Группы, кольца (1127214)
Текст из файла
ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀËåêöèè äëÿ ãðóïï 320328 (III ïîòîê)5-é ñåìåñòðËåêòîðàññèñòåíò Ãóðîâ Ñåðãåé Èñàåâè÷ Êðîïîòîâ Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷ÌÃÓ èìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÔàêóëüòåò Âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêèÊàôåäðà Ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ïðîãíîçèðîâàíèÿêîìí. 530, 573, 682e-mail: sgur@cs.msu.ruÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀËèòåðàòóðàÂîðîíèí Â.Ï. Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû äèñêðåòíîéìàòåìàòèêè. Ì.: ô-ò ÂÌÊ ÌÃÓ, 2002.http://padabum.com/d.php?id=10281Ãóðîâ Ñ.È.
Áóëåâû àëãåáðû, óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà,ðåøåòêè: Îïðåäåëåíèÿ, ñâîéñòâà, ïðèìåðû. Ì.: Ëèáðîêîì,2013.Æóðàâë¼â Þ.È., Ôë¼ðîâ Þ.À., Âÿëûé Ì.Í. Äèñêðåòíûéàíàëèç. Îñíîâû âûñøåé àëãåáðû. Ì.: ÌÇ Ïðåññ, 2007.Ëèäë Ð., Íèäåððàéòåð Ã. Êîíå÷íûå ïîëÿ:  2-õ ò. Ì.: Ìèð,1988.Ìàê-Âèëüÿìñ Ô. Äæ., Ñëîýí Í. Äæ. À. Òåîðèÿ êîäîâ,èñïðàâëÿþùèõ îøèáêè. Ì.: Ñâÿçü, 1979.Íåôåäîâ Â.Í., Îñèïîâà Â.À. Êóðñ äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Ì.: Èçä-âî ÌÀÈ, 1992.Ïèòåðñîí Ó., Óýëäîí Ý. Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêè. Ì.:Ìèð, 1976.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ×àñòü 0Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ3 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÐàçäåëû1Ãðóïïû2Êîëüöà è ïîëÿ3Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìè4 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÃðóïïû (ïîêîí Ýâàðèñòó Ãàëóà): îïðåäåëåíèå è íîòàöèÿÎïðåäåëåíèåÃðóïïîé G íàçûâàåòñÿ ïàðà h G, ∗ i, ãäå G íåïóñòîåìíîæåñòâî (íîñèòåëü), à ∗ áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà í¼ì òàêàÿ,÷òî äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå çàêîíûèëè àêñèîìû ãðóïïû:G1: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) àññîöèàòèâíîñòü;G2: ∃e ∀x : e ∗ x = x ∗ e = x ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû (e);G3: ∀x ∃!y : y ∗ x = x ∗ y = e ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãîýëåìåíòà ê x, ñèìâîëè÷åñêè y = x−1.G0: x ∗ y ∈ G óñòîé÷èâîñòü (çàìêíóòîñòü) íîñèòåëÿ.Ãðóïïû G ñî ñâîéñòâîì ∀ x, y : x ∗ y = y ∗ x íàçûâàþòñÿGêîììóòàòèâíûìè èëè àáåëåâûìè.Åñëè |G| = n, òî G êîíå÷íàÿ ãðóïïà è n å¼ ïîðÿäîê.5 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ6 / 52ÃðóïïûÃðóïïû: îïðåäåëåíèå è íîòàöèÿ... êîíå÷íîé ãðóïïå îïåðàöèþ ∗ óäîáíî çàäàâàòü òàáëèöåéóìíîæåíèÿ (òàáëèöåé Êýëè).Ïðèìåð (Òàáëèöà óìíîæåíèÿ ãðóïïû Êëåéíà V4 )∗eabceeabcaaecbbbceaccbaeV4 = { e, a, b, c } ÷åòâåðíàÿ ãðóïïà Êëåéíà×àñòî c îáîçíà÷àþò ab(è ab = ba, ò.ê. ãðóïïà V4 àáåëåâà).Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ çàïèñü ãðóïïîâîé îïåðàöèè: x · y (èëè xy),a0 = e, an = |a · .{z.
