Лекции по прикладной алгебре. v1.0 (1127110), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . , xn−1 îáðàçóþò áàçèñFnp .Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà36 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÁàçèñ âFnpÒåîðåìàÝëåìåíòû 1, x, . . . , xn−1 îáðàçóþò áàçèñFnp .ÄîêàçàòåëüñòâîËþáîé îñòàòîê ïðåäñòàâèì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèèóêàçàííûõ âåêòîðîâ:a0 + a1 x + . . .
+ an−1 xn−1 = a0 1 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 .a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 = a0 1 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 .È îáðàòíî, ïóñòü b0 1 + b1 x + . . . + bn−1 xn−1 = 0.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí g = b0 +b1 x+. . .+bn−1 xn−1 äåëèòñÿíà ìíîãî÷ëåí n-é ñòåïåíè f (x). Ïîñêîëüêó ïðè óìíîæåíèèìíîãî÷ëåíîâ èõ ñòåïåíè ñêëàäûâàþòñÿ, ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðèg = 0.∴ ñèñòåìà 1, x, . . . , xn−1 ëèíåéíî íåçàâèñèìà.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà37 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐàñøèðåíèå ïîëÿRÇàìå÷àíèåÏîñòðîåíèå ïîëÿ ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ íåêîòîðîãîíåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà è àíàëîãè äîêàçàííûõ òåîðåìñïðàâåäëèâû íå òîëüêî â ñëó÷àå êîíå÷íûõ ïîëåé.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà37 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐàñøèðåíèå ïîëÿRÇàìå÷àíèåÏîñòðîåíèå ïîëÿ ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ íåêîòîðîãîíåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà è àíàëîãè äîêàçàííûõ òåîðåìñïðàâåäëèâû íå òîëüêî â ñëó÷àå êîíå÷íûõ ïîëåé.Íàïðèìåð,ðàññìîòðèì ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë Rìíîãî÷ëåíîâ R[x];âîçüì¼ì íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí x2 + 1 ∈ R[x];ïîñòðîèì ïîëå êàê ôàêòîðêîëüöî R[x]/(x2 + 1).èêîëüöîÏðèêëàäíàÿ àëãåáðà37 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐàñøèðåíèå ïîëÿRÇàìå÷àíèåÏîñòðîåíèå ïîëÿ ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ íåêîòîðîãîíåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà è àíàëîãè äîêàçàííûõ òåîðåìñïðàâåäëèâû íå òîëüêî â ñëó÷àå êîíå÷íûõ ïîëåé.Íàïðèìåð,ðàññìîòðèì ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë Rìíîãî÷ëåíîâ R[x];âîçüì¼ì íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí x2 + 1 ∈ R[x];ïîñòðîèì ïîëå êàê ôàêòîðêîëüöî R[x]/(x2 + 1).èêîëüöîÏîëó÷èëîñü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R, åãî áàçèñ 1, x èêàæäûé ýëåìåíò ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå a1 + bx.Ïîëó÷åííîå ïîëå èçîìîðôíî ïîëþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë C:èçîìîðôèçì çàäà¼òñÿ ñîîòâåòñòâèåì1 7→ 1,x 7→ i .Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà38 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏîäïîëÿFnpËåììàÅñëè ïîëåFnp ñîäåðæèò ïîäïîëå Fkp , òî k | n.ÄîêàçàòåëüñòâîÅñëè ïîëå k1 ñîäåðæèòñÿ â ïîëå k1 ⊂ k2 , òî ýëåìåíòû k2ìîæíî óìíîæàòü íà ýëåìåíòû èç k1 , à ðåçóëüòàòû ñêëàäûâàòü.Ïîýòîìó ïîëå k2 ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåìk1 ðàçìåðíîñòè d.
