Главная » Просмотр файлов » Конечные поля (часть 1)

Конечные поля (часть 1) (1127160), страница 9

Файл №1127160 Конечные поля (часть 1) (Конечные поля) 9 страницаКонечные поля (часть 1) (1127160) страница 92019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

. . , β p :¶ âñå ðàçëè÷íû; · èñ÷åðïûâàþò ñïèñîê âñåõ n êîðíåé f (x)(èõ íàçûâàþò ñìåæíûìè).Ò.å. ÷òîáû ïîëó÷èòü âñå êîðíè íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà,äîñòàòî÷íî íàéòè îäèí èç íèõ è âîçâîäèòü åãî ïîñëåäîâàòåëüíî âñòåïåíèp.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà77 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì...Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò ðàñêëàäûâàòü ìíîãî÷ëåíû íàìíîæèòåëè.Òåîðåìà (ñâîéñòâî êîðíåé íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà)Ïóñòü β êîðåíü íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà f (x) ñòåïåíè n ñ2n−1êîýôôèöèåíòàìè èç Fp .

Òîãäà ýëåìåíòû β, β p , β p , . . . , β p :¶ âñå ðàçëè÷íû; · èñ÷åðïûâàþò ñïèñîê âñåõ n êîðíåé f (x)(èõ íàçûâàþò ñìåæíûìè).Ò.å. ÷òîáû ïîëó÷èòü âñå êîðíè íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà,äîñòàòî÷íî íàéòè îäèí èç íèõ è âîçâîäèòü åãî ïîñëåäîâàòåëüíî âñòåïåíèp.Äîêàçàòåëüñòâî¶ Ïîêàæåì, ÷òî åñëè β êîðåíü f (x), òî β p òîæå êîðåíü.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà78 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì...Ïîñêîëüêó ap = a äëÿ âñåõ a ∈ Fp , òî ñïðàâåäëèâîa0 + a1 x + .

. . + ak xkp= ap0 + ap1 xp + ap2 x2p + . . . + apk xkp == a0 + a1 (xp ) + a2 (xp )2 + . . . + ak (xp )k ,ò.å. äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà ϕ(x) ∈ Fp [x] âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîp(∗)ϕ(x) = ϕ(xp ).Îòñþäà:f (β) = 0 ⇔ f (β)p = 0 ⇔ f (β p ) = 0è β, β p , . . . , β pn−1 êîðíè ìíîãî÷ëåíà f (x).ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà79 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì...n−1· Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî âñå β, β p , .

. . , β pðàçëè÷íû, èòîãäà (ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n èìååò íå áîëåå n êîðíåé) ìîæíîóòâåðæäàòü, ÷òî íàéäåíû âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà f (x).lkÏðåäïîëîæèì, ÷òî β p = β p è áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòèl < k . Èìååì:n1βp = β;2ïîñêîëüêónk ·pn−kβp = βp=kβppn−kòî β êîðåíü óðàâíåíèÿ xp=n−k+l −1βplpn−kn−k+l= βp,− 1 = 0.Èç òåîðåìû ¾Âñå íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû n-é ñòåïåíè íàäFp ÿâëÿþòñÿ äåëèòåëÿìè xpn − x¿ ïîëó÷àåìn − k + l > n ⇒ l > k ïðîòèâîðå÷èå.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà80 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèé ¾íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí = 0¿Ïðèìåðû1. Íàéòè êîðíè íåïðèâîäèìîãî íàäF2f (x) = x4 + x3 + 1ìíîãî÷ëåíàÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà80 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèé ¾íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí = 0¿Ïðèìåðû1. Íàéòè êîðíè íåïðèâîäèìîãî íàäF2ìíîãî÷ëåíàf (x) = x4 + x3 + 1Ðåøåíèå. Îäèí êîðåíü ïîëó÷àåì íåìåäëåííî:x(èëèx).Ïî òîëüêî ÷òî äîêàçàííîé òåîðåìå ìîæíî âûïèñàòü îñòàëüíûåêîðíè â ïîëåx2 ,F2 [x]/(f (x)):x4 = x3 + 1,x8 = x6 + 1 = x3 + x2 + x.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà80 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèé ¾íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí = 0¿Ïðèìåðû1.

