Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 137
Текст из файла (страница 137)
существук>т четыре т чьг, такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой). г)гтк>дг> следует, что каждая прямая содержит по меньшей ':";" 3 точки и что через каждук> точку проходят по меньшей ш г>г 3 прямые. Если множество точек проективной плоскости к»>еч»о, то мы будем говорить о конечной проектив>*ой плоскости.
р>х приведенных вып>е аксиом нетрудно вывести, что усло»щ (>)!) выполняется и в случае, если в нем поменять местами шюягпя чточка» и чпрякгая>. Тем самым устанавливается принцип дь" итог»ности между точками н прямыми, из котс>рого в свою г>ч> рс;».: можно получить следующий результат: )).бч. Теорема. )Тцс>пь П вЂ” консчнал >гроектиа>га>г плос>а>сть.
(,~~) гчг>гггсспгаугс>гг целое число т . 2, такое, что каждая тпчка (пном»>й ало>>кости П инцидентни а тоомюсаги и )- ! прямьгм (и тмпм) плоск»огни П; ('!) П сод> ржит ровно пгг Л- т + ! точек (пр>гмых). ": 33. Пример. Просгейшая конечная проективная плоскость "" шгастся при т — 2, в ней через каждую точку проходят ровно ) прямые н каждая прямая содержит ровно 3 точки. Всего же ""шшсть содержит 7 точек и 7 прямых. Такая проективная "»ккш'ть называется плоскостью Фана; на рис.
г>.2 приводится г'теугат>>»еское изображение. Плоскость содержит точки Л, Й, Е, Е и 6 н прямые ЛЕЗС, Л6Е, ЛЕВ, СО>Е, СЕВ, с>6В Так как для конечных пл<>скостей обычное геометрическое Щв Гл. 9. Прнло»хеннн конечных полей понятие епрямой» теряет смысл, подмножество ОЕР в конечн проективной плоскости считается прямой. Д е В Рнс 9лн Число т, появляющееся в теореме 9,54, называется поряд конечной проективной плоскости. Как мы увидим далее, конечн' проективные плоскости порядка т существуют для всех целых" имеющих вид т =- р", где р — простое число.
Известно, что существует проективной плоскости порядка т — 6, однако известно, существует ли такая плоскость для т = )О. Для т =', найден целый набор плоскостей с этим параметром, однако найдено еще ни одной плоскости, порядок которой не был бы с пенью простого числа. В обычной аналитической геометрии мы представляем точ' плоскости в виде упорядоченной пары действительных чи .' (х, у), а прямые — как множества точек, удовлетворяющих ур нению вида ах + Ьу + с = 0 при условии, что числа а и Ь' равны одновременно О. Заменим теперь поле действительных сел любым другим полем, в частности некоторым конечным пол Такой тип геометрии известен как аффинная геометрия (или клидова геометрия).
Тем самым мы приходим к понятию аффн ной плоскости. 9.56. Определение. Аффинной плоскостью называется трой ' (У», Ы', 1), состоящая из множеств точек У, множества прямых и отношения инцидентности 1. При этом должны выполнять ' следующие условия: (!) каждая пара различных точек иицидентна едннственн прямой; ()!) каждая точка Р Е У», не лежащая на прямой Е Е лежит на единственной прямой М ~ Я, которая не пересекается с " (ш) существуют четыре точки, такие, что никакие три них не лежат на одной прямой.
Доказательство следующей теоремы вытекает непосредствен,, из определений. 9.57. Теорема. Пусть 1( — произвольное поле, и пусть обозначает множество упорядоченных пар (х, у), х, у с Л, а 9 3. Конечные геометрии б!9 состоит из таких подмножеств 1. множества У; элементы копюрых удовлетворяют линейным уравнениям, т. е. 1. с Ы тогда и пюлько тогда, когда найдутся такие элементы а, Ь, с Е К, (а, Ь) ~ (О, 0), для которых 1. = 1(х, у)( ах+ Ьу+ с = О). Точка Р Е У инцидентна прямой 1. е Ы' тогда и только тогда, когда Р ~ 1.. Тогда тройка (У, Ы, 1) с определенным выше отношением инцидентности является аффинной плоскостью и обозначается через Аб (2, К).
