Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 120
Текст из файла (страница 120)
сам является элементом такого же вида; отсюда следует, ), (х) ч ... ч (ь (х) является многочлеиом над полем гь. 8,67. Теорема. Пусть Г', (х), 1 --= 1, 2, ..., и, — норма ' ванные многочлены над полем Гч, не являющиеся константами" не и.неющие кратных корней. Тогда 5(),(х)) ... 5()ь(х)) = 5 Д,(х) ч ...; )ь(х)). Для доказательства этой теоремы нам потребуется одна вспо гательная лемма. Предварительно введем несколько новых нятий. Пусть Р— конечное расширение поля Кч, и пусть 5е " множество всех последовательностей над полем г".
Тогда является векторным пространством относительно операций членного сложения последовательностей и их умножения на к ' 'станту (из поля Р). В частности, 5р =- 5. Если дано й подпр странств $',, ..., Рь векторного пространства 5е„то определ', произведение 1', ... Уь как надпространство пространства порожденное всеми произведениями вида о, ...
и„, где и; ~ 1 = 1, ..., й. Если 7' (х) ~ г" (х) — нормированный многочле не являющийся константой, то через 5в (1' (х)) будем обознача векторное пространство над полем Р, состоящее из всех одноро' ных линейных рекуррентных последовательностей над полем „ с характеристическим многочленом 7" (х). 8.68. Лемма. Пусл|ь г — конечное расширение поля пусть 1, (х), ..., 1ь (х) — нормированные многочлены над полем Г не являющиеся постоянными. Тогда 5 Й(х)) .. 5(Ул(х)) = 5 Й (5е()ь(х)) ... 5е((ь(х))) Доказательство. Очевидно, что ь 5(1 (х))" 5 (ЬЮ) — 5 П (5е(6(х))" 5е()' (х))) Чтобы доказать обратное включение, заметим прежде все что для каждого 1 =- 1, ..., й пространство 5 (7'; (х)) порожда 5е (), (х)) над полем Р, т.
е, любая рекурпентная' последовател ' й З. Семейства линейных последовательностей ность из 5н (у'у (х)) может быть представлена в виде линейной комбинации рекуррентныл последовательностей из множества 5 (), (х)) с коэффициентами из г. Тогда 5 ()! (х)) ... 5 ()» (х)) порождает 5н (г! (х)) ... 5„(у'» (х)) над полем г". Пусть и,, ...
, р — базис пространства 5 (Г! (х)) ... 5 (Г» (х)) над Г„, и пусть оу,, ™., еу» — базис г над Ге, причем е! ~ Ке. Тогда любой элемент о ~ 5н ()! (х)) ... 5н (г» (х)) может быть записан в виде о = 2,' Д сузы,Ру, у=! /=1 где с;, Е Г„. Пусть для каждого ) == 1, ..., лу последователь- ность р, состоит из элементов г... гу,, ..., г, ~ ге, и пусть по- следовательность а~ 5 — это з„з„.... "у'огда для членов зн последовательности о справедливо равенствут » 'ун ,„— и (к „,„),ее,,,-о, у, .... у=! !у=! Так как коэффициенты при каждом аау лежат в Ко, из определения ун <о,, ..., ау» следует, что ~ с,,г;„=- О для всех л и 2 ~ у' < и у=-! Значит, о = ~ сыв,ру ~ 5 (1» (х)) ...
5 ()» (х)), у=! что и завершает доказательство леммы. Г Доказательство теоремы В.61. Пусть Р— расширение поля ~Ге. являющееся полем разложения многочлена у! (х) ... у» (х) над полем Ке. Пусть для каждого ! = 1, 2, ..., Ь элемент ух! пробегает корни многочлена Г! (х). Тогда по теореме 8.58 5гДу(х)) = ~„'5г(х — а!), 1~(у~~й.
Заметим, что для подпросгранств У„У,, У, векторного пространства 5г справедлив закон дистрибутивности: 1 ! (1' 2 + Уа) 1 у)у в + 1 у) а' о самом деле, по закону дистрибутивности для последователь. костей Уу(рв+ Ув) е= У»Ув+ У»У». С другой стороны, оче видно, что У,Уа о: — У, (1Г + Уа), У,Уа = У, (У, + У,) и, следо. вательно, У!Ух + У»Уа о: — У, (У, + У,). На основании закона дистрибутнвностн справедливо равенство 5г(у! (х)) ... 5г(у» (х)) = и'„5н (х — ух!)" 5н (х — 'х»).
нм """» 844 Гл. 8. Линейные рекуррентиые последовательнотти Нетрудно проверить, что 5е (х — а,) ... 5и (х — ал) = 5е (х — а, ... а„), огкуда по теореме 8.55 5, (7;(х)) ...5е(7л(х)) = ~ 5„(х- а, ...ал) =- аи ....ал = 5е((ь(х) о ... огл(х)). Утверждение теоремы 8.67 следует теперь из леммы 8.68. Теорема 8.67 показывает, в частности, как находить характер"" стический многочлен для произведения однородных линейн ' рекуррентных последовательностей в случае, рассматривае в этой теореме. Другой подход может основываться на теоре 8.21.
