Значит, f (W ) = V (f (x)), что и доказывает непрерывность отображения f в точке x.Предложение 3.2. Отображение f непрерывно ⇔ прообраз любого замкнутого множества в G замкнут в E.Доказательство. Это утверждение следует из предыдущего предложения и следующей выкладки:f −1 (F ) = f −1 (G \ (G \ F )) = (f −1 (G)) \ (f −1 (G \ F ))(т.к.
множество f −1 (G \ F ) открыто).Определение 3.3. Пусть E — топологическое пространство. В точкеx ∈ E выполняется первая аксиома счетности, если существует не болеечем счетная фундаментальная система окрестностей точки x.Пространство, в каждой точке которого выполнена первая аксиомасчетности, называется пространством с первой аксиомой счетности.Теорема 3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
