Лекции по прикладной алгебре. v1.0 (1127110), страница 3
Текст из файла (страница 3)
èìååòñÿ 4 âàðèàíòà, êîòîðûå äàþò 3 ðåøåíèÿ:a0011b0101c1001ìíîãî÷ëåíx4 + x + 1x4 + x2 + 1x4 + x3 + 1x4 + x3 + x2 + x + 1 ïðèâîäèìûéÎòêóäà âçÿëñÿ åù¼ îäèí ïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí?Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà22 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÍåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàäFp ...×åòâ¼ðòàÿ ñòåïåíü: x4 + ax3 + bx2 + cx + 1Èñêëþ÷åíèå äåëèìîñòè íà x + 1 ïðèâîäèò ê óñëîâèþ a + b + c = 1,ò.å.
èìååòñÿ 4 âàðèàíòà, êîòîðûå äàþò 3 ðåøåíèÿ:a0011b0101c1001ìíîãî÷ëåíx4 + x + 1x4 + x2 + 1x4 + x3 + 1x4 + x3 + x2 + x + 1 ïðèâîäèìûéÎòêóäà âçÿëñÿ åù¼ îäèí ïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí? òàáëèöå óêàçàíû ìíîãî÷ëåíû, ó êîòîðûõ íåò äåëèòåëåé ñòåïåíè 1.Íî ìíîãî÷ëåí 4-é ñòåïåíè ìîæåò ðàçëàãàòüñÿ â ïðîèçâåäåíèå äâóõíåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ 2-é ñòåïåíè:x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)2 .Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà23 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÍåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàäÏîëåF3F3= h {0, 1, 2}, +3 , ·3 i ⇒ êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâF3 [x].Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà23 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÍåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàäF3Ïîëå F3 = h {0, 1, 2}, +3 , ·3 i ⇒ êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâÌíîãî÷ëåíû ïîðÿäêà 1:x2xx+12x + 1x+22x + 2Êàêèå èç íèõ íåïðèâîäèìû?F3 [x].Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà23 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÍåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàäF3Ïîëå F3 = h {0, 1, 2}, +3 , ·3 i ⇒ êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâÌíîãî÷ëåíû ïîðÿäêà 1:x2xx+12x + 1x+22x + 2Êàêèå èç íèõ íåïðèâîäèìû? Âñå!F3 [x].Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà23 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÍåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàäF3Ïîëå F3 = h {0, 1, 2}, +3 , ·3 i ⇒ êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâÌíîãî÷ëåíû ïîðÿäêà 1:x2xx+12x + 1x+22x + 2Êàêèå èç íèõ íåïðèâîäèìû? Âñå!Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû ïîðÿäêà 2 âx2 + 1x2 + x + 2x2 + 2x + 2x2 + 2F3 [x]:2x2 + x + 12x2 + 2xF3 [x].Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà24 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÑóùåñòâîâàíèå è íàõîæäåíèå íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâÒåîðåìà (î ñóùåñòâîâàíèè íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ)Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíîãî n è ïðîñòîãî p íàäíåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n.FpñóùåñòâóåòÏðèêëàäíàÿ àëãåáðà24 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÑóùåñòâîâàíèå è íàõîæäåíèå íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâÒåîðåìà (î ñóùåñòâîâàíèè íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ)Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíîãî n è ïðîñòîãî p íàäíåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n.Äîêàçàòåëüñòâî îòëîæèì ïîêà.ÂîïðîñÊàê âFp [x] íàéòè íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí?FpñóùåñòâóåòÏðèêëàäíàÿ àëãåáðà25 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÑóùåñòâîâàíèå è íàõîæäåíèå íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâÒåîðåìà (î ñóùåñòâîâàíèè íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ)Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíîãî n è ïðîñòîãî p íàäíåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n.Äîêàçàòåëüñòâî îòëîæèì ïîêà.ÂîïðîñÊàê âFp [x] íàéòè íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí?Îòâåò: íåò ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ(èç òàáëèö, ïðåáîðîì...)FpñóùåñòâóåòÏðèêëàäíàÿ àëãåáðà26 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÏîñòðîåíèå êîíå÷íûõ ïîëåé ñ èñïîëüçîâàíèåì íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ.1Âûáèðàåì ïðîñòîå p è ôèêñèðóåì ïîëåFp = h{ 0̄, 1̄, .
