Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Пусть 0 — овал в плоскости Рб (2, е Мы можем преобразовать координаты на плоскости таким об зом, чтобы точки Ро = (1, О, 0), Рг — (О, 1, 0), Р, == (О, О,': и Р, = (1, 1, 1) были точками овала с). Тогда никакая друг,' точка из сз нс лежит на прямой Р,Р,. Следовательно, д то овала !л, отличных от Ро н Р,, можно представить в виде ( си 1), 1 < ! < д, где йы с; Е !'ч, Так как каждая прямая, п' ходящая через точку Р„, содержит еще только одну точку овала то с; чь с, при ! чь !.
Аналогично так как каждая прямая, пр дящая через точку Р,, также содержит еще только одну то овала )), то й; ~ йз при ! ~ 1'. Таким образом, (с„..., с,! -= (Вм И, следовательно, в силу (7.!) существует перестановочный мне член 7 (х) поля !Г, для которого ) (с;): с(ы 1 -:;, ! -:-, д и бед (7)"' < а. Так как Рн, Рл Е 1), получаем, что ! (0) -= О, !" (1) =;; Значит, 0 — А (7), где )' удовлетворяет условию (1). Остается показать, что условие (1!) эквивалентно тому,;, никакие три точки из множества А (Г) ~(Рь, Р ) не лежат на о прямой. Последнее условие выполняется тогда и только тот когда 1(Ь) Ь 1 ) (с) с 1 Ф 0 ~(й) й 1 для всех различных Ь, с, й Е й" .
Это означает, что !) (Ь) + ) (с) ! (Ь т с) ' Ф !) (Ь) ' ! (й) ! (Ь -ч- с() х. т. е. для любого а ~ 2'ч выражение !1(!) хг ) (а) ! (Г+ а) ' пй, нимает различные значения из 2'," при различных ! нз поля й) отличных от элемента а. Подставляя вместо ! выражение х+, получаем, что многочлен йн (х) == !) (х ~- а) -с у (а) )Гх ы $3. Конечные геоиетрнн 627 задает перестановку элементов из !' »'.
1'ак как дек (к») < ч — 2, о из формулы (7.1) получаем д, (х) = ~, й, (с) (1 — (х — с)»-'). » с 1'» тогда, сравнивая коэффициенты при х» — ' и применяя иа последнем этапе лемму 7.3, получаем 0 =- — лг Ы,(с) =- Ы,(0)+ лг Ы,(с) = у„(О)+ лл с = »6(Г» »ЕГ» = а,(0)+ ~„с = а,(О). »ЕГ» Отсюда следует, что д, (х) является перестановочным многочленом поля Г». П 9.68. Следствие. Если 7' (х) = ~Ь)х', а А (!) — соответст1=! сующий овал в проективной плоскости Рб (2, $'»), д четко и д > 2, то 7" обязательно имеет вид (» — м/2 1(х) = ~; Ь»7х'С 7=! Доказательство.
Из условия (й) теоремы 9.67 следует, что для всех а ~ Гч справедливо равенство 0 = а (О) = Ь!+ Ьеае+ Ьеа»+ ° ° ° + Ь»,а»». Отсюда следует, что Ь, = Ье = Ье =...= Ь 1 = О. 9.69. Следствие. Множество А (хе), 1 (Ь ( д, является овалом в проективной плоскости Рб (2, К»), где д ) 2 четно, тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: (!) НОД (Ь, ч - — 1) = 1; (й) НОД (Ь вЂ” 1, и — 1) = 1; (гй) многочлен ((х + " 1)" + 1 1!х является перестановочным мноючленом поля !Г». Доказательство.
В силу теоремы 7.8 (й) условие (!) эквивалентно условию (1) теоремы 9.67. Аналогично условие (й) эквивалентно условию теоремы 9.67 для а = О. Если а Е Ц, то й, (х) = !(х + а)" + ае)!х = а' — ' Иа 'х+ 1)е + 11/(а 'х) = = ае-'д,(а-'х). узким образом, а, является перестановочным многочленом "оля г» тогда и только тогда, когда таковым является много"лен к1 Кроме того, если д, является перестановочным многочле- !3' 628 Гл. 9. Приложения конечных полей ном поля Еч, то из соотношений йх (0) ч Е йх (1) — 1 вы, кает, что а, (0) —: 0 и, следовательно, д.
