Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 69
Текст из файла (страница 69)
! й и-й ! Е д ((с — 2))(п — (с)! й и-й й)! (и — 2)! ( — ),'с.(„.,),(п „),ря" + (~) й=2 и(п ! )р2 ~Х~ ' рй-2с(и — 2 — (й-2) ! Е(Я) (п — 2)! (к — 2)! (и — й)! (и — 2)! й=о (и — 2)! й=о п(п — 1)р (р+ с1)" + пр = п(п — 1)р + ир = пр — пр +пр= п р + ир(1 — р) = и р + ирс1. Таким образом, Е()22) — (Е(сс2))2 = пзр2 + пру — (пр)2 = = иру, что приводит к следуюшей теореме. ТЕОРЕМА 8.115.
Пусть в эксперименте с и независимыми испытаниями каждое имеет два исхода: успех с вероятностью р и неудачу с вероятностью с1 = 1 — р; случайная величина В описывает число успехов. Тогда дисперсия ст2 = прс(. РАЗДЕЛ 8.9. Снова о вероятности 381 ПРИМЕР 8.116. В эксперименте игральную кость подбросили 72 раза.
Пусть случайная величина Н представляет количество выпаданий числа 1, так что р = -' и д = -'. Тогда 1 Е(,Я) = Р = пр = 72 — = 12 6 а =прд=72 — — =10. 1 5 6 6 Уже было отмечено, что дисперсия — мера разброса значений случайной величины. Неравенство Чебышева дает более точное соотношение между дисперсией и распределением случайной величины. Перед тем как сформулировать и доказать неравенство Чебышева, рассмотрим следующую лемму.
ЛЕММА 8.117. Пусть 1? — случайная величина, определенная на выборочном пространстве Е. Тогда Е(Лг) ог Р())?~ > с) < сг сг ' ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рп)?~> ) — ~ Р,< )Н(в,))>с < — ~ )1?(х;))гР; < )н(х,))>с ~д( )~гр х.
аз 1 Е~??г) Подставляя 1? — )г вместо Л, получаем неравенство Чебышева. ТЕОРЕМА 8.118. (Неравенство Чебышева) Пусть 11 — случайная величина, определенная на выборочном пространстве Е. Тогда Р(')Рс )4 > с) < ЕИЛ вЂ” )г)') г сг ' ° УПРАЖНЕНИЯ 1. В партии из пяти автомобилей один имеет дефект. Два человека собирались приобрести автомобили. Какова вероятность того, что вторая из покупаемых машин будет исправна, если известно, что первая машина была без дефекта. 2.
Подбрасываются две кости. Какова вероятность того, что на первой выпало 5, если известно, что сумма равна 8? 3. Подбрасываются две кости. Какова вероятность того, что сумма значений на кубике равна 7, если известно, что сумма нечетная? 382 ГЛАВА о. Комбинвторикв и вероятность 4.
Подбрасываются две кости. Какова вероятность того, что сумма значений на кубике равна 8, если известно, что сумма больше или равна 7? 5. В урне содержится восемь белых и семь черных шаров. Вынимается четыре шара без возвращения. Какова вероятность, что первый шар белый, если известно, что было вытянуто два белых шара? Какова вероятность, что первый шар белый, если известно, что было вытянуто два белых шара (шары вытягивались с возвращением)? 6. Четыре туза из стандартной колоды перетасованы и разложены на столе картинкой вниз. Две карты, не раскрывая, убирают. Какова вероятность, что третья карта — туз пик? 7.
Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что "решка" выпадет три раза, если известно, что, по крайней мере, один раз выпала "решка"? 8. Пусть А и  — независимые события. Пусть Р(А) = .7 и Р(В) = .6, найдите Р(В~А). 9. Из трех урн вынимают по одному шару. В первой урне находятся три белых и два черных шара. Во второй — два белых и три черных шара. Третья урна содержит три белых и три черных шара. Если известно, что два из трех вынутых шаров белые, то какова вероятность, что белый шар был вынут из первой урны? 10. Из стандартной колоды с 52 картами вытягивают две карты. Какова вероятность того, что вторая карта — король, если известно, что первая карта— туз? Какова вероятность того, что вторая карта — король, если известно, что первая карта — туз пик? 11.
Шесть шаров пронумерованы числами О, 1, 1, 2, 5 и 10 и помещены в урну. Произвольным образом выбирается один шар, и если он имеет номер и, то игрок получает п долларов. Каково математическое ожидание выигрыша? 12. Шесть шаров пронумерованы числами О, О, О, О, 10 и 20 и помещены в урну. Произвольным образом выбирается один шар, и если этот шар имеет номер и, то игрок получает и долларов.
