Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Поскольку существуют („") способов получения к успехов в и независимых испытаниях, то вероятность й успехов в и испытаниях равна ("„)р"д" ~. Таким образом, приходим к следующей теореме. ТЕОРЕМА 8.101. В эксперименте с и независимыми испытаниями, называемыми испытаниями Бернулли, где каждое имеет два исхода, успех с вероятностью р и неудачу с вероятностью д = 1 — р, вероятность осуществления й успехов равна -ь Говорят, что такой эксперимент имеет биномиальное распределение поскольку ПРИМЕР 8.102. Дана монета с равновозможным выпадением обеих сторон. Какова вероятность выпадения трех "решек" в результате пяти подбрасываний монеты? Поскольку р = д = -', вероятность выпадения трех "решек" после пяти подбрасы- ваний равна ПРИМЕР 8.103.
Предположим, что правильная игральная кость подбрасывается десять раз. Какова вероятность трехкратного выпадения шестерки? Вероятность р выпадения шестерки равна -'. Следовательно, вероятность д выпадения не шестерки равна 1 — — = з. Поэтому вероятность выпадения шестерки равно три раза 1 5 равна Предположим, что в выборочном пространстве каждому исходу поставлено в соответствие действительное число.
Например, если подбрасываются две игральные кости, то таким числом может быть сумма показаний на обеих костях. Если монета подбрасывается десять раз, то таким числом может быть общее количество выпадений "решки". Такое число назовем случайной величиной и определим следующим образом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.104. Случайной величиной называется функция из выбо- рочного пространства во множество действительных чисел.
Если задана случайная величина на выборочном пространстве, можно рассматривать вероятность того, что случайная величина будет равна заданному значению. Например, пусть монета подбрасывается семь раз и??(х) — число выпаданий "решки". Тогда вероятность, что В(х) = 5, равна 376 ГЛЯВЛ Д Комбинаторика о вероятность Если игральная кость подбрасывается десять раз и В(х) — количество выпаданий пятерки, то вероятность, что В(х) = 4, равна Предположим, что мы играем в игру, в которой, подбрасывая игральную кость, получаем количество долларов, равное выпавшему числу.
Таким образом, если выпадает число 5, мы получаем $5. Сколько нам следовало бы заплатить за участие в игре? Это количество называется ожидаемым значением. Оно находится суммированием произведений количества долларов, которое должно быть получено, на вероятности получения таких сумм. В данном случае эта вероятность равна -' для каждого значения, поэтому ожидаемое значение равно 1 1 1 1 1 1 21 1 — +2 — +3.— +4 — +5 — +6 — = — =35 6 6 6 6 6 6 6 и справедливая цена за участие в игре должна быть $3.50. В рассмотренном выше примере случайная величина В(х) принимает значение х, которое выпадает на кости.
Таким образом, В(1) = $1, В(2) = $2, ..., В(6) = $6. В обшем случае, пусть  — случайная величина, определенная на результатах хы хз, хз,..., х„, которые осуществляются с соответствующими вероятностями Ры Рз, Рз,..., Р„. Ожидаемое значение, или математическое ожидание Е(В) = 2,"., В(х;)Р;.' Пусть а1 а2 аз ° ° ао — значения, которые может принимать случайная величина В (т.е. множество результатов функции В). Множество всех результатов, для которых В имеет фиксированное значение а„ обозначается В = а,.
Вероятность того, что Х принимает значение Р(В = а,), обозначается через р,. Если использовать данное обозначение, то эквивалентной, но более удобной формой записи математического ожидания Е(В) будет Е(В) = 2,", а;р,. В приведенных ниже примерах будут определены две случайные величины для рулетки. ПРИМЕР 8.106. Предположим, что колесо рулетки в равномерно расположенных по колесу ячейках имеет числа от 0 до 36.
Заплатив $1, игрок выбирает число. Если он выигрывает, то получает $36. В случае проигрыша — не получает ничего. Пусть Вг — случайная величина, равная количеству денег, которые получит игрок. Пусть ег — событие В = 36, а ез — событие В = О. Тогда ры вероятность выигрыша, равна 37 а ря — вероятность проигрыша, равна 37 Поэтому, 1 36 Е(В~) = 36 — + 0 37 37 36 37 = .973. Поскольку игрок платит $1, то в среднем, за попытку он теряет около $0.027. П 'В отечественной литературе принято обозначение М(В). — Прим. ред. РАЗДЕЛ 8.9.
Снова о веровтнооти 377 ПРИМЕР 8.106. Предположим, что мы играем в ту же самую игру, но теперь Вз — случайная величина, равная сумме выигрыша или проигрыша. Пусть е»вЂ” событие В = 35, а ез — событие Лз = — 1. Тогда ры вероятность выигрыша, равна зт а Рз, вероятнос гь проигрыша, равна 37 Поэтому 1 зб 1 36 Е(Вз) = 35 — + ( — 1) . — = 37 37 1 37 = —.027. Поскольку Вз представляет сумму выигрыша или проигрыша, то в среднем за попытку игрок теряет $0.027, что согласуется с результатом первого примера.
П ПРИМЕР 8.107. Представим себе ту же самую рулетку, на которой нечетные числа от 1 до 36 — черные, а четные числа от 1 до 36 — красные. Игрок платит $1 и выбирает цвет. Если он выигрывает, то получает $2. Если проигрывает, то не получает ничего. Пусть Вз — случайная величина, равная выигрышу. Пусть е» вЂ” событие Вз = 2, а ез — событие Вз = О. Тогда ры вероятность выигрыша, равна 37 а рш вероятность проигрыша, равна зт Поэтому, »з 19 18 19 Е(Вз) = 2. — + О. — = 37 37 36 37 — .973. Поскольку игрок платит $1, то в среднем за попытку он теряет около $0.027.