. . , p − 1}, +mod p , ·modFp [x] ìíîãî÷ëåíîâ íàä íèì.p i.2Îáðàçóåì êîëüöî3Âûáèðàåì íàòóðàëüíîå n è íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí n-éñòåïåíè P (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ Fp [x].4Èäåàë (P (x)) ïîðîæäàåò ôàêòîðìíîæåñòâî Fp [x]/(P (x)),ýëåìåíòû êîòîðîãî ñóòü ñîâîêóïíîñòü {R(x)} îñòàòêîâ îòäåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ f ∈ Fp [x] íà P (x):f (x) = Q(x) · P (x) + R(x) .Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà26 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÏîñòðîåíèå êîíå÷íûõ ïîëåé ñ èñïîëüçîâàíèåì íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ.1Âûáèðàåì ïðîñòîå p è ôèêñèðóåì ïîëåFp = h{ 0̄, 1̄, . . . , p − 1}, +mod p , ·modFp [x] ìíîãî÷ëåíîâ íàä íèì.p i.2Îáðàçóåì êîëüöî3Âûáèðàåì íàòóðàëüíîå n è íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí n-éñòåïåíè P (x) = an xn + .
. . + a1 x + a0 ∈ Fp [x].4Èäåàë (P (x)) ïîðîæäàåò ôàêòîðìíîæåñòâî Fp [x]/(P (x)),ýëåìåíòû êîòîðîãî ñóòü ñîâîêóïíîñòü {R(x)} îñòàòêîâ îòäåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ f ∈ Fp [x] íà P (x):f (x) = Q(x) · P (x) + R(x) .ÓòâåðæäåíèåÌíîæåñòâî {R(x)} ÿâëÿåòñÿ ïîëåì Ãàëóà GF (pn ).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÏîñòðîåíèå êîíå÷íûõ ïîëåé...Äîêàçàòåëüñòâî12êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ Fp [x] åâêëèäîâî, èäåàë (P (x)) ìàêñèìàëüíûé ⇒ {R(x)} ïîëå;|{R(x)}| = ÷èñëî ìíîãî÷ëåíîâ íàä Fp ñòåïåíè íå âûøå n−1,ò.å. |{R(x)}| = pn .27 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà27 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÏîñòðîåíèå êîíå÷íûõ ïîëåé...Äîêàçàòåëüñòâî12êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ Fp [x] åâêëèäîâî, èäåàë (P (x)) ìàêñèìàëüíûé ⇒ {R(x)} ïîëå;|{R(x)}| = ÷èñëî ìíîãî÷ëåíîâ íàä Fp ñòåïåíè íå âûøå n−1,ò.å. |{R(x)}| = pn .Ïîëå Ãàëóà {R(x)} íàçûâàåòñÿðàñøèðåíèåì n-é ñòåïåíè ïîëÿÂîïðîñFp è îáîçíà÷àåòñÿ Fnp .Ïî÷åìó â îáîçíà÷åíèè Fnp íå èñïîëüçóåòñÿ ìíîãî÷ëåí P (x), ñïîìîùüþ êîòîðîãî ïîñòðîåíî ïîëå?Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà27 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÏîñòðîåíèå êîíå÷íûõ ïîëåé...Äîêàçàòåëüñòâî12êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ Fp [x] åâêëèäîâî, èäåàë (P (x)) ìàêñèìàëüíûé ⇒ {R(x)} ïîëå;|{R(x)}| = ÷èñëî ìíîãî÷ëåíîâ íàä Fp ñòåïåíè íå âûøå n−1,ò.å.