Çíà÷èò, â íåì |k1 |d ýëåìåíòîâ. Òàêèì îáðàçîìpn = (pk )d , ÷òî è îçíà÷àåò äåëèìîñòü n íà k .Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐàçäåë I1Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà - IÏîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåì2Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà - IIÑóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ Ãàëóà èç pnýëåìåíòîâÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÇàäà÷è3Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêèÎñíîâíàÿ çàäà÷à òåîðèè êîäèðîâàíèÿÖèêëè÷åñêèå êîäû39 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐàçäåë IIÊîäû Á×Õ4Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ ÏîéàÄåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâåÏðèìåíåíèå ëåììû Áåðíñàéäà äëÿ ðåøåíèÿêîìáèíàòîðíûõ çàäà÷5×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎïåðàöèè íàä ÷.ó.
ìíîæåñòâàìèËèíåàðèçàöèÿ6Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêèÐåø¼òêè40 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåíÐàññìîòðèì ïîëå Fnp , à â í¼ì êàêîé-íèáóäü ýëåìåíò β èáóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ ìíîãî÷ëåíàìè, äëÿ êîòîðûõ ýòîò ýëåìåíòÿâëÿåòñÿ êîðíåì.ÎïðåäåëåíèåÌíîãî÷ëåí m(x) íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé ôóíêöèåé (èëèìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì, ì.ì.) äëÿ β , åñëè m(x) íîðìèðîâàííûé ìíîãî÷ëåí (ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 1)ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè, äëÿ êîòîðîãî β ÿâëÿåòñÿ êîðíåì.Äðóãèìè ñëîâàìè, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ òðè ñâîéñòâà:123m(β) = 0;deg f (x) < deg m(x) ⇒ f (β) 6= 0;êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè â m(x) ðàâåí 1.41 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû: ïðèìåð ïîñòðîåíèÿÐàññìîòðèì Fnp = Fp [x]/(a(x)), ãäåa(x) = a0 + a1 x + .
. . + an xn íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí.Òîãäà äëÿ êëàññà âû÷åòîâ x ∈ Fnp ìíîãî÷ëåí a−1n a(x) ìèíèìàëüíûé.42 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà42 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû: ïðèìåð ïîñòðîåíèÿÐàññìîòðèì Fnp = Fp [x]/(a(x)), ãäåa(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí.Òîãäà äëÿ êëàññà âû÷åòîâ x ∈ Fnp ìíîãî÷ëåí a−1n a(x) ìèíèìàëüíûé.1a0 1+a1 x+. . .+an xn = a0 + a1 x + . . . + an xn = 0 ò.å.
x êîðåíü a(x), íî òîãäà x ÿâëÿåòñÿ êîðíåì è a−1n a(x).2Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí b0 + b1 x + . . . +bn−1 xn−1 , äëÿ êîòîðîãîb0 1+b1 x+. . .+bn−1 xn−1 = b0 1+b1 x+. . .+bn−1 xn−1 = 0.Ýòî ðàâåíñòâî çàäàåò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó êëàññàìè1, x, . . . , xn−1 , êîòîðûå îáðàçóþò áàçèñ ïîëÿ êàê âåêòîðíîãîïðîñòðàíñòâà íàä Fp .Ïîýòîìó b0 = b1 = .
. . = bn−1 = 0.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑâîéñòâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâÓòâåðæäåíèåÌèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû íåïðèâîäèìû.43 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑâîéñòâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâÓòâåðæäåíèåÌèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû íåïðèâîäèìû.ÄîêàçàòåëüñòâîÏóñòü m(x) ì.ì. è m(x) = m1 (x)m2 (x).Èìååìm1 (β) = 0m(β) = 0 ⇒.m2 (β) = 0Íî deg m1 < m(x) è deg m2 < m(x), ÷òî ïðîòèâîðå÷èòìèíèìàëüíîñòè m(x).43 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑâîéñòâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ...ÓòâåðæäåíèåÏóñòü m(x) ì.ì.