. · a} è ñïðàâåäëèâû âñå îáû÷íûå ñâîéñòâàñòåïåíè:n ðàçn.am+n = am · an , am = amn , a−n = (a−1 )n , . . .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏðèìåðû ãðóïï1. ×èñëîâûå ãðóïïû:Z, Q, R, C àáåëåâû ãðóïïû îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ.Äëÿ íèõ èñïîëüçóþò àääèòèâíóþ çàïèñü x + y , åäèíè÷íûéýëåìåíò íàçûâàþò íóëåì (0), à îáðàòíûé ê x ïðîòèâîïîëîæíûì (−x).Ìíîæåñòâà íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ Q, R, C àáåëåâûãðóïïû îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ; çäåñü 1 íóëü ãðóïïû.2. Áèíàðíûå íàáîðû: ýëåìåíòû αe = (α1, . . . , αn) ∈ B nîòíîñèòåëüíî ⊕. Àääèòèâíàÿ çàïèñü:αe ⊕ βe = (α1 ⊕ β1 , .
. . , αn ⊕ βn ).Íóëü ãðóïïû: e0 = (0, . . . , 0).7 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ8 / 52ÃðóïïûÏðèìåðû ãðóïï: ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Sn3. Ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Sn: âñå ïåðåñòàíîâêè-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà X = { 1, . . . , n } îòíîñèòåëüíîêîìïîçèöèè ◦. ßñíî, ÷òî |Sn| = n!.Ïåðåñòàíîâêè ìîæíî çàïèñûâàòü â âèäå:a) òàáëèöû nπ =1 2 ... i ... nt1 t2 . . . ti . . . tn,Ïðèìåð (ñíà÷àëà âûïîëíÿåòñÿ 2-ÿ ïåðåñòàíîâêà, ïîòîì 1-ÿ):1 2 32 3 11 2 3◦=1 3 21 2 316==3 2 111 2 36=2 1 3 2 31 2 3◦3 22 3 1 ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà íå àáåëåâà ïðè.n>3ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0.
Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ9 / 52ÃðóïïûÏðèìåðû ãðóïï: ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Sn ...á) ðàçëîæåíèÿ íà öèêëû .Âíóòðè êàæäîé ïàðû ñêîáîê ÷èñëà ïåðåñòàâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêè:π(t1 ) = t2 , π(t2 ) = t3 , . . . , π(tk ) = t1 ; â ïåðåñòàíîâêå π cöèêëîâ.Öèêëû äëèíû 1 (âèäà (t)) îáû÷íî îïóñêàþò:π = t11 t12 t13 .
. . t1k1t21 t22 t23 . . . t2k2 . . . tc1 tc2 tc3 . . . tckc1 2 3 4 5 65 6 3 1 4 2↔ (154)(26)Ïðèìåð (ïðåäûäóùåé êîìïîçèöèè ïåðåñòàíîâîê):(123) ◦ (23) = (12) 6= (13) = (23) ◦ (123).ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏðèìåðû ãðóïï: ãðóïïû ñèììåòðèè îáúåêòà4. Ãðóïïû ñèììåòðèè îáúåêòà ñîâîêóïíîñòüïðåîáðàçîâàíèé, ñîâìåùàþùèõ îáúåêò ñ ñàìèì ñîáîé.4.1. Ãðóïïà ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ãðóïïà äèýäðà Dnà) Ó ãðóïïû D2k+1, k ∈ N äâå îáðàçóþùèõ: (1) âðàùåíèå360âîêðóã öåíòðà íà 2k+1â âûáðàííîì íàïðàâëåíèè è(2) ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âûáðàííóþâåðøèíó è ñåðåäèíó ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû.Ïðèìåð: ãðóïïà ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãîòðåóãîëüíèêà D3 = h t, r i = { e, (ABC),(ACB), (A)(BC), (B)(AC), (C)(AB) } = S3 .Ëþáàÿ ïåðåñòàíîâêà âåðøèí (ñòîðîí)îïèñûâàòüñÿ ÷åðåç îáðàçóþùèåè èìååò âèä tmrn.◦10 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ11 / 52ÃðóïïûÏðèìåðû ãðóïï: ãðóïïû ñèììåòðèè îáúåêòà...á) Ó ãðóïïû D2k , k ∈ N òðè îáðàçóþùèõ: (1) âðàùåíèåâîêðóã öåíòðà (â âûáðàííîì íàïðàâëåíèè) íà 3602k è äâåîñåâûõ ñèììåòðèé îòíîñèòåëüíî ôèêñèðîâàííûõ îñåé,ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ(2) ñòîðîí è (3) âåðøèí.Ïðèìåð: ãðóïïà ñèììåòðèè êâàäðàòà◦D4 = h t, r, f i = { e,(ABCD), (AC)(BD), (ADCB),(AD)(BC), (AB)(CD),(BD), (AC) }.