|{R(x)}| = pn .Ïîëå Ãàëóà {R(x)} íàçûâàåòñÿðàñøèðåíèåì n-é ñòåïåíè ïîëÿFp è îáîçíà÷àåòñÿ Fnp .ÂîïðîñÏî÷åìó â îáîçíà÷åíèè Fnp íå èñïîëüçóåòñÿ ìíîãî÷ëåí P (x), ñïîìîùüþ êîòîðîãî ïîñòðîåíî ïîëå?ÒåîðåìàËþáîå êîíå÷íîå ïîëå èçîìîðôíî êàêîìó-íèáóäü ïîëþ ÃàëóàFnp .Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà28 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÏðèìåð: ïîñòðîåíèå ïîëÿF23Âûáåðåì íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí âÈñêîìîå ïîëå åñòü F23 ==F3 [x]/(x2 + 1)F3 [x] :x2 + 1 .= { 0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2 }.Ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ â ýòîì ïîëå.Íàïðèìåð (ïðèìåíÿåì îáû÷íûå ïðàâèëà ñ ó÷¼òîì x2 ≡3 2):(x + 1) + (x + 2) = 2x,(2x + 1) + (x) = 1,(x) · (2x) = 1,(2x + 1) · (x) = x + 1.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà29 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÏîñòðîåíèå ïîëÿF23 ...Çàìåòèì, ÷òî(x + 1)1 = x + 1,(x + 1)5 = 2x + 2,(x + 1)2 = 2x,(x + 1)6 = x,(x + 1)3 = 2x + 1,(x + 1)7 = x + 2,(x + 1)4 = 2,(x + 1)8 = 1.Ýòî çíà÷èò, ÷òî α = x + 1 ïðèìèòèâíûé ýëåìåíòìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû F2∗3 .Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà29 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÏîñòðîåíèå ïîëÿF23 ...Çàìåòèì, ÷òî(x + 1)1 = x + 1,(x + 1)5 = 2x + 2,(x + 1)2 = 2x,(x + 1)6 = x,(x + 1)3 = 2x + 1,(x + 1)7 = x + 2,(x + 1)4 = 2,(x + 1)8 = 1.Ýòî çíà÷èò, ÷òî α = x + 1 ïðèìèòèâíûé ýëåìåíòìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû F2∗3 .Âîïðîñ×òî áóäåò, åñëè ïðè ïîñòðîåíèè ïîëÿ âìåñòî x2 + 1 âçÿòü äðóãîéíåïðèâîäèìûé â F3 [x] ìíîãî÷ëåí? Íàïðèìåð, 2x2 + x + 1?Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà29 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàÏîñòðîåíèå ïîëÿF23 ...Çàìåòèì, ÷òî(x + 1)1 = x + 1,(x + 1)5 = 2x + 2,(x + 1)2 = 2x,(x + 1)6 = x,(x + 1)3 = 2x + 1,(x + 1)7 = x + 2,(x + 1)4 = 2,(x + 1)8 = 1.Ýòî çíà÷èò, ÷òî α = x + 1 ïðèìèòèâíûé ýëåìåíòìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû F2∗3 .Âîïðîñ×òî áóäåò, åñëè ïðè ïîñòðîåíèè ïîëÿ âìåñòî x2 + 1 âçÿòü äðóãîéíåïðèâîäèìûé â F3 [x] ìíîãî÷ëåí? Íàïðèìåð, 2x2 + x + 1?Îòâåò: ïîëó÷èòñÿ ïîëå, èçîìîðôíîå ïîñòðîåííîìó.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐàçäåë I1Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà - IÏîëÿ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëàÏîñòðîåíèå ïîëåé ÃàëóàËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä êîíå÷íûì ïîëåì2Êîíå÷íûå ïîëÿ èëè ïîëÿ Ãàëóà - IIÑóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ Ãàëóà èç pnýëåìåíòîâÖèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàÇàäà÷è3Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêèÎñíîâíàÿ çàäà÷à òåîðèè êîäèðîâàíèÿÖèêëè÷åñêèå êîäû30 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÐàçäåë IIÊîäû Á×Õ4Òåîðèÿ ïåðå÷èñëåíèÿ ÏîéàÄåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâåÏðèìåíåíèå ëåììû Áåðíñàéäà äëÿ ðåøåíèÿêîìáèíàòîðíûõ çàäà÷5×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎïåðàöèè íàä ÷.ó.
