Группы, кольца (1127214), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. ..20 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏåðâûå 99 çíà÷åíèé ϕ(·)Ò.î. â ãðóïïå Z6 = h { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, +6 i ϕ(6) = 2ãåíåðàòîðà. Íàïðèìåð, 5 + 5 = 10 ≡6 4, 4 + 5 = 9 ≡6 3, . . ..Ñêîëüêî ãåíåðàòîðîâ â ãðóïïå Z5?20 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏåðâûå 99 çíà÷åíèé ϕ(·)Ò.î. â ãðóïïå Z6 = h { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, +6 i ϕ(6) = 2ãåíåðàòîðà. Íàïðèìåð, 5 + 5 = 10 ≡6 4, 4 + 5 = 9 ≡6 3, . . ..Ñêîëüêî ãåíåðàòîðîâ â ãðóïïå Z5? ϕ(5) = 4 âñå, êðîìå 0.20 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÖèêëè÷åñêèå ãðóïïû: ïðèìåðû åäèíñòâåííàÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà)áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà.Z21 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0.
Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÖèêëè÷åñêèå ãðóïïû: ïðèìåðû åäèíñòâåííàÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà)áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà.Âîïðîñ. Ñêîëüêî ãåíåðàòîðîâ â Z?Z21 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÖèêëè÷åñêèå ãðóïïû: ïðèìåðû åäèíñòâåííàÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà)áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà.Âîïðîñ.
Ñêîëüêî ãåíåðàòîðîâ â Z? Îòâåò. Äâà: 1 è −1.Z21 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ21 / 52ÃðóïïûÖèêëè÷åñêèå ãðóïïû: ïðèìåðû åäèíñòâåííàÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà)áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà.Âîïðîñ. Ñêîëüêî ãåíåðàòîðîâ â Z? Îòâåò. Äâà: 1 è −1.ZZn∼− 1 } , +n i = h1i ∼= h { 0, 1, . . . , n =∼a0 = 1, a, a2 , . . . , an−1 , ·n = hai=Âðàùåíèÿ â ïëîñêîñòè âîêðóã öåíòðà ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, ñîâìåùàþùèå åãî ñ ñîáîé ãðóïïà 2πn ;;ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ21 / 52ÃðóïïûÖèêëè÷åñêèå ãðóïïû: ïðèìåðû åäèíñòâåííàÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà)áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà.Âîïðîñ. Ñêîëüêî ãåíåðàòîðîâ â Z? Îòâåò. Äâà: 1 è −1.ZZn∼− 1 } , +n i = h1i ∼= h { 0, 1, .
. . , n =∼a0 = 1, a, a2 , . . . , an−1 , ·n = hai=Âðàùåíèÿ â ïëîñêîñòè âîêðóã öåíòðà ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, ñîâìåùàþùèå åãî ñ ñîáîé ãðóïïà 2πn ;Ãðóïïà àôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèé fa,b : x 7→ ax + b,a, b ∈ R, a 6= 0 âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R c çàêîíîìóìíîæåíèÿ fa,b · fc,d = fac, ad+b (ñíà÷àëà fc,d).Ñîäåðæèò ïîäãðóïïû ¾ðàñòÿæåíèé/ñæàòèé¿ (b = 0 ) è¾÷èñòûõ ñäâèãîâ¿ (a = 1).;ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÒåîðåìà Ëàãðàíæà è ñëåäñòâèÿ èç íå¼Òåîðåìà (Ëàãðàíæà)H 6 G ⇒ |H| | |G|(ïîðÿäîê ïîäãðóïïû äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû)Ñëåäñòâèÿ12Ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà åñòü äåëèòåëü ïîðÿäêà ãðóïïû.Ãðóïïà G ïðîñòîãî ïîðÿäêà p:öèêëè÷åñêàÿ è ëþáîé å¼ îòëè÷íûé îò åäèíèöû ýëåìåíò ïîðîæäàþùèé (ϕ(p) = p − 1);íå èìååò íåòðèâèàëüíûõ ïîäãðóïï, ò.å.
