Лекции по прикладной алгебре. v1.0 (1127110), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . , xn−1 }.Öèêëè÷åñêèé ñäâèã êîîðäèíàò â ýòîì áàçèñå ðàâíîñèëåíóìíîæåíèþ íà x:(a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 ) · x == (a0 x + a1 x2 + . . . + an−1 xn ) == (an−1 + a0 x + a1 x2 + . . . + an−2 xn−1 ).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà84 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÏîäïðîñòðàíñòâîÒåîðåìàFp /(xn − 1)Ïîäïðîñòðàíñòâî I ⊆ Fp /(xn − 1) ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì i I èäåàë â Fp /(xn − 1).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà84 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÏîäïðîñòðàíñòâîFp /(xn − 1)ÒåîðåìàÏîäïðîñòðàíñòâî I ⊆ Fp /(xn − 1) ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì i I èäåàë â Fp /(xn − 1).ÄîêàçàòåëüñòâîÅñëè ïîäïðîñòðàíñòâî I èäåàë, òî îíî çàìêíóòîîòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íà x, à ýòî óìíîæåíèå è åñòüöèêëè÷åñêèé ñäâèã.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà84 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÏîäïðîñòðàíñòâîFp /(xn − 1)ÒåîðåìàÏîäïðîñòðàíñòâî I ⊆ Fp /(xn − 1) ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì i I èäåàë â Fp /(xn − 1).ÄîêàçàòåëüñòâîÅñëè ïîäïðîñòðàíñòâî I èäåàë, òî îíî çàìêíóòîîòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íà x, à ýòî óìíîæåíèå è åñòüöèêëè÷åñêèé ñäâèã.Ïóñòü I öèêëè÷åñêîå ïîäïðîñòðàíñòâî I è g ∈ I .Òîãäà g · x, g · x2 , .
. . öèêëè÷åñêèå ñäâèãè, ò.å. òàêæåïðèíàäëåæàò I .Çíà÷èò, g · f ∈ I äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f . Ïîýòîìó I èäåàë.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà85 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÐàçëîæåíèå xn − 1 íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëèÐàçëîæèì ìíîãî÷ëåí xn − 1 íà íåïðèâîäèìûå íàäìíîæèòåëè:Fpxn − 1 = f1a1 (x) · f a2 (x) · . . . · fsas (x).Ïî êèòàéñêîé òåîðåìå îá îñòàòêàõ êîëüöî êëàññîâ âû÷åòîâ ïîìîäóëþ ìíîãî÷ëåíà xn − 1 èçîìîðôíî ïðÿìîé ñóììå êîëåöêëàññîâ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ìíîãî÷ëåíîâ fiai (x):Fp [x]/(xn − 1)∼= f1a1 (x) ⊕ f a2 (x) ⊕ .