Нетрудно показать, что если )К( =- т, то каждая прямая в А б (2, К) содержит ровно т точек. Из А 6 (2, К) можно построить нроективную плоскость. Для этого надо добавить еще одну прямую. Верно и обратное: из любой проектнвной плоскости можно получить аффинную плоскость, если удалить из проективной плоскости одну прямую и все точки, принадлежащие ей. Пока.
жом это, С этой целью несколько изменим обозначения для точек плоскости Аб (2, К): будем обозначать их через (х, у, 1), т. е, (х, у, г), где г =- 1. Тогда уравнение прямой принимает вид ах + Ьу + сг = О, где (а, Ь) Ф (О, 0). Добавим к У множество точек = ((1, О, 0)) 0 ((х, 1, 0) ) х Е К) и образуем новое множество точек У' = — У Ц 1.. Точки из 1. можно представить с помощью уравнения г = О, поэтому множество 1.
можно рассматривать как прямую. Добавим эту новую прямую к множеству прямых 2'н образуем новое множество ~2' — .У Ц 11. ). Естественным образом перенося на множества У' и Х' отношение инцидентности 1, можно проверить, что тройка (У', Ы", 1') удовлетворяет всем аксиомам проективной плоскости. 9.58. Теорема. Пусть АО (2, К) =- (У, ес, 1), и пусть У' = У() 1(1, О, 0)) () 1(х, 1, 0)(хе К) =- У()1, Ы" --- Х Ц (1. о отношение инцидентности 1, перенесенное на множества У' и У', обозначено через 1'.
Тогда (У', Я', 1') является проективной плоскостью и обозначается через РО (2, К). 9.59. Пример. Плоскость РО (2, ге) — проективная плоскость '~ад полем Ге — содержит 7 точек: точки (О, О, 1), (1, О, 1), (О, 1, 1), 11 1, 1) с координатой г ~: 0 и три различные точки прямой г =- О, а именно (1, О, 0), (О, 1, 0), (1, 1, 0). Нетрудно проверить, что плоскость Рб (2, 1ре) содержит также 7 прямых и что эта проективная п1оскость является на самом деле плоскостью Фано из примера 9 55 При построении Рб (2, К) из Аб (2, К) мы видели, что каждая "рямая из Аб (2, К) должна пересечься с добавленной прямой 1. Гл.
9. Приложения кояечнмх полей т. е. что к каждой прямой из АО (2, К) надо добавить по одн точке. Прямая Е„также содержит т + ! точек в случае, есл' поле К содержит т элементов. Так как для любой степени пр ' стого числа т -- р" — - д существует конечное иоле !г', то спр' ведлива следующая теорема. 9.60. Теорема. Для любой степени простого числа а =- р р — простое число, и Е В, существует конечная проективн плоскость порядка а, а именно РО (2, К ). Дополнительная прямая Е, добавленная к аффинной пл кости для того, чтобы получить проективную плоскость, иное называется бесконечно удаленной прямой.
Если две прямые пе секаются по точке, лежащей на Е, то они называются пар ' лельными. Приведем теперь без доказательства две интересные теоре которые справедливы для всех проективных плоскостей, им щих аналитическое представление в терминах теории поле Два треугольника й~А,В,С и Е А,В,С, называются находящим ' в перспективе относительно точки О, если прямые А,А„В,' и С,Ся проходят через точку О. Точки, лежащие на одной прямо называются коллинеарными. 9.61. Теорема (Дезарг). Если,,А,В,С, и ~А,В,С, ниходятс перспективе относительна точки О, то точки пересечения пр А,В, и А,В„А,С, и А,С„В,С, и ВеСе являются коллинеарны ' Эта теорема иллюстрируется рис. 9.3: точки пересечения ответствующих прямых обозначаются через Р, О н Р и лежат," одной прямой.