Для этогодостаточно детально разобрать случай произведен' двух однородных линейных рекуррентных последовательност Пусть последовательность з,, з,, ... лежит в 5 (1 (х)), а после ' вательность (е, 1„... лежит в 5 (и (х)). Если многочлен имеет лишь простые корни а„..., ал, а многочлен д (х) н лишь простые корни р„..., )3, то по формуле (8.8) ги .е зл= ~Ьса!, 1„= ~~сф,", п=О, 1, ..., !=! !=.! где коэффициенты Ь! и с, лежат в конечном расширении и Е . Если 7„..., у„— различные значения, которые могут пр нймать произведения вида а!));, 1 ( ! ( й, 1 «( у«( т, то,;! .Х л !н т и„= з„1„= ~ 2„Ь,с;(а!р;)" = ~ М,у"!, и = О, 1, ..., !'=! у=! !=! где !(ь, „а!„— некоторые коэффициенты из конечного рас рения поля Ее.
Пусть теперь й(х) = !!(х) ой(х) = х'-- а,,х' — ' — . -- а, Е Е (х). Тогда для и = О, 1, ... получаем и„>, — а„,и„+,, — °, — а„и„= ~~ й!у';Й (у,) = О, ~=! и, таким образом„многочлен Ь (х) будет характеристическим мн; гочленом последовательности и,, и„..., являющейся произвеЛ" нием последовательностей хе, зь, ... и 1,, 1,, .... 8.69. Пример. Рассмотрим последовательность О, 1, О, 1 над полем Ее с минимальным периодом 2 и минимальным много" членом (х — 1)'.
Если мы умножим эту последовательность на.' саму себя, то получим ту же самую последовательность. С другой. стороны, (х — 1)' о (х — 1)' = х — 1, что не является характе-.! 4 5. Семейства лннейных последовательностей 545 рнстическим многочленом последовательности„ полученной в результате перемножения. Таким образом, равенство, доказанное в теореме 8.67, может не выполняться, если некоторые из много- членов 7г (х) имеют кратные корни. и Для операции умножения последовательностей можно получить аналог теоремы 8.61. По понятным причинам мы не будем рассматривать последовательностей, в которых все члены, кроме конечного числа, равны О.
8.70. Теорема. Пусть о;, г =- 1, 2, ..., (г, — ггериодические пвслсдовательности над полем Г с бесконечным числом ненулевых членов. Пусть минимальный период последовательности а; равен го Если числа г„..., га попарно взаимно просты, то мггнггмальный период ггроизведения ог ... па равняется г, ... гь. Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая й =- 2, так как общий случай легко получается индукцией по и. Как и в доказательстве теоремы 8.61, нетрудно показать, что минимальный период г последовательности о,о, должен иметь вид г =- г(гг(а, где д, — делитель числа г„а г(а — делитель числа г,, В частности, г(гга является периодом последовательности о,о,.
Таким образом, если о, — зто последовательность зе, з„..., а а, — последовательность Ге, 1„..., то равенство Зь+ Л,с,~л Зл4- Л,с~гьч- Ви, — Зл(с выполняется для всех достаточно больших гг. Так как существует целое число Ь, такое, что („~ О для всех достаточно больших и .= Ь (шог( г,), то для таких п получаем з„+ла, — — з,. Зафиксируем теперь достаточно большое и. По китайской теореме об остатках можно выбрать такое целое число т ) и, для которого т гв и (шод гг) и т = Ь (шог( га). Тогда Ва = Зег Зт+л,с, -- за+ли, н, таким обРазом, г(гга ЯвлЯетсЯ пеРиодом последовательности о,.
гледовательно, г, делит й,г„а в силу того, что г, и г, взаимно "Росты, г, делит г(г, откУДа слеДУет, что й, = г,. Аналогично доказывается равенство гга = г,. г.л Операцию умножения последовательностей можно использовать для описания соотношений между однородными линейными Реьуррентными последовательностями, характеристические много- "тены которых являются степенями друг друга. Рассмотрим слу"ай линейных характеристических многочленов. 8 71. Лемма. Если с 6 Гч, с ~ О, а й — целое положительное число, то 5 ((х с) ) = 3 (х — с) Я ((х — 1) ) аз 846 Гл. 8.
Линейные ренуррентные последовнтельноетн Доказательство. Пусть последовательность дн в„... леж в 5 (х — с), а последовательность !о, 1„... лежит в 5 ((х — 1) Тогда з„= с"ао для всех и = — О, 1, ..., и ~> (.)( — 1)е — '1„,~=О, я=О, 1, с=о Отсюда ~(".)( — с) -в„„Г„„, =с+ зо,'),'('.)( — 1)ь- („„=О е=о 4=о для всех п = О, 1„.„, и тогда ~. ) ( — с)е — 'х' = (х — с)* — характеристический многочлен последовательности ве1„з,1„. Значит, векторное пространство 5 (х — с) 5 ((х — 1)е) явля подпространством пространства 5 ((х — с)").
Так как с ч~ первое векторное пространство имеет над полем Г размерн и, таким образом, совпадает с пространством 5 ((х — с)'), к рое имеет ту же размерность над !1„. 8.72. Теорема. Пусть ? (х) 5 Ке (х) — нормированный гочлен, не являющийся константой йне имеющий кратных кор и ) (О) ~ О. Пусть й — целое положительное число. Тогда 5 ((~ (х))е) =- 5 (~ (х)) 5 ((х — ! )") Доказательство.
Пусть Р— поле разложения многочле' 1 (х) над полем го. Тогда если а пробегает все корни многочл ? (х), то по теореме 8.55 5н((1(х))А) =. Е 5Р((х — Я)е), а Используя лемму 8.?1 и закон дистрибутивности, установлен при доказательстве теоремы 8.67, получаем 5е ((? (х))") = — ~; 5„((х — 1)') 5е (х — и) = = 5е((х — 1)ь) ~~ 5е (х — а) =- 5; ((х — 1)е) 5е(!'(х где последнее равенство следует из теоремы 8,55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
