Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 71
Текст из файла (страница 71)
ПУсть Р, — веРоЯтность того, что во втоРник бУдет ЯснаЯ погода, Рг (г) (г) вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурно и рз — вероятность (г) того, что во вторник будет пасмурно. Пусть р(г) = (р() ), р( ),Р( )). Тогда .5 .4 .1 р(') = (.42,.44, 14> .з .5 .2 = (.зт,.444, 166).
.2 .4 .4 Следовательно, вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурная погода, равна 0.444. С) Пусть р,, — вероятность, что исходом т-го проведения эксперимента будет (пс) состояние в;, и р( ) = (р() ),рг( ),р(з ),...,Р( ')). ТЕОРЕМА 8.120. Для любого положительного целого числа т имеем Р( ) = Р(о)У ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем теорему, используя индукцию. Было показано, что для т = 1 утверждение справедливо. Предположим, что оно справедливо для гс = к, так что Р(ь) = Р(о)У". Поскольку (ь.ь 0 (ь) (ь) (ь) (ь) Ру Р) Р11 + Рг Ргу +Рз Рзу + Рп Рпзус то (Ь+1) ((с)у (0)уьу (о)у/с-ь1 ПРИМЕР 8.121.
В процессе опроса владельцев автомобилей трех американских марок: марки А, марки В и марки С, им был задан вопрос о том, какую торговую марку они бы выбрали для следуюшей покупки. Среди владельцев автомобилей РАЗДЕЛ 8.11. Цепи Мвркоев 389 марки В? Матрица перехода для этого события имеет вид Для случая (а) имеем р<о> = (1,0, 0), поэтому р<'> = (1, О, О) = (.2, .5, .3) Вероятность того, что вторая машина будет марки С, равна 0.3. Для случаев (б) и (в) требуется найти 23 .54 .23 21 .62 .17 24 .48 ..28 т'= [ Для (б) имеем р1о> = (0,.5,.5) и 23 .54 .23 21 .62 .17 24 .48 ..28 р00 = (0,,5,,5) = (.225,.55,.225), поэтому вероятность того, что третий автомобиль будет марки А, равна 0.225.
П ПРИМЕР 8А22. Для случая (в) имеем р<Ш = (.333,.333,.333) и р00 = (.333,.333,.333) 23 .54 .23 21 .62 .17 24 .48,.28 = (.227,.547,.227), где все числа округлены до трех цифр после десятичной точки. Поэтому вероятность выбора марки С для третьей машины равна 0.227. П марки А 20% в сказали, что они опять выбрали бы марку А, в то время как 501 ответили, что они бы перешли на марку В, а 30% заявили, что предпочли бы марку С.
Среди владельцев автомобилей марки В 20% сказали, что перейдут на марку А, в то время как 70% заявили, что приобрели бы опять автомобиль марки В, а 10% заявили, что в следующий раз предпочли бы марку С. Среди владельцев автомобилей марки С, 30 процентов ответили, что перешли бы на марку А, 30;4 сказали, что перешли бы на марку В, а 40% заявили, что остались бы верны той же торговой марке С. (а) Если для первой машины некто приобрел автомобиль марки А, то какова вероятность, что его второй машиной будет автомобиль марки С? (б) Если при покупке первой машины покупатель подбросил монету, выбирая между маркой В и маркой С, то какова вероятность, что его третьей машиной будет автомобиль марки А? (в) Если все три марки автомобилей равновозможны для покупки первого автомобиля, то какова вероятность, что третьей машиной станет автомобиль 390 ГЛАоА 8.
Комбинвторикв и вероятность ° УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть осушествление событий А, В и С представлено состояниями зы зз и зз соответственно. Пусть переход осушествляется каждый день, и матрица перехода имеет вид а) Какова вероятность того, что если событие А произошло в первый день, то оно произойдет снова на третий день? б) Какова вероятность того, что если событие В произошло в первый день, то событие С произойдет на четвертый день? в) Какова вероятность того, что если событие А произошло в первый день, то событие В произойдет на пятый день? 2. Пусть осуществление событий А, В и С представлено состояниями вы зз и вз, соответственно.
Пусть переход осуществляется каждый день, и матрица перехода имеет вид а) Какова вероятность того, что если событие А произошло в первый день, то событие В произойдет на третий день? б) Какова вероятность того, что если событие А произошло в первый день, то событие С произойдет на четвертый день? в) Какова вероятность того, что если событие С произошло в первый день, то событие С произойдет на пятый день? 3.
Аптека продает средство от изжоги трех торговых марок; А, В и С. Покупатели меняют марки препарата согласно матрице перехода Если препарат приобретается ежемесячно, то; а) Какова вероятность того, что если в этом месяце приобретен препарат марки А, то через три месяца будет приобретен препарат марки С? б) Какова вероятность того, что если в этом месяце приобретен препарат марки В, то через два месяца будет приобретен препарат марки ? в) Какова вероятность того, что если в этом месяце приобретен препарат марки С, то через три месяца будет опять приобретен препарат марки С? 4. Предположим, что Конгресс объявил о возможном сокращении налогов, и это сообшение распространяется от человека к человеку.