0 9.62. Теорема (Папп). Если А„В„С, — точки некото прямой, и А,, В.„С, — точки другой прямой, лежащей в той плоскости, и если прямые А,Вя и А,В, пересекаются в точке А,С~ и А,,С, пересекаются в точке О, а В,С, и В,С, пересекаю в точке К то точки Р, 1) и В коллинеарны. Рисунок 9А является иллюстрацией к теореме Паппа. $3. Конечные геометрии 1 в, с, в2! приведенные выше теоремы играют важную роль в проективной геометрии. Если теорема Дезарга справедлива в некоторой проектпвной плоскости, то координаты точек этой плоскости можно задать через элементы некоторого тела Я.
В этом случае каждая точка задается упорядоченной тройкой (х„ х„ х,) трех однородных координат, где х~ — элементы тела Р, не равные одновременно О. При этом тройка (ах„ ах,, ах,), 0 ~ а ~ Я, представляет ту же самую точку. Таким образом, если тело Я конечно и ) Р ~ =- — т, то для каждой точки имеется т — 1 представлений. Поэтому, поскольку всего имеется тн — 1 возможных троек координат, общее число различных точек проектнвной плоскости равно (т' — 1)/(т — 1) = т' + т + 1. Прямая определяется как множество таких точек, координаты которых удовлетворяют одному из следующих уравнений: х, + ах,+ах,= — О, х,+ах„=О или х»=О(аб)с).
Таким образом, плоскость содержит т'+ т + 1 прямых, и можно непосредственно проверить, что определенные таким образом точки н прямые удовлетворяют аксиомам проективной плоскости. Из теоремы Веддерберна (теорема 2.55) нам известно, что любое конечное тело является полем, а именно конечным полем 1». В этом случае уравнение прямой можно записать в виде а,х, + — а,х, + а,х, = О, где числа а, не равны одновременно нулю, при этом уравнение (аао) хо + (аа1) х1 + (аае) хе = О, где а 6 !г» задает ту же самую прямую. Прямая, проходящая через точки !У» Уо Уе) и (г„хы ге), может быть также опрелена как множество точек с координатами (ауо + Ьг„ау, + Ьг„ауе + Ьге), где числа а, Ь р Г не равняются одновременно О.
Всего сущест"уст д — 1 таких троек, а в силу того, что одновременное ум» ножение элементов а и Ь на один и тот же ненулевой элемент за'жег ту же самую точку, мы получаем, что наша прямая содержит Ч+ 1 различных точек. В проектнвной плоскости РБ (2, и' ) справедлива как теорема Дезарга, так н обратное к ней утверждение; доказательство этого '>22 Гл. 9, Приложения конечных полей опирается 'на коммутативность операции умножения в поле )Гч.
В гцем случае, когда координаты точек проективной плоскости явля ся элементами некоммутативного кольца, теорема Дезарга и ее обр ' щение могут не выполняться. Отсюда становится ясной та важна' роль, которую играет в этом контексте теорема Веддерберна Проективная плоскость, в которой справедлива теорема Д зарга, называется дезарговой плоскостью, в противном случ плоскость называется недезарговой.
Дезарговы плоскости п ' рядка т существуют только для чисел т, равных степеням пр етых чисел, причем для каждого заданного числа т = р", где р простое число, существует с точностью до изоморфизма толь ' одна дезаргова плоскость порядка т, В конечной дезарго плоскости всегда можно ввести координаты, являющиеся элеме' тами некоторого конечного поля. Так как такое поле существу' только в случае, когда порядок т этой плоскости является с пенью простого числа, то проективная плоскость, в которой к дая прямая содержит т + ) точек, где число т не является с ' пенью простого числа, обязана быть недезарговой плоскость' Неизвестно, существуют ли такие плоскости для т, не равна степени простого числа. Если удастся доказать, что с точност' до изоморфизма существует только одна конечная проективн плоскость данного порядка т, то отсюда получится, что для равного степени простого числа, проективная плоскость порядкЕ.
обязана быть дезарговой. Это справедливо для т =- 2, 3, 4, 5, 7„ Для простого т известны только дезарговы плоскости. Одна было показано, что для всех т =- р", и ) 2, кроме случаев т =хг и т =- 8, существуют и недезарговы плоскости порядка гп. Из теоремы Паппа следует теорема Дезарга. Кроме того, в некоторой проективной плоскости справедлива теорема Пап то кольцо, элементами которого являются координаты точек плоскости, должно быть коммутативно относительно оггерац' умножения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