äëÿ β , è f (β) = 0. Òîãäà f (x) äåëèòñÿ íà m(x).44 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà44 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑâîéñòâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ...ÓòâåðæäåíèåÏóñòü m(x) ì.ì. äëÿ β , è f (β) = 0. Òîãäà f (x) äåëèòñÿ íà m(x).ÄîêàçàòåëüñòâîÐàçäåëèì f (x) íà m(x) ñ îñòàòêîì:f (x) = u(x)m(x) + v(x) ,deg v < deg m .Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî ðàâåíñòâî β , ïîëó÷àåì0 = f (β) = u(β)m(β) + v(β) = v(β) ,ò.å. β êîðåíü v(x), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìèíèìàëüíîñòè m(x).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑâîéñòâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ...ÑëåäñòâèåÄëÿ êàæäîãî β åñòü ðîâíî îäíà ìèíèìàëüíàÿ ôóíêöèÿ.45 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑâîéñòâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ...ÑëåäñòâèåÄëÿ êàæäîãî β åñòü ðîâíî îäíà ìèíèìàëüíàÿ ôóíêöèÿ.ÄîêàçàòåëüñòâîÄåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ìèíèìàëüíûõ ôóíêöèé äâå.Îíè âçàèìíî äåëÿò äðóã äðóãà, à çíà÷èò, ðàçëè÷àþòñÿ íàîáðàòèìûé ìíîæèòåëü (êîíñòàíòó).Ïîñêîëüêó ìèíèìàëüíàÿ ôóíêöèÿ íîðìèðîâàíà, ýòà êîíñòàíòàðàâíà 1, ò.
å. ôóíêöèè ñîâïàäàþò.45 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑâîéñòâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ...ÓòâåðæäåíèåÄëÿ êàæäîãî β ∈ Fp ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ôóíêöèÿ è ååñòåïåíü íå ïðåâîñõîäèò n.46 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà46 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÑâîéñòâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ...ÓòâåðæäåíèåÄëÿ êàæäîãî β ∈ Fp ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ôóíêöèÿ è ååñòåïåíü íå ïðåâîñõîäèò n.ÄîêàçàòåëüñòâîÐàññìîòðèì ñëåäóþùèå ýëåìåíòû ïîëÿ Fp : 1, β, β 2 , . . . , β n , èõn + 1 øòóêà, à ðàçìåðíîñòü Fnp êàê âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâàíàä Fp ðàâíà n.
Çíà÷èò, ýòè ýëåìåíòû ëèíåéíî çàâèñèìû, ò.å.ñóùåñòâóþò òàêèå êîýôôèöèåíòû c0 , . . . , cn , ÷òîc0 + c1 β + . . . + cn βn = 0 .ò.å. β êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x) = c0 + c1 x + . . . + cn xn .Ìèíèìàëüíîé ôóíêöèåé äëÿ β áóäåò íåêîòîðûé íîðìèðîâàííûéíåïðèâîäèìûé äåëèòåëü f (x).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà47 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì: ñâîéñòâàÒåîðåìàËþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò ïîëÿnxp −1 − 1, ò.å.xpn −1Fnp ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà− 1 = (x − β1 ) · .
. . · (x − βpn −1 ),ãäå { β1 , . . . , βpn −1 } =Fn∗p=Fnp r {0}.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà47 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì: ñâîéñòâàÒåîðåìàËþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò ïîëÿnxp −1 − 1, ò.å.xpn −1Fnp ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà− 1 = (x − β1 ) · . . . · (x − βpn −1 ),ãäå { β1 , . .
