Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 122
Текст из файла (страница 122)
В следующей таблице приводятся промежуточные результаты, полученные в процессе работы алгоритма. / ат !х1 а! !к! лт ат х хз 2х 2хз 2хз 2х+ 2хз + 2хз 2хз+ 2кз+ 2хз х+ хз В этом случае г = ~4 + 1/2 — изз/2~ = 4 и, следовательно, ги (х) = х' + 2х' + х' + 2х. Таким образом, линейное рекуррентное соотношение наименьшего порядка, которому удовлетворяет данная последовательность, имеет вид за+а — — аа„+ 2э„+з + з„„, и = О, 1, ь".) 8Л7, Пример. Найдем однородную линейную рекуррентную последовательность наименьшего порядка над полем Кз, первые 8 членов которой — это 1, 1, О, О, 1, О, 1, 1. Применим алгоритм Берлекэмпа — Месси, используя многочлен бт (х) = 1+ х + х'+ -'- х'+ х' б !1'з [х) вместо производящей.
функции б (х). Этапы вычисления приводятся в следующей таблице. ! хт !к! ат !к! т! О 1 о о ! — 1 ! о 1 О о 1 О 2 О 3 1 ! ! + кз 1+ х+ кз 1+ х+ хз 1 + х+ ха+ 2хз !+кз 1+ хз+ 2хз+ хз 1 + 2к + кз+ 2хз ! !+х 1+х 1+ х+ к' ! 1+ кз+ хз 1+ хз+ хз 1+ хз+ хз 1+ хз+ хз х х кз к+ х' хз+ кз х' хз о 1 — ! О 1 — ! о о о Гл. а. Линеаные рекуррентные поеледонательноетн 552 В этом случае г — 14 + 1,'2 — таУ2) = 3 и, следовательн т (х) — ха + х -ь 1. Таким образом, заданные элементы образу '' начальный отрезок однородной линейной рекуррентной п дователытости за, аы ..., удовлетворяющей рекуррентному с ношению з„„= з„„+'эн, и -- О, 1, ..., и не существует реку рентной последовательности меньшего порядка, имеющей тот начальный отрезок.
Докажем теперь в общем случае, что после конечного чи шагов алгариапм Бгрлгкэмпа -- и!гсси приводит к искомому ми ' малонаму мнагачлгну. Для этого введем вспомогательные мно ' члены иу (х), и; (х) Е гч (х !. Определим их следующими реку' рентными формулами: ие (х) =- О аа (х) =- — 1, (8. иу„ (х) †.= и,(х) — Ьтау (х), ~ !Ь 'хи;(х), если Ьу ~= О, т; > О, (8. ~ хау(х) в противном случае для всех у' О, 1, ..., Мы утверждаем, что для всех у.=.
0 1 1 с$ед(ду(х)) с. — (у+ 1 — т,), с(ей (Ьу Гх)) .~о — (у +-2+ ту). (8. Для у — 0 это очевидно ввиду (8.19). Если неравенства (8. доказаны для некоторого у' пь О, то из (8.20) следует, что в слу когда Ьт~О, тт= О, дед(уутт(х)) ' шах(дед(81(х)), дед(Ьу(х))). 1, 1 ~ 2 (у .'г 2 + ту) -:= 2 (у + 2 — тут!). В противном случае 1 . 1 бей(ду„(х)) ': — (у ~ 1 - т,) == — (у' ч- 2 — - т„т). А Второе неравенство в (8.23) доказывается аналогичным образ ' Индукцией но у' можно также доказать, что для любого у)~.
выполняются неравенства дед(иу(х)).:.. — (у --! — т,), дев(ау(х)) < — (у 1-ту). (8 2 1 1 т Для всех у'~ 0 вспомогательные многочлены !О (х) и иу (х) св заны с многочленами хтт (х) и угу (х) следующими соотношения ду(х) 6(х) = — иу(х) + Ь,ху(той ху' '). (8. Ьт(х)6(х) =- оу(х)+хг(шайх!он).
(8. 4 6. Характериааиии линейных последовательностей озз В самом деле, для 7' =- 0 (8.25) и (8.26) следуют из (8.19), (8.21) и определения константы Ь,. Предполагая, что соотношения (8.25) и (8.26) доказаны для некоторого у) О, получаем . о,.„, (х) 6 (х) = яз (х) 6 (х) — Ь1111 (х) 6 (х) == : — ит (х) + Ьтх1 + сз„хз+' — Ьт (пт (х) + хз + д;,тхт+') =— =: и;ы (х) + ет,тх1+' (шоб х! и), где ст„,, с[1„, еьм 5 ге — некоторые подходящие коэффициенты. Поскольку [тз[ С 1, как это можно показать по индукции, то ,ш (8,24) получаем с[ед (и,„(х)) ( 1. Таким образом, ет„яв- ляется коэффициентом при хт Р' в лз„(х) 6 (х) и, следовательно, ,,„-=- Ьт„.
Соотношение (8.26) для ! ) 0 доказывается анало- п1чным образом. Далее, по индукции легко доказать, что для всех !' ) 0 йз(х)из(х) — йтт(х)пт(х) =хй (8.27) Пусть теперь «(х), и (х) — многочлены над полем ]['и, связанные соотношением «(х) 6 (х) =- и (х) и условием «(0) =- 1. Тогда из 18.26) следует, что Йз(х) и(х) — «(х) о, (х) == «(х) (йз(х) 6(х) — а,(х)): —— : — «(х) хй ив и х1 (шоб х1+'), и тогда длЯ некотоРого Уз (х) ~ Ге [х] полУчаем пт(х)и(х) -- «(х)оз(х) = хат(х), где 61(0) = 1, (8.28) Аналогично, пользуясь (8.25), можно показать, что существует !'1 (х) ~ Ги [х], длЯ котоРого спРаведливо Равенство й; (х) и (х) — «(х) ит (х) = хат (х).
(8.29) Предположим теперь, что минимальный многочлен и (х) дан- ной однородной линейной рекуррентной последовательности удов- летворяет условию беи (пт (х)) ( й. Пусть « (х) будет соответ- ствующим возвратным минимальным многочленом. Тогда«(0) = 1, дей («(х)) ( й и из (8.15) мы получаем, что существует много- член и (х) 5 Ке [х], для которого выполняются соотношения «(х) 6 (х) = и (х) и с[ед (и (х)) ~( дед (т (х)) — 1 ~( /г — 1.
Поло- жим в (8.28) у = 2/г, Воспользовавшись (8.23) и (8.24), получаем ! 1 пей (й„(х) и (х)) ~~ ~ (2й + 2 т таь) + й — 1 = 2й + ~ тми 1 1 пей («(х) оаа (х)) ~( й + — (2й + таа) = 2и + ~ птах, откуда 1 с[ей (Лаа (х) и (х) — «(х) паа (х)) ~( 2й + — тпаа. Гл. 8.
Линейные рекуррентные носледонательностн С другой стороны, ден(/»а»(х) и(х) — з(х) иа»(х)) = »(ея(х'»1/а»(х)) ) 2н, и все эти неравенства совместимы лишь при т,» . О. Вновь в ' пользовавшись соотношениями (8.23) и (8.24), нетрудно про рить, что»)ен (да» (х) и (х)) ~( 2й — 1/2 — (1/2) те» и»(ец (з (х) и»» (х)) .< 2й — 1(2 — (1/2) тмо Тогда из (8.29) вытекает, чт, »(ея(х»»)»а» (х)) = бей(йа» (х) и (х) — з (х) иа» (х)) ( 2й. Но это возможно лишь при условии, что Ра» (х) является нулевы многочленом.
Следовательно, из (8.29) вытекает, что й»а» (х) и (х) = з(х) иа» (х). Полагая / = — 2А и умножая обе части равенст (8.28) на йа» (х), приходим к равенству /»а» (х) иа» (х) и (х) — з (х) да» (х) ра» (х) = = — з(х)(й,»(х)ие»(х) — на»(х)о,»(х)) = ха»(/а»(х)да»(х'" Учитывая (8.2?), получаем з (х) = (/е» (х) яа» (х), откуда вы кает, что и (х) = (/е» (х) и,» (х). Так как з (х) является возвра ным минимальным многочлеиом, из второй части теоремы 8.