Каково математическое ожидание выигрыша? 13. Восемь шаров пронумерованы числами О, 1, 1, 2, 2, 2, 5 и 10 соответственно. Шары помещены в урну, и три из них произвольно вытягиваются. Игрок получает сумму в долларах, равную сумме чисел на трех шарах. Каково математическое ожидание выигрыша? 14. Восемь шаров пронумерованы числами О, О, О, 2, 3, 3, 7 и 10, соответственно. Шары помещены в урну, и три из них произвольно вытягиваются. Игрок получает сумму в долларах, равную сумме чисел на трех шарах.
Каково математическое ожидан ие вы игры ша? 15. В игре подбрасывают два кубика. Игрок получает сумму в долларах, равную сумме значений на кубиках. Сколько может стоить участие в этой игре? 16. Предположим, что картам присвоены такие стоимости: туз имеет стоимость 1, двойка — 2, ..., десятка — 10, валет — 11, дама — 12, король — 13. Игрок вытягивает карту. Если вытянута карта червовой масти, то игрок получает удвоенную стоимость карты.
Если это карта бубей, он получает стоимость карты. Если карта черной масти, то игрок платит $10. Каково математическое ожидание в этой игре? голЗДЕП 8.9. Снова о ееооятности 383 17. Фирма "Асе С!еап!пд Ноцзе" учредила главный приз в размере $10 миллионов участнику конкурса. Если человек платит 33 цента за марку (фирма "Асе С!еап!пд Ноизе" предоставляет конверт и анкету участника) и 50 миллионов человек участвуют в тотализаторе, то каково математическое ожидание победы в конкурсе? 18.
Допустим, что вероятность рождения девочки 0.51, а мальчика — 0.49. Если в семье Джонс пятеро детей, то какова вероятность, что в ней три девочки? Какова вероятность, что в семье не менее четырех девочек? 19. Если бейсбольная команда выигрывает с вероятностью 60%, то какова вероятность, что команда одержит победу в трех из последующих пяти игр? 20. Две бейсбольные команды, участвующие в турнире, имеют равные шансы на выигрыш. Если команда А проиграла две первые игры, то какова вероятность, что команда А выиграет турнир? 21.
Если монету подбрасывают семь раз, то какова вероятность выпадания четырех "решек"? 22. Если игральную кость подбрасывают семь раз, то какова вероятность того, что шестерка выпадет равно два раза? 23. Если 10% продукции составляют брак, то какова вероятность получить два бракованных изделия среди выбранных десяти изделий? 24. Сэм попадает по мячу один раз из трех.
Какова вероятность, что он попадет три раза из десяти? 25. Если десять карт последовательно вытягиваются из колоды, то какова вероятность, что две карты будут червовыми? 26. Если две игральные кости подбрасывают 12 раз, то какова вероятность, что 6 выпадет ровно 3 раза? 27. Предположим, что мы играем в рулетку, и рассматриваемая случайная величина такая же, как в примере 8.105, за исключением того, что имеется дополнительная ячейка, обозначенная 00. Найдите математическое ожидание случайной величины ??ь 28. Предположим, что мы играем в рулетку, и рассматриваемая случайная величина такая же, как в примере 8.106, за исключением того, что имеется дополнительная ячейка, обозначенная 00.
Найдите математическое ожидание случайной величины ??з, 29. Предположим, что мы играем в рулетку, и рассматриваемая случайная величина такая же, как в примере 8.107, за исключением того, что имеется дополнительная ячейка, обозначенная 00. Найдите математическое ожидание случайной величины Вз. 30. Предположим, что мы играем в рулетку, и рассматриваемая случайная величина такая же, как в примере 8.!08, за исключением того, что имеется дополнительная ячейка, обозначенная 00. Найдите математическое ожидание случайной величины ??е.
31. Пусть в эксперименте с 10 независимыми испытаниями каждое имеет два исхода: успех с вероятностью 0.3 и неудачу; случайная величина ?? описывает число успехов. Каково математическое ожидание эксперимента? Какова дисперсия? 384 гляВА в. комбинаторика и вероятность 8.10. ТЕОРЕМА БАЙЕСА Теорема Байеса названа в честь Реверенда Томаса Байеса, министра и математика. Его теория, изложенная в работе Еззау !оиагг!з Бо!и!пд а Ргоб!ет !и !Ие Вос!г!пе о7 СИапсез, была опубликована в !764 году, через четыре года после его смерти, в журнале РИ!1озорй!са! Тгапзаст!опв, издаваемом Лондонским Королевским обществом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