. , βpn −1 } =Fn∗p=Fnp r {0}.ÄîêàçàòåëüñòâînFn∗p ãðóïïà ïî óìíîæåíèþ ïîðÿäêà p − 1.n∗Ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà α ∈ Fp (ò.å. ïîðÿäîêöèêëè÷åñêîéïîäãðóïïû hαi) ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû.Ïóñòü deg α = k , òîãäà pn − 1 = kq è αk = 1, ïîýòîìón −1αp− 1 = αkq − 1 = (αk )q − 1 = 1q − 1 = 0.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì: ñâîéñòâà...ÑëåäñòâèåÂñå ýëåìåíòû ïîëÿ Fnp , íå èñêëþ÷àÿ íóëÿ, ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìènìíîãî÷ëåíà xp − x.48 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà48 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì: ñâîéñòâà...ÑëåäñòâèåÂñå ýëåìåíòû ïîëÿ Fnp , íå èñêëþ÷àÿ íóëÿ, ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìènìíîãî÷ëåíà xp − x.ÄîêàçàòåëüñòâîÂûíåñåì x çà ñêîáêó:nxp − x = x xpn −1−1 .Ó ïðàâîãî ìíîæèòåëÿ êîðíÿìè áóäóò âñå íåíóëåâûå ýëåìåíòû, àó ëåâîãî 0.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà49 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì: ñâîéñòâà...Òåîðåìà..(xn − 1) ..
(xm − 1) ⇔ n .. m.ÄîêàçàòåëüñòâîÏóñòü n = mk . Ñäåëàåì çàìåíó: xm = y , òîãäà xn − 1 = y k − 1è xm − 1 = y − 1. Äåëèìîñòü î÷åâèäíà, ïîñêîëüêó 1 ÿâëÿåòñÿêîðíåì y k − 1..Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n 6 ..m, ò.å. n = km + r, 0 < r < m, òîãäàxn − 1 =xr (xmk − 1)(xm − 1)+ xr − 1 =xm − 1xr (xmk − 1) m=(x − 1) + xr − 1 .xm − 1Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì: ñâîéñòâà...Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå çàäàåò ðåçóëüòàò äåëåíèÿ xn − 1 íà xm − 1ñ îñòàòêîì, ïîñêîëüêó xmk −1 äåëèòñÿ íà xm −1 ïî äîêàçàííîìóâûøå.Îñòàòîê xr − 1 6= 0 â ñèëó ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé.∴ xn − 1 íå äåëèòñÿ íà xm − 1.50 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà50 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì: ñâîéñòâà...Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå çàäàåò ðåçóëüòàò äåëåíèÿ xn − 1 íà xm − 1ñ îñòàòêîì, ïîñêîëüêó xmk −1 äåëèòñÿ íà xm −1 ïî äîêàçàííîìóâûøå.Îñòàòîê xr − 1 6= 0 â ñèëó ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé.∴ xn − 1 íå äåëèòñÿ íà xm − 1.Ýòà òåîðåìà äàåò íàì âîçìîæíîñòü ðàñêëàäûâàòü ìíîãî÷ëåíûxn − 1 ïðè ñîñòàâíûõ n.Íàïðèìåð, ðàçëîæèì x15 + 1 â ïîëå õàðàêòåðèñòèêå 2 (ãäå+1 = −1):x15 + 1 = (x3 + 1)(x12 + x9 + x6 + x3 + 1) ,(3 | 15).Ïðîäîëæèòü ýòî ðàçëîæåíèå ïîìîãàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà51 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì...ÒåîðåìàÂñå íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû n-é ñòåïåíè íàänäåëèòåëÿìè xp − x.FpÿâëÿþòñÿÏðèêëàäíàÿ àëãåáðà51 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåìÌíîãî÷ëåíû íàä êîíå÷íûì ïîëåì...ÒåîðåìàÂñå íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû n-é ñòåïåíè íàänäåëèòåëÿìè xp − x.ÄîêàçàòåëüñòâîFpÿâëÿþòñÿÅñëè n = 1, òî íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî x − a | xp − x, ãäå a ∈ Fp .Ýòî î÷åâèäíî ïðè a = 0, à â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ äîêàçàíî, ÷òîa êîðåíü ìíîãî÷ëåíà xp−1 − 1.Ïðè n > 1 ñòðîèì ïî íåïðèâîäèìîìó ìíîãî÷ëåíó f (x) ñòåïåíèn ïîëå Fnp .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