. . ⊕ fsas (x).Èíîãäà òàêîå ðàçëîæåíèå îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà86 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÏðèìèòèâíûå êîðíèËþáîé ìíîãî÷ëåí èç Fp [x] ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëèâ ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p.Áóäåì ðàçëàãàòü â ïîëåFq õàðàêòåðèñòèêè p ìíîãî÷ëåí xn − 1. Fq âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî xkp − 1 = (xk − 1)p , ïîýòîìóèíòåðåñåí ñëó÷àé, êîãäà n âçàèìíî ïðîñòî ñ p: òîãäà ó ìíîãî÷ëåíàxn − 1 êðàòíûõ êîðíåé íåò (îí âçàèìíî ïðîñò ñî ñâîåéïðîèçâîäíîé nxn−1 ).Ðàâåíñòâî xn = 1 îçíà÷àåò, ÷òî ïîðÿäîê ýëåìåíòà xâ ìóëüòèïëèêàòèâíîé (öèêëè÷íîé!) ãðóïïå F∗q äåëèò n.∴ êîðíè óðàâíåíèÿ xn − 1 = 0 îáðàçóþò ïîäãðóïïó â F∗q(ãðóïïà êîðíåé èç åäèíèöû ñòåïåíè n), è ýòà ïîäãðóïïà òàêæåöèêëè÷åñêàÿ; å¼ ïîðîæäàþùèå ýëåìåíòû íàçûâàþòñÿïðèìèòèâíûìè êîðíÿìè ñòåïåíè n.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÊîëè÷åñòâî è ñòåïåíè íåïðèâîäèìûõ äåëèòåëåé xn − 1Ïîäãðóïïà ïîðÿäêà n â öèêëè÷åñêîé ãðóïïå ñóùåñòâóåò òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà n äåëèò ïîðÿäîê öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ⇒íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ïîëå Fq ñîäåðæèòãðóïïó êîðíåé èç åäèíèöû ñòåïåíè n: n äîëæíî áûòüäåëèòåëåì q − 1.×òîáû âåðíóòüñÿ îò ðàçëîæåíèÿ xn − 1 íà ëèíåéíûåìíîæèòåëè â ïîëå Fq ê ðàçëîæåíèþ íà íåïðèâîäèìûåìíîæèòåëè â ïîëå Fp , íóæíî ïîíÿòü, êàêèå êîðíè èç åäèíèöûáóäóò âõîäèòü â íåïðèâîäèìûé äåëèòåëü f (x).Áûëî óñòàíîâëåíî: åñëè óðàâíåíèå f (x) = 0 èìååò êîðåíü β , òî2è β p , β p è ò.ä.
òàêæå áóäóò êîðíÿìè f (x).∴ êîëè÷åñòâî è ñòåïåíè íåïðèâîäèìûõ äåëèòåëåé xn − 1ìîæíî íàéòè, ðàçáèâ âû÷åòû ïî ìîäóëþ n íà îðáèòûîòîáðàæåíèÿ t 7→ pt mod n.87 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà88 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÐàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà x15 − 1 íàä ïîëåìF2ÏðèìåðÐàññìîòðèì åù¼ ðàç ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà x15 − 1 íàäF2 . Îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íà 2 âû÷åòû ïî ìîäóëþ 15ðàçáèâàþòñÿ íà òàêèå îðáèòû:{ 0 }, { 1, 2, 4, 8 }, { 3, 6, 12, 9 }, { 5, 10 }, { 7, 14, 13, 11 }(1 · 2 = 2, 2 · 2 = 4, 4 · 2 = 8, 8 · 2 = 16 ≡15 = 1 è ò.ä.).Ïîýòîìó x15 − 1 ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå îäíîãîíåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè 1, îäíîãî íåïðèâîäèìîãîìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè 2 è òðåõ íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâñòåïåíè 4 (ðàçëîæåíèå áûëî ðàíüøå):x15 + 1 == (x+1)(x2 +x+1)(x4 +x+1)(x4 +x3 +1)(x4 +x3 +x2 +x+1).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà89 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÐàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà x23 − 1 íàä ïîëåìF2ÏðèìåðÐàññìîòðèì ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà x23 − 1 íàäÎòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íà 2 âû÷åòû ïî ìîäóëþðàçáèâàþòñÿ íà òðè îðáèòû:F2 .23{ 0 }, { 1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12 },{ 5, 10, 20, 17, 11, 22, 21, 19, 15, 7, 14 }(18 · 2 = 36 ≡23 13)Ïîýòîìó x23 − 1 ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå îäíîãîíåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè 1 è äâóõ íåïðèâîäèìûõìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè 11.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÐàçäåë I1Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà - IÏîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåì2Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà - IIÑóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ Ãàëóà èç pnýëåìåíòîâÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÇàäà÷è3Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêèÎñíîâíàÿ çàäà÷à òåîðèè êîäèðîâàíèÿÖèêëè÷åñêèå êîäû90 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÐàçäåë IIÊîäû Á×Õ4Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ ÏîéàÄåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâåÏðèìåíåíèå ëåììû Áåðíñàéäà äëÿ ðåøåíèÿêîìáèíàòîðíûõ çàäà÷5×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎïåðàöèè íàä ÷.ó.