Íàéòè êîðíè íåïðèâîäèìîãî íàäF2ìíîãî÷ëåíàf (x) = x4 + x3 + 1Ðåøåíèå. Îäèí êîðåíü ïîëó÷àåì íåìåäëåííî:x(èëèx).Ïî òîëüêî ÷òî äîêàçàííîé òåîðåìå ìîæíî âûïèñàòü îñòàëüíûåêîðíè â ïîëåx2 ,F2 [x]/(f (x)):x4 = x3 + 1,x8 = x6 + 1 = x3 + x2 + x.x2 äåéñòâèòåëüíî êîðåíü f (x):f (x2 ) = x4 + x3 + 1x 7→ x2 = x4·2 + x4+2 + 1x4 7→ x3 +1 =Ïîêàæåì, ÷òî, íàïðèìåð,= (x3 + 1)2 + (x3 + 1)x2 + 1 = x6 + 6 1 + x5 + x2 + 6 1 == x6 + x5 + x2 = x2 (x4 + x3 + 1) = x2 · 0 = 0.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà81 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèé ¾íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí = 0¿Ïðèìåðû2. Ðåøèòü óðàâíåíèåf (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0,f (x) ∈ F2 [x].Ðåøåíèå.f (x) íåïðèâîäèì â F2 [x].Ïîýòîìó îäèí åãî êîðåíü x, è ïî äîêàçàííîé òåîðåìåâûïèñûâàåì îñòàëüíûå â ïîëå F2 [x]/(f (x)):Óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìíîãî÷ëåíx2 , x4 = x3 + x2 + x + 1, x8 = x6 + x4 + x2 + 1 = . . . = x3 .Ïîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òîf (x),x3 äåéñòâèòåëüíî êîðåíüò.å. ÷òîf (x3 ) = x12 + x9 + x6 + x3 + 1 = 0.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.

Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿ ¾íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí = 0¿Ïðèìåðû3. Ðåøèòü óðàâíåíèåf (x) = x2 + 2x − 1 = 0,ãäåf (x) ∈ F3 [x].82 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà82 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿ ¾íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí = 0¿Ïðèìåðû3. Ðåøèòü óðàâíåíèåf (x) = x2 + 2x − 1 = 0,Ðåøåíèå. Ïåðåáîðîì ýëåìåíòîâóáåæäàåìñÿf (x)Íî òîãäà â ïîëåÏîñêîëüêóF3 [x]/2x + 12f (x) ∈ F3 [x].x ∈ F3 = { 0, 1, 2 } íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí.x2 + 2x + 2x2 = −2x + 1 = x + 1,Óáåäèìñÿ, ÷òîãäå êîðåíüîí èìååò êîðíèòîxèx3 .x3 = x2 + x = 2x + 1.f (x):2f (x + x) = (2x + 1) + x + 2 − 1 == x2 + x + 1 + x + 1 = 3 · (x + 1) = 0.Îòâåò: óðàâíåíèåèìååò êîðíèxèf (x) = x2 + 2x − 1 = 0, ãäå f (x) ∈ F3 [x]2x + 1 â ïîëå F3 [x]/ x2 + 2x + 2 .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà83 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿ ¾íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí = 0¿...ÏðèìåðûÏðîâåðèì, êñòàòè, ÿâëÿåòñÿ ëè íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåíf (x) = x2 + 2x + 2 ∈ F3 [x]ïðèìèòèâíûì?F2 ñîñòîèò èç 833ýëåìåíòîâ, 8 = 2 èìååò åäèíñòâåííûé ïðîñòîé äåëèòåëü 2 è84ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü ðàâåíñòâî x = 1 ( = 4).22Èìååì ( x = x + 1 ):Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîñòðîåííîãî ïîëÿx4 = x22= (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 =6 x + 1+ 6 2x + 1 = 2 6= 1.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîïðèìèòèâíûé.deg x = 8è äàííûé ìíîãî÷ëåí ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.

Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà84 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊàê ðåøàòü óðàâíåíèÿ f (x) = 0, êîãäà êîðíåé íåò?Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ âñåõ êîðíåé ïîëèíîìà f (x) ∈ Fp[x]1Ðàçëîæèòü2Äëÿ êàæäîãî ìíîãî÷ëåíàðàñøèðåíèåni = deg gif (x) íà íåïðèâîäèìûå ñîìíîæèòåëèf (x) = g1 (x) · g2 (x) · .

. . · gk (x).gi (x), i = 1, kíàäFp [x]:ðàññìîòðåòüFp [x]/(gi (x)), â êîòîðîì îí áóäåò èìåòüêîðíåé2α, αp , αp , . . . , αpni −1.Çàïèñàòü äàííûå êîðíè êàê ìíîãî÷ëåíû èç ïîëÿFp [x]/(gi (x)).3Îáúåäèíèòü âñå êîðíè â îäíîì îáùåì ðàñøèðåíèèãäån =HOK ( n1 , . . . ,nk ).Fnp ,ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà85 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿÇàäà÷àf (x) = 2x4 + x3 + 4x2 + 4 = 0íàä.