П ПРИМЕР 8.108. Предположим, что мы играем в ту же самую игру, но теперь Я» — случайная величина, равная выигрышу или проигрышу. Пусть е» вЂ” событие Я = 1, а ез — событие Вз = — 1. Тогда ры вероятность выигрыша, равна Я, а рг, вероятность проигрыша, равна з»т. Поэтому 18 19 Е(Я») = 1.
— + ( — 1) 37 37 1 37 = —.027. Поскольку В» представляет сумму выигрыша или проигрыша, то в среднем игрок теряет за попытку $0.027, что согласуется с результатом первого примера. П Снова вернемся к испытаниям Бернулли, где случайная величина дает число успехов в и испытаниях. Покажем, что в данном случае математическое ожидание есть произведение количества испытаний на вероятность успеха. ТЕОРЕМА 8.109.
Пусть в эксперименте с и независимыми испытаниями каждое имеет два исхода; успех с вероятностью р и неудачу с вероятностью д = 1 — р; случайная величина В представляет число успехов. Тогда математическое ожидание Е(Я) = пр. 378 ГллВА 8. комбинеторикв и вероятность ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку вероятность й успехов равна ь и-ь п' ь и-ь й1( ° — й)1Р ~ и первое слагаемое в приведенной ниже сумме равно О, математическое ожидание равно и п1 Е(й) = ~~~ й, ',р"д" "= ь=о и Ь=1 Ь вЂ” 1 и — Ь 1,п — 1)! ""~ (8 — 1).( — й).Р Положив пз = к — 1, получаем и-1 ( ) ' т и — (т.н!1 ( )1( ( + 1))1Р Е(й) = пр У тие и — 1 = пр ~~ (п — 1)! (гп)! Ип — 1) — т)! т=о =пР(Р+ 1)" '= = пр поскольку р+ о = 1.
ПРИМЕР 8.110. Монету подбрасывают 20 раз. Игрок получает $1 за каждое выпадание "решки". Справедливая цена за участие в игре будет пр = 20 з = 10 долларов. П Теперь рассмотрим дальнейшие свойства математического ожидания, которые вскоре нам пригодятся. а) Пусть с — константа. Тогда Е(сй) = с. Е(й). б) Пусть с — константа. Тогда Е(с) = с. в) Е(й+ Б) = Е(й)+ Е(Б). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для исходов х1, хз, хз,..., хи, которые осуществляются с соответствующими вероятностями Р,,Рз, Рз,..., Ри, математичесткое ожидание и и Е(й) = 2 й(х,)Р, и Е(Б) = 2 Б(х1)Р,.
Поэтому ТЕОРЕМА 8.111. Пусть й и Б — случайные величины, определенные на исходах Х1, ХЗ, ХЗ, ..., Хи, КОТОРЫЕ ОСУЩЕСтВЛЯЮтСЯ С СООтВЕтСтВУЮЩИМИ ВЕРОЯтНОСтЯМИ РыРз Рз Ри рдздел 8.9. снова о вероятности 379 а) Е(сЯ) = 2; сЯ(х;)Р, = с 2; й(х,)Р, = с Е(В). т=1 в=1 в п п б) Е(с) = 2 ср,=с 2 Р, =с, поскольку ~ Р;=1. и а=1 ) Е(й+ 5) = ~~~ (В(х,) + 5(*,))Р, = и п в й(х;)Р; + Я(х,)Р, = ~~~ Я(х,)Р; + ~~~ Б(х,)Р, = Е(й) + Е(Б). В случайных выборках мы интуитивно думаем о среднем значении как о некоторой середине или о наиболее вероятном значении случайной величины.
В некотором смысле, это ее усредненное значение. Можно заметить, что если каждое значение случайной величины равновероятно, тогда математическое ожидание будет "средним арифметическим" значений случайной величины. Приведенное ниже определение интуитивно выглядит вполне логичным. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.112. Среднее значение р случайной величины Я вЂ” это ее математическое ожидание Е(й). Дисперсия случайной величины В показывает, насколько велик разброс или насколько широко распределены значения случайной величины. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.113. Дисперсия ог случайной величины есть Е((й-р)г) = Е((й — Е(й))г). Используя теорему 8.111, получаем важное свойство дисперсии. ТЕОРЕМА 8.114.
Пусть  — случайная величина, тогда ог = Е(йг) — рг Е(йг) — (Е(й))г. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ог Е((й р)г) = Е(йг — 2йр+ рг) = = Е(йг) — 2рЕ(й) + Е(рг) = по теореме 8,111, поскольку р — константа. Е(йг) 2рг + рг по теореме 8.111, поскольку р — константа. Е(яг) г Важно отметить, что и среднее значение, и дисперсия — теоретические понятия, и их не следует путать со средним значением и разбросом множества данных. Для примера выберем опять биномиальное распределение. Будем также предполагать, что случайная величина В указывает количество успешных испытаний.
Известно уже, что р = Е(В) = пр. 380 ГЛАВА 8. Комбинаторика и вероятность Поскольку оа = Е(212) — (Е(1т))~, то теперь попытаемся найти Е(Я2). По определению, Е(д2) ~~с й2 рйс1и-й И(п — (с)! Расписывая н2 = й(й — 1) +(с и учитывая тот факт, что первые два слагаемых в приведенной ниже сумме равны О, получаем и Е(с12) ~,и~ й=о =Е и =Е й=2 и!' и! й и-й ~)й)( — й))р ' +~-~й)(— й=о й(й-Ц, ",рй("-й+~ й, "' й=о п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