Ëþáàÿ ïåðåñòàíîâêà âåðøèí (ñòîðîí)îïèñûâàòüñÿ ÷åðåç îáðàçóþùèåè èìååò âèä tmrnf k .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ12 / 52ÃðóïïûÏðèìåðû ãðóïï: ãðóïïû ñèììåòðèè îáúåêòà...Ïðèìåð: ãðóïïû äèýäðà|Dn | = 2nD6èD5.: òîæäåñòâåííàÿ ïåðåñòàíîâêà,n − 1 ïîâîðîòîâ âîêðóã îñè Cn èn îòðàæåíèé âîêðóã îñåé C2 .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏðèìåðû ãðóïï: ãðóïïû ñèììåòðèè îáúåêòà...4.2. Ãðóïïû âðàùåíèé ïðàâèëüíîãî ìíîãîãðàííèêà.Âðàùåíèÿ ýòî íå âñå ñèììåòðèè ìíîãîãðàííèêà, à òîëüêîïîâîðîòû (èñêëþ÷åíû çåðêàëüíûå îòðàæåíèÿ).Ïÿòü ïëàòîíîâûõ òåë T ãðóïïà òåòðàýäðà,O ãðóïïà îêòàýäðà(âðàùåíèå îêòàýäðà èêóáà),Y ãðóïïà èêîñàýäðà(âðàùåíèå èêîñàýäðà èäîäåêàýäðà).Ýòè ãðóïïû áóäóòðàññìîòðåíû ïîçæå.13 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ14 / 52ÃðóïïûÏðèìåðû ãðóïï: âðàùåíèé êóáèêà ÐóáèêàÃðóïïà âíóòðåííèõ âðàùåíèé êóáèêà Ðóáèêà.Ïîðÿäîê ãðóïïû ¶1 11· 2 · 12! · 37 · 8! =2= 43252003274489856000 ≈≈ 4, 3 · 1019.÷òî ÿâëÿåòñÿ ñîâñåì íåáîëüøèì ÷èñëîì ïîñòàíäàðòàì ñîâðåìåííîé òåîðèè êîíå÷íûõ ãðóïï(≈ îáú¼ì Ìèðîâîãî îêåàíà â êóáîìåòðàõ).· Ãðóïïà âíóòðåííèõ âðàùåíèé êóáèêà Ðóáèêà 4 × 4 × 4(ìåñòü Ðóáèêà). Ïîðÿäîê ãðóïïû 37 · 8! · 24!2=247= 7401196841564901869874093974498574336000000000 ≈ 7, 4·1045 .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏîäãðóïïû è ñìåæíûå êëàññûÅñëè G = h G, ∗ i ãðóïïà, à H ïîäìíîæåñòâî G,óñòîé÷èâîå îòíîñèòåëüíî ãðóïïîâîé îïåðàöèè ∗,òî H = h H, ∗ i ïîäãðóïïà G, ñèìâîëè÷åñêè H 6 G.H 6 G, x ∈ G ⇒ xH = { xh | h ∈ H } è Hx = { hx | h ∈ H } ñîîòâåòñòâåííî ëåâûé è ïðàâûé ñìåæíûå êëàññû ïîïîäãðóïïå H (ñ ïðåäñòàâèòåëåì x).ÓòâåðæäåíèåÑìåæíûå êëàññû ñ ðàçíûìè ïðåäñòàâèòåëÿìè ëèáî íåïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò.Åñëè ∀ x : xH = Hx, òî ïîäãðóïïà H íàçûâàåòñÿGíîðìàëüíîé.
Íîðìàëüíîñòü îñëàáëåííîå óñëîâèåêîììóòàòèâíîñòè: â àáåëåâîé ãðóïïå âñå ïîäãðóïïû íîðìàëüíû.15 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÈçîìîðôèçì ãðóïïÎïðåäåëåíèåÏóñòüè G 0 = h G 0, ◦ i ãðóïïû. Îòîáðàæåíèåíàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì, åñëè îíîâçàèìíî îäíîçíà÷íî;ñîõðàíÿåò îïåðàöèþ: ∀a, b ∈ G : ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b),à òàêèå ãðóïïû èçîìîðôíûìè, ñèìâîëè÷åñêè G ∼= G 0.Ñâîéñòâà èçîìîðôèçìà ϕ: ϕ(e) = e0 (ñîõðàíåíèå åäèíèöû),ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 (îáðàç îáðàòíîãî ýëåìåíòà îáðàòíûé ê åãîîáðàçó)...G = h G, ∗ iϕ : G → G012Òåîðåìà (Êýëè)Ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà n èçîìîðôíà íåêîòîðîéïîäãðóïïå ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû Sn.16 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÖèêëè÷åñêèå ãðóïïû öèêëè÷åñêèõ ãðóïïàõ åñòü ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò (èëèãåíåðàòîð) òàêîé, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò ãðóïïû ìîæåò áûòüïîëó÷åí ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì ê íåìó ãðóïïîâîéîïåðàöèè: C öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, åñëè∃ c ∀ x ∃ k ck = x , hci = C .CCZÄëÿ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.1. Âñå ñòåïåíè ïîðîæäàþùåãî ýëåìåíòà ðàçëè÷íû òîãäàãðóïïà ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ: . . . , a−2, a−1, a0, a1, a2, . . .,ò.å.