Если сокращение РАздел а1 я цели маркове 391 налогов состоится, то вероятность того, что сообщение будет передано следующему человеку правильно, составляет 0.6. Если сокращения налогов не будет, то вероятность правильности передачи информации составит 0.7. а) Если сокращение налогов состоится, то какова вероятность, что четвертый человек, услышавший эту новость, услышал ее правильно? б) Если сокращение налогов не состоится, то какова вероятность, что третий человек, услышавший эту новость, услышит ее правильно? в) Если сокращение налогов не состоится, то какова вероятность, что пятый человек, услышавший эту новость, поймет, что сокращение налогов состоится? 5. Команда А и команда В участвуют в ежегодном чемпионате США по бейсболу.
Каждая команда имеет равные шансы выиграть первую игру, Если команда А выиграет первую игру, то вероятность ее победы в следующей игре равна 0.6. Если первую игру выиграет команда В, то вероятность ее победы в следующей игре равна 0.7. Какова вероятность, что команда В выиграет третью игру? Какова вероятность, что команда А выиграет четвертую игру? 6. У самолета четыре мотора. Для выполнения боевого задания ему необходимо оставаться в воздухе в течение часа. Если из-за вражеского обстрела вероятность выхода из строя одного из моторов в любой 15-минутный период времени равна 0.25 и для продолжения полета самолету нужны, по крайней мере, два мотора, то какова вероятность, что самолет вернется на базу? Предполагается, что вероятность того, что самолет с тремя поврежденными моторами будет оставаться в воздухе настолько долго, что может выйти из строя четвертый мотор, равна О.
7. В колледже 80% первокурсников становятся второкурсниками. 1О'А бросают учебу или переводятся. 90% в второкурсников на следующий год становятся студентами предпоследнего года обучения. 5% второкурсников бросают учебу или переводятся. 95% студентов предпоследнего курса становятся на следующий год старшекурсниками. 2% студентов предпоследнего курса бросают учебу или переводятся.
1% старшекурсников бросают учебу или переводятся, а 98% заканчивают колледж. Те, кто не заканчивают, бросают учебу, переводятся или остаются на второй год обучения. Какова вероятность, что поступивший в колледж в течение четырех лет бросит учебу или переведется? Если 1000 новичков стали студентами, то сколько из мих закончат обучение через четыре года? Сколько закончат обучение через пять лет? РАЗМЕЛ 9.1. Вновь о частично упорядоченных множествах 393 был бы "больше", чем а. Элемент а подмножества В ЧУ-множества А называется минимальным элементом В, если для каждого элемента Ь е В из того, что Ь < а, следует Ь = а. Другими словами, в В нет элемента, который был бы "меньше**, чем а.
Обычно термины "минимальный" и "максимальный" элемент относятся ко всему множеству, т.е. А = В. ПРИМЕР 9.3. Пусть, как в примере 2.45, С = (1,2,3) и Х вЂ” булеан множества С: Х = Р(С) = (Я, (Ц, (2), (3), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2, 3)). Определим отношение < на множестве Х таким образом: Т < Ъ', если Т С Ъ'. По определению, (1,2) есть наибольшая нижняя грань для (ьс, (Ц, (2)), а также для (Я, (Ц, (2), (1, 2И. Множество (1, 2, 3) — наименьшая верхняя грань для Х.
Элемент о является наибольшей нижней гранью для всех трех множеств. П ПРИМЕР 9 4. Рассмотрим множество Х = (ю, (Ц, (2), (3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) ) с таким же отношением порядка, как и в примере 9.3. В этом случае множества (1,2), (1,3), и (2,3) являются максимальными элементами множества Х, но в Х нет наибольшего элемента. Такая ситуация возможна, потому что данные три максимальных элемента не сравнимы между собой. П ПРИМЕР 9.5.
Рассмотрим множество Х = ((Ц, (2), (3), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3)) с тем же отношением порядка, как и в примере 9.3. В этом случае (Ц, (2) и (3) — минимальные элементы множества Х, но наименьшего элемента множество Х не имеет. П ПРИМЕР 9.6. Пусть Т вЂ” множество всех положительных делителей числа 30 и <1 есть отношение порядка, которое задается таким образом; т <, и, если гп делит и. Наименьшая верхняя грань для (3,5) — число 15. Понятно, что наименьшая верхняя грань, 30, и наибольшая нижняя грань, 1, множества Т сравнимы. Понятно, что 5 <1 15, поскольку 15 делится на 5, но 5 и 6 не сравнимы. П ПРИМЕР 9.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
