Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 70
Текст из файла (страница 70)
У многих людей возникали проблемы с пониманием теоремы Байеса. Казалось, что она меняет местами причину и следствие. Изучая следствие, можно определять вероятность причины. Теорема Байеса весьма полезна для определения причин заболеваний, таких как рак. Она также полезна при изучении воздействия лечения на заболевание. Предположим, что имеется и непересекающихся событий Вы Вг, Вз,..., В„, которые разбивают выборочное пространство, и известно, что событие А осуществилось. По определению, Р(В,~А) равна — рТлу'- . Но РглоВ,1 А = (А и В,) о (А и В,) и (А и В,) ш " 1! (А и В„), так что Р(А) = Р(АП В!) + Р(АГ! Вг) + Р(АПВз) +.
+ Р(АГ! В„) Р(В,~А)— Р(А й Вг) + Р(А и Вг) + Р(А п Вз) + + Р(А г! В„) ' