Конечные поля (часть 1) (1127160), страница 6
Текст из файла (страница 6)
êîýôôèöèåíò ïðèíàñ èíòåðåñóåò òîëüêîÎñòàòîê2,( 1 ìíîãî÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòèr1 (x) = 3,yi (x)îòëè÷àåòñÿ îò1íà ìíîæèòåëü-êîíñòàíòó.èÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà45 / 95Âû÷èñëåíèå ýëåìåíòîâ â êîíå÷íûõ ïîëÿõÏðèìåð...F47 :(x4 + x3 + x2 + 3)χ(x) + b(x)(x2 + x + 3) = 1 (∗)Àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ñâîþ ðàáîòó íà øàãådeg r1 (x) = deg 1 = 0Çàìå÷àíèåâû÷èñëÿòü≡7 5r1 (x) = 3,yi (x)x4 + x3 + x2 + 3, ò.ê.2êîýôôèöèåíò ïðè x + x + 3.îòëè÷àåòñÿ îòè äîìíîæàåì íà íåãî5y1 (x) =Îòâåòr1 (x) = 3(∗) ).
êîýôôèöèåíò ïðè1×òîáû ïîëó÷èòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ3−1ò.ê.: ïðè èòåðàöèÿõ àëãîðèòìà íåò íåîáõîäèìîñòèχi (x)íàñ èíòåðåñóåò òîëüêîÎñòàòîê2,( 1 ìíîãî÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè: â ïîëå5(4x3F7 [x]/íà ìíîæèòåëü-êîíñòàíòó.(∗)âû÷èñëÿåì ýëåìåíòy1 :+ 6x + 1) ≡7 6x3 + 2x + 5.x4 + x3 + x2 + 3èìååì(x2 + x + 3)−1 = 6x3 + 2x + 5.èÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÂåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐàçäåëû1234567Ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÂû÷èñëåíèå ýëåìåíòîâ â êîíå÷íûõ ïîëÿõÂåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ GF (pn)Öèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìè46 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà47 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÂåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî: îïðåäåëåíèåÎïðåäåëåíèåÀáñòðàêòíûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì k = { 1, α, β, . . . }íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà V = h V, k; +, · i, ãäåV = { 0, v, . . . } ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî,++ áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ íàä V : V × V → V ,· áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ýëåìåíòà (¾÷èñëà¿) èç k·ýëåìåíò (¾âåêòîð¿) èç V : k × V → V ,íàÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà47 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÂåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî: îïðåäåëåíèåÎïðåäåëåíèåÀáñòðàêòíûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì k = { 1, α, β, . .
. }íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà V = h V, k; +, · i, ãäåV = { 0, v, . . . } ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî,++ áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ íàä V : V × V → V ,· áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ýëåìåíòà (¾÷èñëà¿) èç k·ýëåìåíò (¾âåêòîð¿) èç V : k × V → V ,ïðè÷¼ì îïåðàöèèL1:V+è·íàóäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì àêñèîìàì: êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà ïî ñëîæåíèþ,0 å¼ íåéòðàëüíûéýëåìåíò.L2:L3:α · (v1 + v2 ) = α · v1 + α · v2 , (α1 + α2 ) · v = α1 · v + α2 · v ,(äèñòðèáóòèâíîñòü · îòíîñèòåëüíî +),α · (β · v) = (αβ) · v (êîìïîçèöèÿ óìíîæåíèé íà äâà ýëåìåíòàïîëÿ ñîâïàäàåò ñ óìíîæåíèåì èõ ïðîèçâåäåíèå,¾àññîöèàòèâíîñòü¿ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ ïîëÿ èL4:1·v =v(óíèòàëüíîñòü).·),ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà48 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâîÏðèìåðÏóñòüV = kn ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äëèíûýëåìåíòîâ ïîëÿk.'Ñëîæåíèå' è 'óìíîæåíèå íà ÷èñëî (èçnk)' ýëåìåíòîâ èç Vîïðåäåëÿþòñÿ ïîêîìïîíåíòíî.Ïîëó÷èâøàÿñÿ ñòðóêòóðà âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî.Åãî íàçûâàþòn-ìåðíûì êîîðäèíàòíûì ïðîñòðàíñòâîìÄèñòðèáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ:íàä ïîëåì(α − β) · v = α · v − β · v :(α − β) · v + β · v = (α − β + β) · v = α · vÎòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî0 · v = 0,èòàê êàê−v = (−1) · v ,k.0 · v = (1 − 1) · v = v − v = 0òàê êàêv + (−1) · v = 1 · v + (−1) · v = (1 − 1) · v = 0 · v = 0.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà49 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏðèìåíåíèå âåêòîðíîé àëãåáðû ê èçó÷åíèþ êîíå÷íûõ ïîëåéËåììàÏîëå k õàðàêòåðèñòèêè p > 0 åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàäFp .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà49 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏðèìåíåíèå âåêòîðíîé àëãåáðû ê èçó÷åíèþ êîíå÷íûõ ïîëåéËåììàÏîëå k õàðàêòåðèñòèêè p > 0 åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàäÄîêàçàòåëüñòâîñëîæåíèå íàñëåäóåòñÿ îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ â ïîëå k;p−1óìíîæåíèå ïîñêîëüêó z }| { FpFp .∼= F = 0, 1, 1 + 1, .