(О) --- О, Конструкцию, аналогичную проективной плоскости, мож ' дать и в случае, когда размерность пространства больше, чем 9.70. Определение. Нроективным пространством нли т-и странством, или проективной геометрией называется множест' точек, в котором выделены некоторые подмножества точек, зываемые прямыми, удовлетворяющие следующим условиям: (1) Существует единственная прямая, проходящая через л ' бую пару несовпадающих точек. (П) Прямая, пересекающая две прямые, являющиеся сто нами некоторого треугольника, пересекает также и третью е сторону. (ш) Каждая прямая содержит по крайней мере 3 точки. (!ч) й-пространство определим следующим образом. 0-п странство является точкой.
Если А,,, „А„— точки, не лен! щие в одном (й — !)-пространстве, то все точки, лежащие на п ' мых, проходящих через А, и какую-нибудь точку (к — 1)-простр ства, заданного точками А,... А„, образуют и-пространс Таким образом, прямая является 1-пространством, а все оста ные пространства определяются рекурсивно. Аксиома (ги) т бует; если й < т, то не все точки рассматриваемого множес'' лежат в одном й-пространстве. (ч) Рассматриваемое множество точек не порождает (т + пространство. Мы будем говорить, что т-пространство имеет размерносгпь"' Если имеется й-пространство, являющееся подпространством и ективного пространства более высокой размерности, то мы бу ' называть его й-плоскостью.
(т — 1)-плоскость проективного странства размерности т называется гиперплоскостью. 2-простр ство является проективной плоскостью в смысле определения 9. Можно доказать, что в любой 2-плоскости любого проективн' пространства размерности не меньше 3 всегда справедлива т' рема Дезарга (теорема 9,61). Теорема Дезарга может не вып няться только в таких проективных плоскостях, которые иел вложить в проективное пространство большей размерности. Проективное пространство, состоящее из конечного числа чек, называется конечным проективным пространспюом ( ной проективной геометрией, конечным т-пространством). аналогии с РС (2, !Гч) можно построить конечное т-пространст', РС (т, Еч).
Определим точку как упорядоченный набор ( ' х,, ..., х„,), где координаты х; лежат в Еч и не все одновремен РавнЯютсЯ О. НабоР вида (ахо, ах,, ..., ахм), где а Е Ц, опРе4 ляет ту же самую точку, что и набгп (х,, х,, ..., х ). Таким обр, зом, РС (т, ге) содержит (д"-' — 1)/О! — !) различных точ 5 3. Конечные геометрия 629 гг-плоскостью в пространстве Рб (т, !!О) является множество всех таких точек, координаты которых удовлетворяют системе пэ ггг — и линейно независимых однородных линейных уравнений агох, + + аонх„= О, а А,,+. +а „, х =О с коэффициентами аг; Е Ко. С другой стороны, й-плоскость— это множество всех точек с координатами (аОХОО ' ' ' ' ! ггАХАО ° ° ° ггехего + ' ' ' ! аАХА~), где элементы а; Е Кч не все одновременно равны О, а я + 1 заданных точек (х, ...,х,), ...,(х„„...,хо) линейно независимы.
Последнее означает, что матрица Хоо ° Хонг х„... х, ХА, ... ХА имеет ранг й + !. Число точек в А.-плоскости равняется ((гоэ-г— — !)г(г! — 1); прямая содержит г)+ 1 точек, а плоскость содержит гго + г! + ! точек. Нетрудно проверить, что РО (т, !го) удовлетворяет всем пяти аксиомам т-пространства. гт(ы знаем, что в поле Г „+г любую степень первообразного элемента а можно представить в виде многочлена от а степени не выше т с коэффициентами из поля !!'о. Если аг = а а™ + ° + а„ мы можем рассматривать аг как точку пространства Рб (т, !г'ч) с координатами (а,, ..., а ).