E def= {e} è G åäèíñòâåííûå ïîäãðóïïû G.Çàìå÷àíèå: îáðàùåíèå òåîðåìû Ëàãðàíæà íåâåðíî (áóäåòïðèìåð 60-ýëåìåíòíîé ãðóïïû, íå èìåþùåé 15-ýëåìåíòíîéïîäãðóïïû).22 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏîðÿäîê ýëåìåíòà êîíå÷íîé ãðóïïûËåììà (î ïîðÿäêå ýëåìåíòà êîíå÷íîé ãðóïïû)Ïóñòü m ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ýëåìåíòà â êîíå÷íîéàáåëåâîé ãðóïïå G ñ åäèíèöåé e.Òîãäà ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ G äåëèò m.23 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ23 / 52ÃðóïïûÏîðÿäîê ýëåìåíòà êîíå÷íîé ãðóïïûËåììà (î ïîðÿäêå ýëåìåíòà êîíå÷íîé ãðóïïû)Ïóñòü m ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ýëåìåíòà â êîíå÷íîéàáåëåâîé ãðóïïå G ñ åäèíèöåé e.Òîãäà ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ G äåëèò m.ÄîêàçàòåëüñòâîÃðóïïà G îäíîçíà÷íî ðàçëàãàåòñÿ â îáúåäèíåíèå öèêëè÷åñêèõãðóïï, ïîðÿäêè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ñòåïåíÿìè ïðîñòûõ ÷èñåë.Äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî äåëèòåëÿ pi ïîðÿäêà ãðóïïû íàéäåìöèêëè÷åñêóþ ãðóïïó ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà pk .Îáîçíà÷èì ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë pk ÷åðåç M . Äëÿ ëþáîãîx ∈ G âûïîëíÿåòñÿ xM = e, ò.å.
ïîðÿäîê x äåëèò M .Íî ïðîèçâåäåíèå âñåõ âûáðàííûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï èìååòïîðÿäîê M . Ïîýòîìó m = M .iiÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏðèìåðûÃðóïïà h { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, +6 i ∼= Z6 öèêëè÷åñêàÿ-ýëåìåíòíàÿ; èìååò ïîäãðóïïû:{ 0 } = h0i ∼= E åäèíè÷íàÿ, deg 0 = 1, 1 | 6,{ 0, 2, 4 } = h2i = h4i ∼= Z3 , deg 2 = deg 4 = 3, 3 | 6,{ 0, 3 } = h3i ∼= Z2 , deg 3 = 2, 2 | 6,{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } = h1i = h5i ∼= Z6 èìååò ϕ(6) = 2ãåíåðàòîðà, deg 1 = deg 5 = 6, 6 | 6.¶624 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0.
Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÏðèìåðûÃðóïïà h { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, +6 i ∼= Z6 öèêëè÷åñêàÿ-ýëåìåíòíàÿ; èìååò ïîäãðóïïû:{ 0 } = h0i ∼= E åäèíè÷íàÿ, deg 0 = 1, 1 | 6,{ 0, 2, 4 } = h2i = h4i ∼= Z3 , deg 2 = deg 4 = 3, 3 | 6,{ 0, 3 } = h3i ∼= Z2 , deg 3 = 2, 2 | 6,{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } = h1i = h5i ∼= Z6 èìååò ϕ(6) = 2ãåíåðàòîðà, deg 1 = deg 5 = 6, 6 | 6.· Ãðóïïà h { 1, 2, 3, 4, 5 }, ·5 i ∼= Z5 öèêëè÷åñêàÿ5-ýëåìåíòíàÿ; èìååò ïîäãðóïïû{ 1 } = h1i ∼= E åäèíè÷íàÿ, deg 1 = 1, 1 | 5,{ 1, 2, 3, 4, 5 } = h2i = h3i = .
. . = h5i ∼= Z5 èìååòϕ(5) = 4 ãåíåðàòîðà, deg 2 = . . . = deg 5 = 5, 5 | 5.¶624 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÃðóïïûÃðóïïû: ðàçíûå ôàêòûÑèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Sn ïðè n > 1 ïîðîæäàåòñÿòðàíñïîçèöèÿìè (1, 2), (1, 3), . . . , (1, n).Åñëè äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ a ãðóïïû G âûïîëíÿåòñÿòîæäåñòâî a ∗ a = e, òî ãðóïïà G êîììóòàòèâíà.Âñÿêàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôíûìîáðàçîì ãðóïïû Z.Åù¼ ïðèìåð ãðóïïû áóëåâà ãðóïïà: ìíîæåñòâî P(A)âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåïóñòîãî ìíîæåñòâà A ñ îïåðàöèåéñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ.Çäåñü íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ∅, à ïîðÿäîê êàæäîãîýëåìåíòà 2.25 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÊîëüöà è ïîëÿÐàçäåëû1Ãðóïïû2Êîëüöà è ïîëÿ3Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìè26 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÊîëüöà è ïîëÿÊîëüöà: îïðåäåëåíèåÎïðåäåëåíèåÊîëüöîì R íàçûâàåòñÿ òðîéêà h R, +, · i, ãäå R íåïóñòîåìíîæåñòâî (íîñèòåëü), à + (ñëîæåíèå) è · (óìíîæåíèå) áèíàðíûå îïåðàöèè íà í¼ì òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ Râûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå çàêîíû èëè àêñèîìû êîëüöà:R1: îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ R êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà(àääèòèâíàÿ ãðóïïà êîëüöà);R2: (x · y) · z = x · (y · z) àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ];R3: x · (y + z) = x · y + x · z è (y + z) · x = y · x + z · x äèñòðèáóòèâíîñòü ñëåâà è ñïðàâà óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíîñëîæåíèÿ.Åñëè â R èìååòñÿ åäèíè÷íûé ýëåìåíò äëÿ óìíîæåíèÿ 1, òîêîëüöî íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ñ åäèíèöåé (óíèòàëüíûì).Åñëè x · y = y · x, òî êîëüöî íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíûì.[27 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÊîëüöà è ïîëÿÊîëüöà: îñíîâíûå ñâîéñòâà, ïðèìåðûÏðèìåð êîëüöà áåç åäèíèöû êîëüöî ÷¼òíûõ ÷èñåë 2Z.Ýëåìåíò a óíèòàëüíîãî êîëüöà íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì,åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò b òàêîé, ÷òî a · b = b · a = 1.Åñëè ∀ r1, r2 : (r1 · r2 = 0) ⇒ (r1 = 0) ∨ (r2 = 0) òî ýòîêîëüöî áåç äåëèòåëåé íóëÿ.Óíèòàëüíîå àññîöèàòèâíî-êîììóòàòèâíîå êîëüöî áåçäåëèòåëåé íóëÿ öåëîñòíîå êîëüöî.Ïðèìåðû êîëåö:1.
Êëàññè÷åñêèé ïðèìåð ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z ñîïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ (öåëîñòíîå êîëüöî).Îáðàòèìûå ýëåìåíòû òîëüêî ±1.2. Zn def= h {0, 1, . . . , n − 1}, +mod n , ·mod n i êîëüöî êëàññîââû÷åòîâ ïî ìîäóëþ n (âû÷åò = îñòàòîê).3. Êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ äàëåå.28 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÊîëüöà è ïîëÿÊîëüöà: èçîìîðôèçìû, ãîìîìîðôèçìû, ïîäêîëüöàÎïðåäåëåíèåÏóñòü R = h R, +, · i è R 0 = h R 0, ⊕, ⊗ i êîëüöà.Îòîáðàæåíèå ϕ : R → R 0 íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì, åñëèîíî ñîõðàíÿåò îáå îïåðàöèè: ∀ r1, r2 ∈ R ñïðàâåäëèâîϕ(r1 + r2 ) = ϕ(r1 ) ⊕ ϕ(r2 ), ϕ(r1 · r2 ) = ϕ(r1 ) ⊗ ϕ(r2 ).Âçàèìíî îäíîçíà÷íûé ãîìîìîðôèçì êîëåö åñòü èçîìîðôèçì,ñèìâîëè÷åñêè R ∼= R 0.ÓòâåðæäåíèåÃîìîìîðôíàÿ îáëàñòü êîëüöà åñòü êîëüöî.Ïîäìíîæåñòâî S ⊆ R êîëüöà h R, +, · i, óñòîé÷èâîåîòíîñèòåëüíî îïåðàöèé + è · íàçûâàåòñÿ ïîäêîëüöîì.29 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ30 / 52Êîëüöà è ïîëÿÈäåàëû êîëåöÎïðåäåëåíèåÏîäêîëüöî I êîììóòàòèâíîãî êîëüöàèäåàëîì (ñèìâîëè÷åñêè I R), åñëèR∀ x ∀ r : ax ∈ IIRíàçûâàåòñÿ åãî.ÎïðåäåëåíèåÈäåàë I óíèòàëüíîãî êîììóòàòèâíîãî êîëüöà R íàçûâàåòñÿãëàâíûì, åñëè íàéä¼òñÿ ýëåìåíò a ∈ R òàêîé, ÷òîI = { ar | r ∈ R },ñèìâîëè÷åñêè I = (a).Ïðèìåð: (n) = nZ Z (íó, íàïðèìåð, 5Z èäåàë â Z).Öåëîñòíûå êîëüöà, â êîòîðûõ âñå èäåàëû (îòëè÷íûå îò ñàìîãîêîëüöà) ãëàâíûå íàçûâàþòñÿ êîëüöàìè ãëàâíûõ èäåàëîâ (ÊÃÈ).ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0.
Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÊîëüöà è ïîëÿÈäåàëû êîëåö: ñâîéñòâà IÑàìî êîëüöî R è åãî íóëü èäåàëû R, îíè íàçûâàþòñÿñîáñòâåííûìè, îñòàëüíûå èäåàëû íåñîáñòâåííûå. êîëüöå Z öåëûõ ÷èñåë âñå èäåàëû ãëàâíûå è èìåþò âèänZ = { nz | z ∈ Z }, ãäå n ∈ N0 .Áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå èäåàëîâ êîëüöàðåôëåêñèâíî, òðàíçèòèâíî è àíòèñèììåòðè÷íî, ò.å.ÿâëÿåòñÿ ïîðÿäêîì.Åñëè R ïðîèçâîëüíîå êîëüöî, è n ∈ Z, òînR = { na | a ∈ R } R.Åñëè R êîììóòàòèâíîå êîëüöî, è a1, .
. . , an ∈ R, òî(a1 , . . . , an ) = { x1 a1 +. . .+xn an | x1 , . . . , xn ∈ R } R èäåàë, ïîðîæä¼ííûé ýëåìåíòàìè a1, . . . , an.31 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ32 / 52Êîëüöà è ïîëÿÈäåàëû êîëåö: ñâîéñòâà IIÅñëè I1, I2 R, òîïåðåñå÷åíèå èäåàëîâ I1 ∩ I2 ,ñóììà èäåàëîâ I1 + I2 = { x + y | x ∈ I1 , y ∈ I2 },defdefïðîèçâåäåíèå èäåàëîâ I1 · I2 = èäåàëû R.x1 · y1 + . .
. + xn · yn | x1 ∈ I1 , y1 ∈ I2 , i = 1, n,ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÊîëüöà è ïîëÿÔàêòîðêîëüöàÊëàññîì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ èäåàëà I êîëüöà h R, +, · iíàçûâàåòñÿ ñìåæíûé êëàññ ïî íîðìàëüíîé ïîäãðóïïå h I, + iàääèòèâíîé ãðóïïû êîëüöà ñ íåêîòîðûì ôèêñèðîâàííûìïðåäñòàâèòåëåì r: { r + x | r ∈ R, x ∈ I }, ñèìâîëè÷åñêè [r]I .Ìíîæåñòâî êëàññîâ âû÷åòîâ êîëüöî (âìåñòî îïåðàíäîâìîæíî áðàòü ëþáûå ýëåìåíòû ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññîâ), îíîíàçûâàåòñÿ ôàêòîðêîëüöîì êîëüöà R ïî ìîäóëþ èäåàëà I ,ñèìâîëè÷åñêè R/I .Ïðèìåð: I = 2Z Z, Z/2Z = { [0]I , [1]I }.ÎïðåäåëåíèåÈäåàë I íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì â êîëüöå R, åñëè íåñóùåñòâóåò òàêîãî èäåàëà I 0, ÷òî I ⊂ I 0 ⊂ R.33 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÊîëüöà è ïîëÿÔàêòîðèàëüíûå êîëüöàÎïðåäåëåíèåÖåëîñòíîå êîëüöî, â êîòîðîì êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò xëèáî îáðàòèì, ëèáî îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêèñîìíîæèòåëåé è óìíîæåíèÿ íà îáðàòèìûé ýëåìåíòïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ íåïðèâîäèìûõ ýëåìåíòîâx = p1 · . . . · pn , n > 1 , íàçûâàåòñÿ ôàêòîðèàëüíûì.Z ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî.Êîëüöà ãëàâíûõ èäåàëîâ ôàêòîðèàëüíû.Êîëüöî Zn ∼= Z/nZ ÿâëÿåòñÿ ôàêòîðèàëüíûì (è,ñëåäîâàòåëüíî, îáëàñòüþ öåëîñòíîñòè), åñëè è òîëüêî åñëèn ïðîñòîå ÷èñëî.34 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü 0. Ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿÊîëüöà è ïîëÿÅâêëèäîâû êîëüöàÎïðåäåëåíèåÊîëüöî R = h R, +, · i íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì, åñëè äëÿ íåãîâûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:E1: R öåëîñòíîå êîëüöî;E2: äëÿ êàæäîãî íåíóëåâîãî ýëåìåíòà r ∈ R îïðåäåëåíà åãîíîðìà N (r) ∈ N0;E3: äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ a è b 6= 0 êîëüöà R ñóùåñòâóþòòàêèå ýëåìåíòû q è r, ÷òîa = q · b + r è ëèáî r = 0, ëèáî N (r) < N (b).(âîçìîæíîñòü äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì îñíîâíîå ñâîéñòâîíîðìû).E4: íîðìà ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íåíóëåâûõ ñîìíîæèòåëåé áîëüøåëèáî ðàâíà íîðìå ëþáîãî èç ñîìíîæèòåëåé: a, b ∈ R,a 6= 0, b 6= 0 âûïîëíåíî max { N (a), N (b) } 6 N (a · b).35 / 52ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