ìíîæåñòâàìèËèíåàðèçàöèÿ6Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêèÐåø¼òêè91 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà92 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÐåøèòü óðàâíåíèå 4x = 1 â ïîëåÐåøåíèåZ/(101).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà92 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÐåøèòü óðàâíåíèå 4x = 1 â ïîëåZ/(101).Ðåøåíèå14x = k · 101 + 1 = 102, 203, 304, . .
. ;x = 304/4 = 76.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà92 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÐåøèòü óðàâíåíèå 4x = 1 â ïîëåZ/(101).Ðåøåíèå124x = k · 101 + 1 = 102, 203, 304, . . . ; x = 304/4 = 76.Ìîæíî ðåøàòü óðàâíåíèå 4x + 101y = 1 â öåëûõ ÷èñëàõðàñøèðåííûì àëãîðèòìîì Åâêëèäà.Ðåøåíèå: 4 · 76 + 101 · (−3) = 1.Ðàñøèðåííûé àëãîðèòì Åâêëèäà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿóðàâíåíèéax + by = ÍÎÄ(a, b)è ñèñòåì òàêèõ óðàâíåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà92 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÐåøèòü óðàâíåíèå 4x = 1 â ïîëåZ/(101).Ðåøåíèå124x = k · 101 + 1 = 102, 203, 304, . . . ; x = 304/4 = 76.Ìîæíî ðåøàòü óðàâíåíèå 4x + 101y = 1 â öåëûõ ÷èñëàõðàñøèðåííûì àëãîðèòìîì Åâêëèäà.Ðåøåíèå: 4 · 76 + 101 · (−3) = 1.Ðàñøèðåííûé àëãîðèòì Åâêëèäà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿóðàâíåíèéax + by = ÍÎÄ(a, b)è ñèñòåì òàêèõ óðàâíåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ.Çàìå÷àíèåx = −126 òîæå ðåøåíèå: 4 · (−126) = −504 ≡101 1...Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷à (Òåîðåìà Âèëüñîíà)Äîêàçàòü, ÷òî (p − 1)! ≡p −1 äëÿ ïðîñòîãî p.93 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà93 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷à (Òåîðåìà Âèëüñîíà)Äîêàçàòü, ÷òî (p − 1)! ≡p −1 äëÿ ïðîñòîãî p.Ðåøåíèåp = 2: óòâåðæäåíèå òðèâèàëüíî.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷à (Òåîðåìà Âèëüñîíà)Äîêàçàòü, ÷òî (p − 1)! ≡p −1 äëÿ ïðîñòîãî p.Ðåøåíèåp = 2: óòâåðæäåíèå òðèâèàëüíî.p > 2: Ýëåìåíòû Fp ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿxp−1 − 1 = 0 è äðóãèõ êîðíåé ó ýòîãî óðàâíåíèÿ íåò(ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè p − 1 èìååò íå áîëüøå p − 1êîðíÿ).Ïî òåîðåìå Âèåòà èõ ïðîèçâåäåíèå ðàâíîñâîáîäíîìó ÷ëåíó -1.93 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÍàéòè x ≡17 12006 + 22006 + .
. . + 162006 .94 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà94 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÍàéòè x ≡17 12006 + 22006 + . . . + 162006 .ÐåøåíèåF∗17= { 1, 2, . . . , 16 } = h3i:= 1, 32 = 9, 33 = 27 ≡17 10, 30 ≡17 13, 39 ≡17 5...;G = { 12006 , 22006 , . . . , 162006 } öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïàïîðÿäêà k ãðóïïû F∗17 .31Ýëåìåíòû G êîðíè óðàâíåíèÿxk − 1 = 0(∗)Èõ ñóììà ïî òåîðåìå Âèåòà åñòü êîýôôèöèåíò ïðè xk−1 â(∗), ò.å.