Ðåøèòü óðàâíåíèåf (x) = 2x4 + x3 + 4x2 + 4 = 0,ãäåf (x) ∈ F5 [x].F5ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà85 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿÇàäà÷àf (x) = 2x4 + x3 + 4x2 + 4 = 0íàäF5. Ðåøèòü óðàâíåíèåf (x) = 2x4 + x3 + 4x2 + 4 = 0,ãäåf (x) ∈ F5 [x].Ðåøåíèå. Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ f (x) äëÿx ∈ F5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }: f (0) = 4, f (1) = 1, f (2) = 0.Òàêèì îáðàçîì, x = 2 êîðåíü f (x).Äåëÿ ¾óãîëêîì¿2x4+x3+f (x)4x2íàf1 (x) = x − 2 (= x + 3),+ 4 = (x − 2) ·(2x3ïîëó÷èì+ 4x + 3).2x3 + 4x + 3 : ò.ê. 2−1 = 3,2x3 + 4x + 3 = 0 áóäåì ðåøàòü óðàâíåíèåÄëÿ óäîáñòâà íîðìèðóåì ÷àñòíîåâìåñòî óðàâíåíèÿf2 (x) = 3 · (2x3 + 4x + 3) = x3 + 2x + 4 = 0.òîÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.

Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà86 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿÏåðåáîðîì ýëåìåíòîâf (x) = 2x4 + x3 + 4x2 + 4 = 0x ∈ F5íàä F5...f (0) = 4, f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 2, f (4) = 1óáåæäàåìñÿ, ÷òîf2 (x) = x3 + 2x + 4 íåïðèâîäèìûéìíîãî÷ëåí (à åñëè áû ýòî áûë ìíîãî÷ëåí ïîëåáóäóòF5 [x]/x,x5 ,x3+ 2x + 44-éñòåïåíè?).êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíàf2 (x) = 0x25 .Âû÷èñëÿåì ñ ó÷¼òîìx3 = −2x − 4 = 3x + 1:x5 = x2 (3x + 1) = 3x3 + x2 = 4x + 3 + x2 = x2 + 4x + 3.55x25 = x5 = x2 + 4x + 3 = x10 + 45 x5 + 35 == x10 + 4(x2 + 4x + 3) + 3 = x10 + 4x2 + x.(ïîñêîëüêó45 = 210 = 1024Íàéä¼ì îòäåëüíîx10 .è35 = 81 · 3 = 243).ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà87 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿx10 = x52f (x) = 2x4 + x3 + 4x2 + 4 = 0= x2 + 4x + 32íàä F5...= x4 +x2 +32 +3x3 +4x+x2 == x4 + 3x3 + 2x2 + 4x + 4 = 36 x2 + 6 x+ 6 4x + 3+ 6 2x2 + 4x + 4 == 4x + 2.Ïðîäîëæàåì:x25 = x10 + 4x2 + x = 6 4x + 2 + 4x2 + 6 x = 4x2 + 2.Îòâåòf (x) = 2x4 + x3 + 4x2 + 4 = 0, ãäå22f (x) ∈ F5 [x] èìååò êîðíè 2, x, x + 4x + 3, 4x + 2 â ïîëå3F = F5 [x]/ x + 2x + 4 (ïîñêîëüêó êîðåíü 2 ∈ F ).: óðàâíåíèåÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà88 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÎ ïîðîæäàþùåì ìíîãî÷ëåíåx3 + 2x + 4 ∈ F5 [x]Êñòàòè, ÿâëÿåòñÿ ëè íåïðèâîäèìûé âa(x) = x3 + 2x + 4ïðèìèòèâíûì?F5 [x]ìíîãî÷ëåíÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà88 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÎ ïîðîæäàþùåì ìíîãî÷ëåíåx3 + 2x + 4 ∈ F5 [x]Êñòàòè, ÿâëÿåòñÿ ëè íåïðèâîäèìûé âa(x) = x3 + 2x + 4F5 [x]ìíîãî÷ëåíïðèìèòèâíûì?Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîñòðîåííîãî ïîëÿ53− 1 = 124äëÿd=124 = 22 · 31,= 62 è d =1242x,ðàâåíñòâî12431äëÿ êîòîðîãîxd = 1íóæíî ïðîâåðèòü= 4.x62 = (x31 )2 = (x25 · x6 )2 .63 2 = (3x + 1)2 = 4x2 + x + 1,Ïîñêîëüêó x = xxx3 = 3x + 1.x4 = x3 x = 3x2 + x 6= 1.Âû÷èñëÿåì:31ñîñòîèò èçýëåìåíòîâ.Îïðåäåëèì ïîðÿäîê å¼ ýëåìåíòàÏîñêîëüêóF352243òî2= (4x +2)·(4x +x+1) = x +4x +4x +3x2 +2x+2 == x4 +4x3 +2x2 +2x + 2 = 3x2 + x + 2x + 4 + 2x2 + 2x + 2 = 1deg x = 31è ìíîãî÷ëåía(x)íå ïðèìèòèâåí.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1006,27 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее