Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 138
Текст из файла (страница 138)
Теорема Паппа справедлива в Рсг (2, х' ) при л бом в, равном степени простого числа. Теорема Паппа также сп ведлива и в любой конечной дезарговой плоскости. Имеется существенное различие между свойствами плоск Р6 (2, Тч) для четного г) и плоскости Рсг (2, х'ч) для нечетного Это различие выражено в следующей теореме. 9.63. Теорема. Точки, образуюи(ие диагональ полного че рехвергиинника ') в Рсг (2, й" ), являются коллинеарными гп и то гоко тогда, когда г) четно. ') Полным четырехвершинннком называется совокупность, состоящая четырех точек (вершин), лежащих в одной плоскости, нз которых никакие не лежат на одной прямой, н шести соединяющих нх прямых (сторон); его В нала состоит нз точек пересечения несмежных, т.
е. не имеющих общей вершин сторон. — Прим. перев. Я 3. Конечные геонетрнн 623 Иллюстрацией последнего случая может служить пример 9.55. Пусть вершинами полного четырехвершинника являются точки С, 11, Е, Св В этом случае диагональными точками являются точки А, Р и В, которые лежат на одной прямой. Введем теперь некоторые понятия, аналогичные известным понятиям из аналитической геометрии.
Ограничимся при этом рассмотрением дезарговых плоскостей, координаты в которых являются элементами конечного поля Гч. Пусть две различные прямые заданы уравнениями аояхе + а„х, + амхн = О, аеехе + а„х, + а,ех, = О. (9.7) Пусть Р— точка пересечения этих прямых. Все прямые, прохо!нщие через точку Р, образуют пучок, и каждая прямая из этого ~учка задается уравнением вида (га„+ яане) х, + (га„+ яа„) х, + (гае, + яане) х, = О, где элементы г, яЕ Гч не равны одновременно О. Пучок содержит а + 1 прямых: две прямые, заданные уравнениями (9.7), которые соответствуют случаям я' — 0 и г = О, и а — 1 прямых, соответствующих д — 1 различным значениям произведения гя ', где г Ф О, я Ф О.
Пусть имеется другой пучок прямых, проходяд!нй через точку Я Ф Р н задаваемый уравнением (гбм + яЬм) хр + (гЬ„+ яЬ„) х, + (гЬ„+ яЬе,) хе =- О. Проективное соответствие между прямыми этих пучков можно 'Мать следующим образом: прямая одного пучка, задаваемая ч"рой (г, я), соответствует той прямой другого пучка, которая задается той же парой параметрон (г, я), Каждая пара соответствующих друг другу прямых пересекается в единственной точке. Исключение представляет случай, когда прямая Рчс соответствует Доказательство. Предположим, не теряя общности, что вер„,днами нашего четырехвершинника являются точки (1, О, 0), (О 1, 01, (О, О, 1) и (1, 1, 1). Шесть его сторон задаются соотношениями хе = О, х, = О, х, — хе =- О, х, =- О, х, — хе = О, хн— х, — О.
В то же время диагональными точками являются точки ! 1, 1, 0), (1, О, 1) и (О, 1, 1). Прямая, проходящая через первые две точки, содержит все точки с координатами (а + Ь, а, Ь), где (а, ь! ~ (О, 0). Нетрудно видеть, что третья точка лежит на этой пряной тогда и только тогда, когда а = Ь и а + Ь = О. В конечном поле "ге это выполняется лишь в том случае, когда характеристика доля равна 2, П Гл.
9. Приложения конечных полей самой себе. Координаты точек пересечения удовлетворяют ур '" нению (амх„+ а„х, + а„хе! (Ь„х, + Ьмх, + Ьмхе)— — (амхе + а,ех, + аеех,) (Ьмх, + Ь„х,,'- Ьмхе) = О, (9, которое получается исключением параметров г н з из уравнен ' соответствующих пучков. 9.64. Определение. Множество точек, координаты которы удовлетворяют уравнению (9.8), называется коникой. Если в рч зультате установленного выше соответствия прямая РЯ соотвег ствует сама себе, то коника называется вырожденной.
В этом слу',", чае она состоит из 2д + 1 точек, которые образуют две пересе' кающиеся прямые. Невырожденная коника состоит из д +, точек, являющихся точками пересечения соответствую1цих пря мых. Прямая, имеющая с коникой ровно одну общую точку, на зывается касательной; прямая, имеющая с коннкой две общи точки, называется секущей. Уравнение, задающее невырожденную коннку, является ква. дратным, поэтому прямая не может иметь с невырожденной и никой более двух общих точек.
Возьмем одну точку невырождеи' ной коники и соединим ее прямыми с остальными о точками к ' ники. Получившиеся прямые являются секущими. Так как чер ' каждую точку проходит д + 1 прямых, то оставшаяся пря является касательной. Таким образом, д + 1 точек невырожденной коняки об дают тем свойством, что никакие три из них не лежат на од прямой.
Можно доказать, что невырожденной коникой явля любое множество, состоящее из о 4 1 точек проективной пл кости РО (2, хе), где д нечетно, обладающих тем свойством,, никакие три нз них не коллинеарны. Следующая теорема, которую мы докажем только части иллюстрирует разницу между свойствами коник в дезарго плоскостях четного и нечетного порядков.
9.65. Теорема. (!) В дезарговой плоскости нечетного пор через каждую точку, не лежащую на невырожденной конике, л проходят две касательные к этой конике, либо не проходит ' одно й. (й) В дезарговой плоскости четного порядка все касател к невырожденной конике пересекаются в одной пючке. Локазательство. Доказательство п.
(В) служит примером то. как свойства конечных полей используются в теории конечн проективных плоскостей. Предположим, не теряя общности, три точки А = (1, О, О), В = (О, 1, О) и С =- (О, О, 1) явля точками невырожденной коники, лежащей в дезарговой плос а 3. Конечные геонетрнн „тного порядка. Пусть касательные, проходящие через эти точки, . даны соответственно уравнениями х, — й,хе =- О, х, — й,х, = хн — йех, = О. Пусть Р = (!е, Г,, Ге) — какая-либо другая точка нашей коняки. Ни одна из координат Г; не может равннтьсн О, так как иначе точка Р лежала бы на одной из прямых, проходящих через какие-нибудь две точки из множества (А, В, С~1.
Последнее противоречило бы тому, что никакие три точки невырожденной коннки ие лежат на одной прямой. Таким образом, прячун> РЛ можно задать уравнением х, -- ОГе х, = О, прямую РВ УРавнением хт — Гт!е '«е = О, пРЯмУю РС вЂ” УРавнением х„- ге!~ х~ = О.
Рассмотрим уравнение прямой РА. Поскольку в качестве Р ны взнлн произвольную точку коники, отличную от точек А, В, С, огношение йГе пробегает все множество элементов полн — ! отличных от О и й„. Так как П (х-- с) -хе-' 1, сс ц'» ~о произведение всех ненулевых элементов поля Гч равняется 1)'. Тогда, если умножить произведение всех д — 2 возможных значений отношения ОГе ' иа й„, то мы получим ( —,!)' = 1, ~ак ннк 6 четно.
Таким образом. ггаПГ~Га — - — 1, й~ПЫо = 1, йеПГоà —.. 1, ~дс произведение берется по всем точкам коники, отличным от А, В и С. Перемножая эти три равенства, получаем йей,йе = — !. Следовательно, точки (1, йей,, й„), (й„1, й,йе) и (йей„й„!) совпадают. Значит, все три касательные, проходящие через точки А, В н С, пересекаются в одной точке. А так как точки А, В и С ныбнралнсь произвольно, то мы получаем, что любые три касательные пашен коникн пересекаются в одной н той же точке. Д Существуют интересные связи между перестановочными много- членами конечных полей (см.
гл. 7) и конечными проективиыми плоскостями. Продемонстрируем одну из иих. П 66. Определение. Овалом в проективной плоскости РО (2, 1 ',1 кш и четно, называется множество из и и 2 точек этой плосноспп никакие трн из которых не лежат на одной прямой. В качестве примера овала можно взять д + 1 точек, образующих невыРожденнУю коникУ в РО (2, Гч), где д четно, и добавить ь ннм точку пересечения всех касательных этой коники (см. тео- РемУ О.65(й)). В следующей теореме указывается канонический ннд овала.
13 заь. 243 Гл. 9. Приложения конечных полей в26 9.67. Теорема. Любой овал в проективной' плоскости РВ (2, !Г где в четно и д ) 2, может быть записан в виде А ф — — (()(с), с, 1) )сЕ ('ч) () ((1, О, 0), (О, 1, 0)), где 7' принадлежит !Гч!х! и удовлетворяет следующим услов (1) ! — перестановочный многочлен поля !Гч, такой, бед (~) < д и ) (0) = О, ) (!) =-- 1; (1!) для любого а е тч многочлен й, (х) = (1 (х+ а) + ) (а) !!х является перестановочным многочленом поля !Гч, пр' чем д, (О) = О. Верно и обратное: каждое такое множество А (Г) является ов Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