ìíîæåñòâàìèËèíåàðèçàöèÿ6Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêèÐåø¼òêè31 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà32 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÂåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî: îïðåäåëåíèåÎïðåäåëåíèåÀáñòðàêòíûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì k = {α, . . .}íàçûâàåòñÿ äâóõîñíîâíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà V = h V, k; +, · i, ãäåV = {0, v, . . .} ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî,++ áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ íàä V : V × V → V ,· áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ýëåìåíòà (¾÷èñëà¿) èç k íà·ýëåìåíò (¾âåêòîð¿) èç V : k × V → V ,ïðè÷¼ì îïåðàöèè + è · óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì àêñèîìàì:L1: V êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà ïî ñëîæåíèþ, 0 å¼íåéòðàëüíûé ýëåìåíò.L2: α · (v1 + v2 ) = α · v1 + α · v2 , (α1 + α2 ) · v = α1 · v + α2 · v ,(äèñòðèáóòèâíîñòü · îòíîñèòåëüíî +),L3: α · (β · v) = (αβ) · v (êîìïîçèöèÿ óìíîæåíèé íà äâàýëåìåíòà ïîëÿ ñîâïàäàåò ñ óìíîæåíèåì èõ ïðîèçâåäåíèå,¾àññîöèàòèâíîñòü¿ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ ïîëÿ è ·),L4: 1 · v = v (óíèòàëüíîñòü).Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðàÏîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÊîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâîÏðèìåðÏóñòü V = kn ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äëèíû n,ñîñòàâëåííûõ èç ýëåìåíòîâ ïîëÿ k.
Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëîîïðåäåëÿþòñÿ ïîêîìïîíåíòíî.Ïîëó÷èâøàÿñÿ ñòðóêòóðà âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî.Åãî íàçûâàþò n-ìåðíûì êîîðäèíàòíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì k.33 / 225Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà34 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìËåììàÏîëå k õàðàêòåðèñòèêè p > 0 åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàäFp .Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà34 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìËåììàÏîëå k õàðàêòåðèñòèêè p > 0 åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàäFp .Äîêàçàòåëüñòâîñëîæåíèå íàñëåäóåòñÿ îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ â ïîëå k;óìíîæåíèå ïîäìíîæåñòâîF = {0, 1, 1 + 1, . . .
, 1| + .{z. . + 1}} ⊆ kp−1åñòü ïîäïîëå, èçîìîðôíîå Fp , ÷òî ïîçâîëÿåò çàìåíÿòüïðè óìíîæåíèè ¾÷èñëà¿ èç Fp íà ñîîòâåòñòâóþùèåýëåìåíòû èç F ;àêñèîìû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà âûïîëíÿþòñÿ â ñèëóñâîéñòâ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé â ïîëå k.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà34 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìËåììàÏîëå k õàðàêòåðèñòèêè p > 0 åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàäFp .Äîêàçàòåëüñòâîñëîæåíèå íàñëåäóåòñÿ îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ â ïîëå k;óìíîæåíèå ïîäìíîæåñòâîF = {0, 1, 1 + 1, .
. . , 1| + .{z. . + 1}} ⊆ kp−1åñòü ïîäïîëå, èçîìîðôíîå Fp , ÷òî ïîçâîëÿåò çàìåíÿòüïðè óìíîæåíèè ¾÷èñëà¿ èç Fp íà ñîîòâåòñòâóþùèåýëåìåíòû èç F ;àêñèîìû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà âûïîëíÿþòñÿ â ñèëóñâîéñòâ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé â ïîëå k.ÑëåäñòâèåÊîíå÷íîå ïîëå (êàê âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî) ñîñòîèò èç pnýëåìåíòîâ, p ïðîñòîå, n íàòóðàëüíîå.Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà35 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÏîëÿ Ãàëóà êàê êîëüöà âû÷åòîâ èëè âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâàÊîíå÷íóþ ÀÑFnp ñ ýëåìåíòàìè-ìíîãî÷ëåíàìèM = { a0 + a1 x + . .
. + an−1 xn−1 } ⊂ Fp [x]ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêôàêòîðêîëüöî âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ íåêîòîðîãî íåïðèâîäèìîãîìíîãî÷ëåíà f (x) ñòåïåíè n íàä ïîëåì Fp :Fnp= h Fp /(f (x)); +p , ·p i ;èëè êàên-ìåðíîå êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåìFnp= h M, Fp ; +p , ·p i .Fp :Ïðèêëàäíàÿ àëãåáðà36 / 225Ïîëÿ Ãàëóà - IËèíåéíàÿ àëãåáðà íàä êîíå÷íûì ïîëåìÁàçèñ âFnpÒåîðåìàÝëåìåíòû 1, x, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