следует, что многочлены з (х) и и (х) взаимно просты. В силу это многочлен (/а» (х) обязан быть константой, а так как по (8. (/,» (0) = 1, то (/а» (х) = 1. Значит, з (х) = »г»» (х) и соотв ственно и (х) = и,» (х). Если»!ей (т (х)) = й, то ()= "( — „')="ь.®. как и утверждалось ранее. Если же»)ед (т (х)) = «< /г, то з (х); =- »»а» (х), и (х) = им (х), т,» ) О. Очевидно, что шах (ден (з (х ! +»(ен (и (х))) .< «, и нз второй части теоремы 8.40 вытек « = шах (»(ед (з (х)), 1 +»)ед (и (х))).
Тогда из (8.23) и (8.24) следует, что « == и!ах(»(ея(й»а»(х)), 1-(-»)ея(и„(х))) ~(«+ — — — »л„. ! 1 Таким образом, та» равно 0 или 1. Кроме того, заметим, и» (х) = з (х) и /»» — — 0 для всех /) 2«. Тогда т» — — тм + /,' — 2«для всех / )~ 2«по определению тл Полагая / =- 2й, полу чаем «= й+ (1/2) т,» — (1(2)т,», и так как т,» равняется или 1, то 1 ! « = ~/»+ — — — т„~ == .
2 2 Таким образом, что соответствует нашему утверждению. $ 7. Распределеиие елемеитов й 7. Распределение элементов в линейных рекуррентиых последовательностях В этом параграфе нас будет интересовать следующий вопро. сколько раз встречается тот или иной элемент поля Гд на том или ином отрезке линейной рекуррентной последовательности над полем Кд. Для получения общих результатов в этом направ пении займемся сначала детальным изучением свойств тригоно метрических сумм, связанных с линейными рекуррентными по следовательностями. Тогда станет очевидным, что в случае ли нейиых рекуррентных последовательностей с большим минималь иым периодом на любом отрезке последовательности, составляю щем ее полный период, а также на отрезках, являющихся суще ственной частью полного периода, элементы основного поля ветре даются приблизительно с одинаковой частотой.
Пусть ге, г,, „, — линейная рекуррентная последовательность к-го порядка над полем Кд, удовлетворяющая соотношению (8.П Пусть т — минимальный йериод этой последовательности, а п,— се предпериод, т. е. в„+, — — в„для всех и ) и,. Свяжем с этой последовательностью целое положительное число )г, определенное следующим образом. Рассмотрим рекуррентную последовательность, являющуюся импульсной функцией и удовлетворяющую соотношению (8.6). Пусть г, — минимальный период этой последовательности, а и, — ее предпериод. Положим тогда )7 = г, + п,. Разумеется, )к зависит только от линейного рекуррентного соотношения (8.1), а не от конкретного вида последовательности хь г,, ...
Если в„в„, ... является однородной линейной рекуррентной последовательностью с характеристическим многочленом 1(х) с Кд(х), то г, = огй (г'(х)), а если, кроме того, ((О) чь О, то по теореме 8.27 )г =- огб (Г (х)). По той же теореме в однородном случае г делит г, и г ~( й. В тригонометрических суммах, которые мы собираемся рассматривать, будут использоваться аддитивные характеры поля 1д, изучавшиеся в гл. 5, которым будут приписаны веса, определенные с помощью функции е (г) = е""', где 1 — действительный аргумент.
8.78. Теорема. Пусть в, в,, ... — линейная рекуррентная последовательность й-го порядка над полем Кд, г — ее минимальный ~~риод, а и, — предпериод. Пусть, далее, )г — целое полоясительное число, определенное выше. Если )( — нетривиальный аддитив"ый характер поля Кд, то для любого целого числа Л справедливо неравенство. и-~-г — ! а ~ ~ г ) еп для всех и~~по. е=и 558 Гл. 8. Линейные реиуррентные последовательности В частности, ! ипт †! ~ хп.!~<(п)"!' о .>,. !оо!' л=п Доказательство. Заменив вектор начального состояния на вектор зл (что не влияет на верхнюю границу в (8.30)), и ' можем, не теряя общности, предположить, что последовател ность зл з,, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