две степени аг и аг задают одну и ту же точку тогда и только тогда, когда для некоторого а е !!'о выполняется равенство аг — — ааг, т. е, тогда и только тогда, когда г= :г(гпог) (д э' — 1)/(г1 — 1)). гг-плоскость 5, содержащая й + 1 линейно независимых точек, КптарЫЕ СООтВЕтетВуЮт СтЕПЕНяМ аго, ..., а А, СОдсржнт ВСЕ ТОЧКИ, г, ~оторые можно представить в виде ~~а,а', где элементы а, г=о принадлежат гг о и не все одновременно равны О. Если положить " = (гг +' — 1)!(г) — 1), то для каждого значения !г = — О, 1, ... и — 1 точки вида ~' а,а'г+ (где а, е Г и не все а„одновре- г=о 630 Гл. 9. Приложения конечных полей менно равны О) тоже образуют /с-плоскость. Обозначим и-плоск соответствующую заданному значению й, через 5л.
Тогда 5, == 5, = 5, так как а' е !!'о. Пусть / — наименьшее натур ное число, для которого 5, --= 5. Тогда нз равенства 5„д = для всех а е !!д( следует, что /делит о, т. е. что о -- г/. Иазов' число/ циклом /с-плоскости 5. Если ало определяет точку, принадлежащую !с-плоскости то этим же свойством обладают и точки, соответствующие пон зателям степени с(о д(ой / сдо" (д 1)/ в силу того, что 5„; =- 5 для всех п =- О, !, ..., С вЂ” 1. Дру, точки поверхности 5 можно задать с помощью степеней элемент®; со следующими показателями: с1,, с(д-! !, с(д 1-(! — 1)/ с(о д с(о-д + / ' с!о-д + (! 1) ! где с(,, — д!,, не делится на !, если г, ~ го.
Число всех таких р' личнйх точек равно (и = (цоол — 1)/(а — 1). Если 1/ — (д ' ' — 1)~(д — 1) и !и =- (с)о о' — !)/(ц — 1) имно просты, то à — — 1, /= а и все л-плоскости имеют цикл::,, Последнее выполняется в случае й =- ад — ! н в случае й при условии, что ад четно. 9.71. Пример. Рассмотрим проективпую геометрию Рб (3, с которая содержит !5 точек, 35 прямых и 15 плоскостей; при с) е' == 15, Используя в качестве элемента а Е е"до корень п' митивного многочлена хо+ х+ 1 ~ !Го !х), установим соот ' ствие между степенями элемента а и точками из Рб (3, !Го); Л =- (О, О, О, 1) а", Р =-- (О, 1, 1, 0) — а', /à — (1, О, 1, 1) В = (О, О, 1, 0) — а', б =- (О, 1, 1, 1) — а", ! †-- (1, 1, О, 0)— С =: (О, О, 1, 1) а', Н = (1, О, О, 0) а', М =-= (1, 1, О, !) сл = (О, 1, О, 0) — сс', У == (1, О, О, 1) сс", до' = (1, 1, 1, 0) а", Е =- (О, 1, О, 1) — а', ,У = (1, О, 1, 0) а', б = (1, 1, 1, 1) Плоскость 5 = 5, = (аоао, адах-1-аоао!ао, а„ась Ес, (ао, а„а,) ы:(О, О, совпадает с плоскостью, определяемой уравнением х, = О.
содержит точки В, О, Р, Н, /, /., до', и ее цикл равен !5, так как и цикл любой другой гиперплоскости. Плоскость 4 5, = (аоад —, а,ао+ асад)а„ад, а,е'го, (а, а,, а,) ~(0, О, О)) '„ 9 4, Приложения к комбинаторнке БЗ! овпадает с плоскостью, определяемой уравнением х, =- О, и одержит точки А, В, С, гч, Е, Р, б и т. д, Цикл прямой (а,ссо + а,сс') ао, а, с Гв, (а,, а,) ~ (О, О)), согпадающей с прямой А«К, равен 5. Обе прямые АВС и Ас)Е имеют цикл 15. Таким образом, указаны все 5 + 15 + 15 = 35 прямых. П Конечной аф4инной (или евклидовой) геометрией, обозначаемой чеРез Аб (и), )Рч), называетсЯ множество й-плоскостей (длЯ згсх возможных й), которое остается, если из РП (т, «'о) выбросить некоторую гиперплоскость вместе со всеми й-плоскостями, содержащимися в этой гиперплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
