Конечные поля (часть 1) (1127160)
Текст из файла
ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà×àñòü IÊîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà1 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÏîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÐàçäåëû1234567Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÂû÷èñëåíèå ýëåìåíòîâ â êîíå÷íûõ ïîëÿõÂåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ GF (pn)Öèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìè2 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.
Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà3 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÏîëå GF (p)Z êîëüöî öåëûõ ÷èñåë åâêëèäîâî (öåëîñòíîå óíèòàëüíîå +âîçìîæíî äåëåíèå ñ îñòàòêîì⇒ñóùåñòâîâàíèå ÍÎÄ!),p ïðîñòîå ÷èñëî.(p) = { np | n ∈ Z } = pZ = { 0, ±p, ±2p, . . . } èäåàëZ/(p) = Z/pZ = 0, 1, . . . , p − 1 êîëüöî âû÷åòîâ ïîìîäóëþ ýòîãî èäåàëà = êëàññû îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà p:0= 0 + (p) ,1= 1 + (p) ,⇒ Z = 0 ∪ 1 ∪ .
. . ∪ p − 1.········· ×åðòó íàä ñèìâîëàìè êëàññîâp − 1 = p − 1 + (p) .âû÷åòîâ ÷àñòî íå ñòàâÿò.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà3 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÏîëå GF (p)Z êîëüöî öåëûõ ÷èñåë åâêëèäîâî (öåëîñòíîå óíèòàëüíîå +âîçìîæíî äåëåíèå ñ îñòàòêîì⇒ñóùåñòâîâàíèå ÍÎÄ!),p ïðîñòîå ÷èñëî.(p) = { np | n ∈ Z } = pZ = { 0, ±p, ±2p, .
. . } èäåàëZ/(p) = Z/pZ = 0, 1, . . . , p − 1 êîëüöî âû÷åòîâ ïîìîäóëþ ýòîãî èäåàëà = êëàññû îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà p:0= 0 + (p) ,1= 1 + (p) ,⇒ Z = 0 ∪ 1 ∪ . . . ∪ p − 1.········· ×åðòó íàä ñèìâîëàìè êëàññîâp − 1 = p − 1 + (p) .âû÷åòîâ ÷àñòî íå ñòàâÿò.Ïîñêîëüêóp ïðîñòîå, òîZ/(p) íå ïðîñòî êîëüöî, à ïîëå(âîçìîæíî äåëåíèå áåç îñòàòêà íà ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò).Ýòîïðîñòîå ïîëå Ãàëóà, îáîçíà÷åíèåmod p.îïåðàöèè â í¼ì ïîFp èëè GF (p); âñåÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà4 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÏîëå F3 = Z/(3) è ôàêòîðêîëüöî Z/(4)F3 :+012001211202201×012000010122021ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà4 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÏîëå F3 = Z/(3) è ôàêòîðêîëüöî Z/(4)F3 :+012001211202201Z/(4) :+012300123112302230133012×012000010122021×012300000101232020230321Äâàæäû äâà ðàâíî íóëþ!ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà4 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÏîëå F3 = Z/(3) è ôàêòîðêîëüöî Z/(4)F3 :+012001211202201Z/(4) :+012300123112302230133012×012000010122021×012300000101232020230321Äâàæäû äâà ðàâíî íóëþ!Îäíàêî ïîëå èç4ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóåò...ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.
Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÏîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÕàðàêòåðèñòèêà ïîëÿÏóñòük ïðîèçâîëüíîå ïîëå, 1 åäèíèöà k. Ñêëàäûâàåìåäèíèöû:1 = 1,1 + 1 = 2,. . ..5 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà5 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÕàðàêòåðèñòèêà ïîëÿÏóñòük ïðîèçâîëüíîå ïîëå, 1 åäèíèöà k. Ñêëàäûâàåìåäèíèöû:1 = 1,1 + 1 = 2,.
. .. êîíå÷íîì ïîëå âñåãäà íàéä¼òñÿ ïåðâîåkòàêîå, ÷òî1| + .{z. . + 1} = 0.k ðàçÒîãäàkïîðÿäîê àääèòèâíîé ãðóïïû ïîëÿ k == õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ k = char kdef{ 0, 1, 2, . . . , char k − 1 } ìèíèìàëüíîå ïîäïîëå ïîëÿk.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.
Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà5 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÕàðàêòåðèñòèêà ïîëÿÏóñòük ïðîèçâîëüíîå ïîëå, 1 åäèíèöà k. Ñêëàäûâàåìåäèíèöû:1 = 1,1 + 1 = 2,. . .. êîíå÷íîì ïîëå âñåãäà íàéä¼òñÿ ïåðâîåkòàêîå, ÷òî1| + .{z. . + 1} = 0.k ðàçÒîãäàkïîðÿäîê àääèòèâíîé ãðóïïû ïîëÿ k == õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ k = char kdef{ 0, 1, 2, . . . , char k − 1 }Åñëè âñå ñóììû âèäàÏðèìåðû: ìèíèìàëüíîå ïîäïîëå ïîëÿ1 + ... + 1ðàçëè÷íû, òîchar k = 0.Q, R ïîëÿ íóëåâîé (èëè áåñêîíå÷íîé :))õàðàêòåðèñòèêè.k.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÏîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÁåñêîíå÷íîå ïîëå ñ ïîëîæèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé6 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÏîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÁåñêîíå÷íîå ïîëå ñ ïîëîæèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêîék ïðîèçâîëüíîå (êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå) ïîëå. Ïîñòðîèì:1k[x] êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò ôîðìàëüíîé ïåðåìåííîé x:{ P (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn | a0 , . . .
, an ∈ k, an 6= 0 };k[x] ↔ { (a0 , . . . , an ) ∈ kn | n ∈ N0 }.6 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÏîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÁåñêîíå÷íîå ïîëå ñ ïîëîæèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêîék ïðîèçâîëüíîå (êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå) ïîëå. Ïîñòðîèì:12k[x] êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò ôîðìàëüíîé ïåðåìåííîé x:{ P (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn | a0 , . .
. , an ∈ k, an 6= 0 };k[x] ↔ { (a0 , . . . , an ) ∈ kn | n ∈ N0 }.k(x) ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íàä k6 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà6 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÁåñêîíå÷íîå ïîëå ñ ïîëîæèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêîék ïðîèçâîëüíîå (êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå) ïîëå. Ïîñòðîèì:12k[x] êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò ôîðìàëüíîé ïåðåìåííîé x:{ P (x) = a0 + a1 x + . .
. + an xn | a0 , . . . , an ∈ k, an 6= 0 };k[x] ↔ { (a0 , . . . , an ) ∈ kn | n ∈ N0 }.k(x) ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íàä k; â í¼ì:ýëåìåíòû P/Q (Q 6= 0)P, Q ∈ k[x]óìíîæåíèå (P/Q) · (U/V ) = (P U )/(QV )ýêâèâàëåíòíîñòü P1/Q1 = P2/Q2P1 Q2 = P2 Q1ñëîæåíèå äðîáèåñëè, ãäå;;, åñëè;äðîáè ìîæíî ïðèâîäèòü ê îáùåìóçíàìåíàòåëþ è ñêëàäûâàòü:P/Q + U/V = (P V + QU )/(QV );ïîñêîëüêó k[x] ⊂ k(x), òî êàæäûé ìíîãî÷ëåíP îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ P/1.âêëþ÷åíèå ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà6 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÁåñêîíå÷íîå ïîëå ñ ïîëîæèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêîék ïðîèçâîëüíîå (êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå) ïîëå. Ïîñòðîèì:12k[x] êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò ôîðìàëüíîé ïåðåìåííîé x:{ P (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn | a0 , . . . , an ∈ k, an 6= 0 };k[x] ↔ { (a0 , .