0.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÏðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà f 6= 0 íàä ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè pòîæäåñòâåííî ðàâíà 0.Äîêàçàòü, ÷òî ýòîò ìíîãî÷ëåí ïðèâîäèìûé.95 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÏðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà f 6= 0 íàä ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè pòîæäåñòâåííî ðàâíà 0.Äîêàçàòü, ÷òî ýòîò ìíîãî÷ëåí ïðèâîäèìûé.Ðåøåíèåïðîèçâîäíàÿ ìîíîìà (xn )0 = nxn−1 òîæäåñòâåííî ðàâíà 0i p | n;f 0 = 0 ⇒ ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé âñåõ ìîíîìîâ ìíîãî÷ëåíàf äåëÿòñÿ íà p;ïîýòîìó f (x) = g(xp ) = g p (x).95 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà96 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÄîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ f :ïðåäñòàâëåíà ìíîãî÷ëåíîì.Fnp→Fnpìîæåò áûòüÏðèêëàäíàÿ àëãåáðà96 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÄîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ f :ïðåäñòàâëåíà ìíîãî÷ëåíîì.Fnp→Fnpìîæåò áûòüÐåøåíèåÌîæíî, íàïðèìåð, èñïîëüçîâàòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåíËàãðàíæà:QXb∈Fn r{a} (x − b)f (a) Q p.f (x) =r{a} (a − b)b∈Fnpα∈FnpÏðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÌíîãî÷ëåí x5 + x3 + x2 + 1 ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûåìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2.97 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà97 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÌíîãî÷ëåí x5 + x3 + x2 + 1 ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûåìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2.Ðåøåíèå1f (x) = x5 + x3 + x2 + 1, f (1) = 0 ⇒ 1 êîðåíü f .2Äåëèì f íà x = 1, ïîëó÷àåì x4 + x3 + x + 1 = f1 (x).3f1 (1) = 0 ⇒ 1 êîðåíü f1 ;4f2 (1) = 0 ⇒ 1 êîðåíü f2 ;5Ìíîãî÷ëåí x2 + x + 1 íåïðèâîäèì.f1x+1f2x+1= x3 + 1 = f2 (x).= x2 + x + 1 .Îòâåò: x5 + x3 + x2 + 1 = (x + 1)3 (x2 + x + 1).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÌíîãî÷ëåí f = x3 + 2x2 + 4x + 1 ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûåìíîæèòåëè íàä ïîëåì F5 .98 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà98 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÌíîãî÷ëåí f = x3 + 2x2 + 4x + 1 ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûåìíîæèòåëè íàä ïîëåì F5 .Ðåøåíèå1f (2) = 23 + 2 · 22 + 4 · 22 + 1 = 25 ≡5 0, (x − 2) ≡5 (x + 3).2x3 + 2x2 + 4x + 1x+3x3 + 3x2x2 + 4x + 24x2 + 4x4x2 + 2x2x + 12x + 103Ìíîãî÷ëåí f1 = x2 + 4x + 2 íåïðèâîäèì âF5 .Îòâåò: x3 + 2x2 + 4x + 1 = (x + 3)(x2 + 4x + 2).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÌíîãî÷ëåí f (x) = x4 + x3 + x + 2 ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûåìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 3.99 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà99 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÌíîãî÷ëåí f (x) = x4 + x3 + x + 2 ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûåìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 3.Ðåøåíèå10, 1, 2 íå êîðíè f (x)ñîäåðæèò.2Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä⇒f (x) ëèíåéíûõ äåëèòåëåé íåF3 ñòåïåíè 2:x2 + 1,x2 + x + 2,x2 + 2x + 2.3Ïîäáîðîì ïîëó÷àåì: f (x) = (x2 + 1)(x2 + x + 2).Îòâåò: (x2 + 1)(x2 + x + 2).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÌíîãî÷ëåí x4 + 3x3 + 2x2 + x + 4 ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûåìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 5.100 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÌíîãî÷ëåí x4 + 3x3 + 2x2 + x + 4 ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûåìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 5.