Конечные поля (часть 1) (1127160), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà89 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿÇàäà÷àf (x) = x8 + x4 + x2 + x + 1 = 0íàä. Ðåøèòü óðàâíåíèåf (x) = x8 + x4 + x2 + x + 1 = 0,ãäåf (x) ∈ F2 [x].F2ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.

Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà89 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿÇàäà÷àf (x) = x8 + x4 + x2 + x + 1 = 0íàäF2. Ðåøèòü óðàâíåíèåf (x) = x8 + x4 + x2 + x + 1 = 0,ãäåf (x) ∈ F2 [x].Ðåøåíèå.  òàáëèöàõ íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ äàííûéìíîãî÷ëåí îòñóòñòâóåò.Ïîäáîðîì íàõîäèì, ÷òîíåïðèâîäèìûõ íàäf (x)ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå äâóõF2 ìíîãî÷ëåíîâ:x8 + x4 + x2 + x + 1 = (x4 + x3 + 1) · (x4 + x3 + x2 + x + 1) .{z} |{z}|f1 (x)Óðàâíåíèÿf1 (x) = 0èf2 (x) = 0f2 (x)ðàíåå áûëè ðåøåíû: èõêîðíè ñîîòâåòñòâåííî ñóòüx, x2 , x3 + 1, x3 + x2 + xâ ïîëåx, x2 , x3 , x3 + x2 + x + 1â ïîëåF1 = F2 [x]/ x4 + x3 + 1èF2 = F2 [x]/ x4 + x3 + x2 + x + 1 .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà90 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿf (x) = x8 + x4 + x2 + x + 1 = 0Ñòåïåíè îáîèõ ðàñøèðåíèé ïîëÿïîëÿF1èF2èçìîðôíû (êîðíåé óðàâíåíèÿf (x) = 0GF (2)íàä F2...ñîâïàäàþò (=4) èïîêà íå äîêàçàíî! 4), ò.î. âñåëåæàò â ïîëå8GF (2 ).Äëÿ çàïèñè äàííûõ êîðíåé âûáåðåì ïðåäñòàâëåíèåF1ïîëÿGF (24 ).Òîãäà çàïèñü êîðíåéêîðíèf2 (x) = 0f1 (x) = 0îñòàíåòñÿ áåç èçìåíåíèé, àíàäî ïðåäñòàâèòü êàê ýëåìåíòûF1 .Ïðèðàâíèâàÿ ìíîãî÷ëåíû, ïîðîæäàþùèå äàííûå ïîëÿ,ïîëó÷èìx4 + x3 + 1 = x4 + x3 + x2 + x + 1 ⇒ x2 + x = x(x + 1) = 0.ßñíî, ÷òî ïðè ïîäñòàíîâêåx 7→ x + 1ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâîîñòàíåòñÿ ñïðàâåäëèâûì. Ïðèìåíèì äàííóþ ïîñòàíîâêó äëÿèçîìîðôíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåéF1 ↔ F2 .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà91 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿf (x) = x8 + x4 + x2 + x + 1 = 0Íàõîäèì ïðåäñòàâëåíèÿ êîðíåé ìíîãî÷ëåíàf2 (x)íàä F2...â ïîëåF1 :x 7→ x + 1,x2 7→ (x + 1)2 = x2 + 1,x3 7→ (x + 1)3 = x3 + x2 + x + 1,x3 + x2 + x + 1 7→ (x3 + x2 + x + 1) + (x2 + 1) + (x + 1) + 1 = x3 .Óäîñòîâåðèìñÿ, ÷òî, íàïðèìåð,x2 + 1 êîðåíüf (x):f (x2 + 1) = (x2 + 1)8 + (x2 + 1)4 + (x2 + 1)2 + (x2 + 1) + 1 == (x16 + 1) + (x8 + 1) + (x4 + 1) + x2 .x16 = x, x4 = x3 + 1 è x8 = (x3 + 1)2 = x6 + 1.543Ïîñêîëüêó x = x + x = x + x + 1, òî64232x = x + x + x = x + x + x + 1 è x8 = x3 + x2 + x.Î÷åâèäíîÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà92 / 95Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐåøåíèå óðàâíåíèÿf (x) = x8 + x4 + x2 + x + 1 = 0Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå äëÿf (x2 + 1)íàä F2...ïîëó÷åííûåïîëèíîìèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ñòåïåíåéx,áóäåì èìåòüf (x2 + 1) = (x16 + 1) + (x8 + 1) + (x4 + 1) + x2 == (x + 1) + (x3 + x2 + x + 1) + (x3 + 1 + 1) + x2 = 0.Óäîñòîâåðèìñÿ, ÷òî, íàïðèìåð,x12=(x4 )3=(x3+1)3=x9x3 êîðåíü f2 (x): âû÷èñëèì+ x6 + x3 + 1 è òîãäàf2 (x3 ) = (x3 )4 +(x3 )3 +(x3 )2 +(x3 )1 +1 = x12 +x9 +x6 +x3 +1 = 0.Îòâåòf (x) = x8 + x4 + x2 + x + 1 = 0, ãäå43ïîëå F2 [x]/ x + x + 1 èìååò êîðíè: óðàâíåíèåf (x) ∈ F2 [x],âx, x2 , x2 + 1, x3 , x3 + 1, x3 + x2 + x, x + 1, x3 + x2 + x + 1.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÑóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëÿGF (pn )Ðàçäåëû1234567Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÂû÷èñëåíèå ýëåìåíòîâ â êîíå÷íûõ ïîëÿõÂåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ GF (pn)Öèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìè93 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÐàçäåëû1234567Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÂû÷èñëåíèå ýëåìåíòîâ â êîíå÷íûõ ïîëÿõÂåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ GF (pn)Öèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìè94 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÐàçäåëû1234567Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÂû÷èñëåíèå ýëåìåíòîâ â êîíå÷íûõ ïîëÿõÂåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ GF (pn)Öèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìè95 / 95.

Характеристики

Список файлов учебной работы