. . , an ) ∈ kn | n ∈ N0 }.k(x) ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íàä k; â í¼ì:ýëåìåíòû P/Q (Q 6= 0)P, Q ∈ k[x]óìíîæåíèå (P/Q) · (U/V ) = (P U )/(QV )ýêâèâàëåíòíîñòü P1/Q1 = P2/Q2P1 Q2 = P2 Q1ñëîæåíèå äðîáèåñëè, ãäå;;, åñëè;äðîáè ìîæíî ïðèâîäèòü ê îáùåìóçíàìåíàòåëþ è ñêëàäûâàòü:P/Q + U/V = (P V + QU )/(QV );ïîñêîëüêó k[x] ⊂ k(x), òî êàæäûé ìíîãî÷ëåíP îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ P/1.âêëþ÷åíèå k âçÿòü êîíå÷íîå ïîëå Fp , òîFp (x) áåñêîíå÷íîå ïîëå ïîëîæèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêè p.Åñëè â êà÷åñòâåÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÏîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÂû÷èñëåíèÿ â ïîëå ïîëîæèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêèËåììà (îá óïðîùåíèå âû÷èñëåíèé) ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p > 0 âûïîëíåíî òîæäåñòâî(a + b)p = ap + bp .7 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.
Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà7 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÂû÷èñëåíèÿ â ïîëå ïîëîæèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêèËåììà (îá óïðîùåíèå âû÷èñëåíèé) ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p > 0 âûïîëíåíî òîæäåñòâî(a + b)p = ap + bp .Äîêàçàòåëüñòâî ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå âåðíà ôîðìóëà äëÿ áèíîìà(a + b)p = ap + Cp1 ap−1 b + . . . + Cpp−1 abp−1 +bp ,|{z}=0à ïðè i = 1, .
. . , p − 1 ÷èñëèòåëü êîýôôèöèåíòà Cpi =äåëèòñÿ íà p, à çíàìåíàòåëü íåò, îòêóäà Cpi ≡p 0.p!i!(p−i)!ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà7 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÂû÷èñëåíèÿ â ïîëå ïîëîæèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêèËåììà (îá óïðîùåíèå âû÷èñëåíèé) ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p > 0 âûïîëíåíî òîæäåñòâî(a + b)p = ap + bp .Äîêàçàòåëüñòâî ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå âåðíà ôîðìóëà äëÿ áèíîìà(a + b)p = ap + Cp1 ap−1 b + . . . + Cpp−1 abp−1 +bp ,|{z}=0à ïðè i = 1, .
. . , p − 1 ÷èñëèòåëü êîýôôèöèåíòà Cpi =äåëèòñÿ íà p, à çíàìåíàòåëü íåò, îòêóäà Cpi ≡p 0.Ñëåäñòâèånp!i!(p−i)!nn ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p > 0 ñïðàâåäëèâî (a + b)p = ap + bp .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà8 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÌóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà è ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ FpF∗pdef=Fp r {0} ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ Fp .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà8 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÌóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà è ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ FpF∗pdef=Fp r {0} ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ Fp .ÓòâåðæäåíèåF∗p öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêàp−1ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.
Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà8 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÌóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà è ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ FpF∗pdef=Fp r {0} ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ Fp .ÓòâåðæäåíèåF∗p öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêàp − 1 (ïî óìíîæåíèþ).ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà8 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÌóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà è ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ FpF∗pdef=Fp r {0} ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ Fp .ÓòâåðæäåíèåF∗p öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêàp − 1 (ïî óìíîæåíèþ).Êàê ëþáàÿ êîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà,ãåíåðàòîð = ïðèìèòèâíûé ýëåìåíòF∗pñîäåðæèòα:F∗ëþáîé ýëåìåíò β ∈ p ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé åãîiíàòóðàëüíîé ñòåïåíüþ β = α , i ∈ { 1, .
. . , pïðè÷¼ì1 = αp−1 ò.å.αi 6= 1äëÿ− 1};1 6 i 6 p − 2.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà8 / 95Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÌóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà è ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ FpF∗pdef=Fp r {0} ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ Fp .ÓòâåðæäåíèåF∗p öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêàp − 1 (ïî óìíîæåíèþ).Êàê ëþáàÿ êîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà,ãåíåðàòîð = ïðèìèòèâíûé ýëåìåíòF∗pñîäåðæèòα:F∗ëþáîé ýëåìåíò β ∈ p ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé åãîiíàòóðàëüíîé ñòåïåíüþ β = α , i ∈ { 1, . . . , pïðè÷¼ì1 = αp−1ÓòâåðæäåíèåÃðóïïàF∗p ò.å.αi 6= 1äëÿ− 1};1 6 i 6 p − 2.èìååò ϕ(p − 1) ïðèìèòèâíûõ ýëåìåíòîâ.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