Ðåøåíèå12Óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìíîãî÷ëåí f (x) = x4 + 3x3 + 2x2 + x + 4íå èìååò ëèíåéíûõ äåëèòåëåé.Ïåðåáèðàÿ íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè 2 íàä F5 ,ïîëó÷àåìf (x) = (x2 + x + 1)(x2 + 2x + 4).100 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÐàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïîìîäóëþ 2 âñå íîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíû âòîðîé ñòåïåíè îò x.101 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà101 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÐàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïîìîäóëþ 2 âñå íîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíû âòîðîé ñòåïåíè îò x.Ðåøåíèåf1 = x2 = x · x,f2 = x2 + 1 = (x + 1)2 ,f3 = x2 + x = x · (x + 1),f4 = x2 + x + 1 íåïðèâîäèì.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÐàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ äî ìîäóëþ2 âñå íîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíû òðåòüåé ñòåïåíè îò x.102 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà102 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÐàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè íàä ïîëåì âû÷åòîâ äî ìîäóëþ2 âñå íîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíû òðåòüåé ñòåïåíè îò x.Ðåøåíèåf1 = x3 ,f2 = x3 + 1 = (x + 1)(x2 + x + 1),f3 = x3 + x = x(x + 1)2 ,f4 = x3 + x2 = x2 (x + 1),f5 = x3 + x + 1 íåïðèâîäèì,f6 = x3 + x2 + 1 íåïðèâîäèì,f7 = x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1),f8 = x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)3 .Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÍàéòè âñå íîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíû âòîðîé ñòåïåíè îò x,íåïðèâîäèìûå íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 3.103 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà103 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÍàéòè âñå íîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíû âòîðîé ñòåïåíè îò x,íåïðèâîäèìûå íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 3.ÐåøåíèåÄîëæíî áûòü: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.f1 = x2 + 1,f2 = x2 + x + 2,f3 = x2 + 2x + 2.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÍàéòè âñå íîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíû òðåòüåé ñòåïåíè îò x,íåïðèâîäèìûå íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 3.104 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà104 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷àÍàéòè âñå íîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíû òðåòüåé ñòåïåíè îò x,íåïðèâîäèìûå íàä ïîëåì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 3.ÐåøåíèåÄîëæíî áûòü: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.f1 = x3 + 2x + 1,f2 = x3 + 2x + 2,f3 = x3 + x2 + 2,f4 = x3 + 2x2 + 1,f5 = x3 + x2 + x + 2,f6 = x3 + x2 + 2x + 1,f7 = x3 + 2x2 + x + 1,f8 = x3 + 2x2 + 2x + 2.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷à12Ïðîâåðèòü, ÷òî F = F7 [x]/(x2 + x − 1) ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.Âûðàçèòü îáðàòíûé ê 1 − x â F â áàçèñå { 1, x }.105 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà105 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IIÇàäà÷èÇàäà÷à12Ïðîâåðèòü, ÷òî F = F7 [x]/(x2 + x − 1) ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.Âûðàçèòü îáðàòíûé ê 1 − x â F â áàçèñå { 1, x }.Ðåøåíèå1f (x) = x2 + x − 1, f (0) = 6, f (1) = 1, f (2) = 5, f (3) = 4,f (4) = 6, f (5) = 1, f (6) = 6 ⇒ìíîãî÷ëåí f (x) íåïðèâîäèì â F7 è F ïîëå (= F27 ).2F27= { ax + b | a, b ∈ F7 , x2 = 1 − x = 6x + 1 }(ax + b) · (6x + 1) = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