îíà èçîìîðôíà ãðóïïå h Z, + i öåëûõ ÷èñåë ïî ñëîæåíèþ.2. Äâå ðàçëè÷íûå ñòåïåíè ïîðîæäàþùåãî ýëåìåíòàñîâïàäàþò: an+m = anam = an ⇒ am = e.Ïóñòü q íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå m, äëÿ êîòîðîãî am = e.Òîãäà m ïîðÿäîê ýëåìåíòà a, ñèìâîëè÷åñêè deg a.17 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÖèêëè÷åñêèå ãðóïïû... ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì:êîíå÷íóþ ãðóïïó;èçîìîðôíîñòü ëþáîé êîíå÷íîé öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ñ÷èñëîì ýëåìåíòîâ n (ïîðÿäîê ãðóïïû) ãðóïïåZn = h {0, 1, . .
. , n − 1}, +mod n i.Ñâîéñòâà öèêëè÷åñêèõ ãðóïï:Âñå öèêëè÷åñêèå ãðóïïû àáåëåâû.Êàæäàÿ ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû öèêëè÷åñêàÿ. ïðèìåíåíèè ê åäèíñòâåííîé áåñêîíå÷íîé öèêëè÷åñêîéãðóïïå Z ýòî äà¼ò, ÷òî ëþáàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ïîäãðóïïàH ãðóïïû Z èìååò âèä H = { mn | n ∈ Z } = mZ , ãäåm íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî èç H .Íàïðèìåð: H = { . . . − 6, −3, 0, 3, 6, . . . } = 3Z.18 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ19 / 52ÃðóïïûÃåíåðàòîðû êîíå÷íîé öèêëè÷åñêîé ãðóïïûÓ öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ïîðÿäêà n ñóùåñòâóåò ðîâíîïîðîæäàþùèõ ýëåìåíòîâ (ãåíåðàòîðîâ).Îïðåäåëåíèåϕ(n)(ôóíêöèÿ Ýéëåðà) êîëè÷åñòâî ÷èñåë èç èíòåðâàëà, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ nϕ(1) = 1 (ïî îïðåäåëåíèþ), .
. . , ϕ(6) = |{1, 5}| = 2, ϕ(7) = 6, . . .ϕ(n)[ 1, . . . , n − 1 ]ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ19 / 52ÃðóïïûÃåíåðàòîðû êîíå÷íîé öèêëè÷åñêîé ãðóïïûÓ öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ïîðÿäêà n ñóùåñòâóåò ðîâíîïîðîæäàþùèõ ýëåìåíòîâ (ãåíåðàòîðîâ).Îïðåäåëåíèåϕ(n)(ôóíêöèÿ Ýéëåðà) êîëè÷åñòâî ÷èñåë èç èíòåðâàëà, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ nϕ(1) = 1 (ïî îïðåäåëåíèþ), . .
. , ϕ(6) = |{1, 5}| = 2, ϕ(7) = 6, . . .Ñâîéñòâà:ϕ(nm ) = nm−1 ϕ(n), ò.å. ϕ(pm ) = pm−1 (p − 1),ϕ(p) = p − 1 (p ïðîñòîå ÷èñëî).åñëè m è n âçàèìíî ïðîñòû, òî ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n).Ïðèìåðû: ϕ(15) = ϕ(3 · 5) = ϕ(3) · ϕ(5) = (3 − 1)(5 − 1) = 8,ϕ(16) = ϕ(24 ) = 23 · ϕ(2) = 8.ϕ(n)[ 1, . . . , n − 1 ]ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏåðâûå 99 çíà÷åíèé ϕ(·)20 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏåðâûå 99 çíà÷åíèé ϕ(·)Ò.î. â ãðóïïå Z6 = h { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, +6 i ϕ(6) = 2ãåíåðàòîðà. Íàïðèìåð, 5 + 5 = 10 ≡6 4, 4 + 5 = 9 ≡6 3, .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