. . , 1 + . . . + 1 ⊆ k,òî ïðè óìíîæåíèè ¾÷èñëà¿ èç ïîëÿ Fp ìîæíîçàìåíÿòü íà ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû èç ïîëÿ F ;àêñèîìû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà âûïîëíÿþòñÿ â ñèëóñâîéñòâ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé â ïîëå k.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà49 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏðèìåíåíèå âåêòîðíîé àëãåáðû ê èçó÷åíèþ êîíå÷íûõ ïîëåéËåììàÏîëå k õàðàêòåðèñòèêè p > 0 åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàäFp .Äîêàçàòåëüñòâîñëîæåíèå íàñëåäóåòñÿ îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ â ïîëå k;p−1óìíîæåíèå ïîñêîëüêó z }| { Fp∼= F = 0, 1, 1 + 1, . . .
, 1 + . . . + 1 ⊆ k,òî ïðè óìíîæåíèè ¾÷èñëà¿ èç ïîëÿ Fp ìîæíîçàìåíÿòü íà ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû èç ïîëÿ F ;àêñèîìû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà âûïîëíÿþòñÿ â ñèëóñâîéñòâ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé â ïîëå k.ÑëåäñòâèåÏîëå Ãàëóà êàê âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò èç pn ýëåìåíòîâ.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà50 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏîëÿ Ãàëóà êàê êîëüöà âû÷åòîâ èëè âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâàÏîëåFnpåñòü êîíå÷íàÿ ÀÑ ñ ìíîæåñòâîì ýëåìåíòîâMp,n (x) == a0 + a1 x + . .
. + an−1 xn−1 | a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ Fp ,êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêôàêòîðêîëüöî âû÷åòîâ ïî èäåàëó íåêîòîðîãîíåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíàFnp∼=f (x)ñòåïåíènFp [x]/(f (x)) ; +p , ·píàä ïîëåìèëè êàên-ìåðíîåêîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåìFnp∼=Mp,n (x),Fp ; +p , ·p.Fp :Fp :ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà51 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÁàçèñ â FnpÒåîðåìàÝëåìåíòû 1, x, .
. . , xn−1 îáðàçóþò áàçèñFnp .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà51 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÁàçèñ â FnpÒåîðåìàÝëåìåíòû 1, x, . . . , xn−1 îáðàçóþò áàçèñFnp .Äîêàçàòåëüñòâî1. Ëþáîé ýëåìåíò Fnp ïðåäñòàâèì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèèóêàçàííûõ âåêòîðîâ:a0 + a1 x + . .
. + an−1 xn−1 = a0 1 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 .2. Îáðàòíî, ïóñòü g(x) = b0 1 + b1 x + . . . + bn−1 xn−1 = 0.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí g(x) ñòåïåíè n − 1 äåëèòñÿ íàíåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí n-é ñòåïåíè, ÷òînâîçìîæíî ëèøüoïðèb0 = b1 = . . . = bn−1 = 0, ò.å. ñèñòåìà 1, x, . . . , xn−1ëèíåéíî íåçàâèñèìà.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÂåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìC ðàñøèðåíèå ïîëÿ RÇàìå÷àíèå. Ïîñòðîåíèå ïîëÿ ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþíåêîòîðîãî íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà è àíàëîãè äîêàçàííûõòåîðåì ñïðàâåäëèâû íå òîëüêî â ñëó÷àå êîíå÷íûõ ïîëåé.52 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I.
Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà52 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìC ðàñøèðåíèå ïîëÿ RÇàìå÷àíèå. Ïîñòðîåíèå ïîëÿ ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþíåêîòîðîãî íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà è àíàëîãè äîêàçàííûõòåîðåì ñïðàâåäëèâû íå òîëüêî â ñëó÷àå êîíå÷íûõ ïîëåé.Íàïðèìåð:1ðàññìîòðèì ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåëìíîãî÷ëåíîâR[x]R[x]2â3ïîñòðîèì ïîëå4F5âîçüì¼ì íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåíFêàê ôàêòîðêîëüöî:è êîëüöîè êàæäûé åãî ýëåìåíòâèäåz = a1 + bx, a, b ∈ R;ïîëåFz∈Fx2 + 1 ;F = R[x]/ x2 + 1òàêæå è âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä1, xRíàä íèì;R; åãî áàçèñ èçîìîðôèçìa + ib | a, b ∈ R, i2 = −1 ,çàäà¼òñÿ ñîîòâåòñòâèåì 1 7→ 1, x 7→ i.=;ìîæíî ïðåäñòàâèòü âèçîìîðôíî ïîëþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåëCÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ ÃàëóàÂåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏîäïîëÿËåììàFnpÏîëåñîäåðæèò ïîäïîëåFnpFkpi k | n.53 / 95ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà53 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏîäïîëÿËåììàFnpÏîëåñîäåðæèò ïîäïîëåFnpFkpi k | n.ÄîêàçàòåëüñòâîÅñëè ïîëå k1 ñîäåðæèòñÿ â ïîëå ( k1 ⊂ k2 ), òî ýëåìåíòû k2ìîæíî óìíîæàòü íà ýëåìåíòû èç k1 , à ðåçóëüòàòû ñêëàäûâàòü.Ïîýòîìó ïîëå k2 ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàäïîëåì k1 íåêîòîðîé ðàçìåðíîñòè d çíà÷èò, â í¼ì |k1 |dýëåìåíòîâ. Íàø ñëó÷àé: pn = (pk )d , ÷òî è îçíà÷àåò k | n.Îáðàòíîå ñëåäóåò èç ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè (ñòî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà) ïîëåé Ãàëóà.ßñíî, ÷òîFp âñåãäà ïîäïîëå Fnp(ñëó÷àék = 1).ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà53 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏîäïîëÿËåììàFnpÏîëåñîäåðæèò ïîäïîëåFnpFkpi k | n.ÄîêàçàòåëüñòâîÅñëè ïîëå k1 ñîäåðæèòñÿ â ïîëå ( k1 ⊂ k2 ), òî ýëåìåíòû k2ìîæíî óìíîæàòü íà ýëåìåíòû èç k1 , à ðåçóëüòàòû ñêëàäûâàòü.Ïîýòîìó ïîëå k2 ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàäïîëåì k1 íåêîòîðîé ðàçìåðíîñòè d çíà÷èò, â í¼ì |k1 |dýëåìåíòîâ.
Íàø ñëó÷àé: pn = (pk )d , ÷òî è îçíà÷àåò k | n.Îáðàòíîå ñëåäóåò èç ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè (ñòî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà) ïîëåé Ãàëóà.ßñíî, ÷òîFp âñåãäà ïîäïîëå FnpÓïðàæíåíèå(ñëó÷àék = 1).: ïåðå÷èñëèòå âñå ïîäïîëÿ ïîëÿGF 230.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü I. Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà54 / 95Âåêòîðíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏðåäñòàâëåíèå ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ïîëÿ: ðåçþìåÍàèáîëåå óïîòðåáèìû äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãîF = Fp [x]/(a(x)) ∼=deg a(x) = n):ïîëÿâåêòîðíîåñòåïåííîåFnp(ïîëèíîìa(x)íåïðèâîäèì,F çàïèñûâàåòñÿo1, x1 , x2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
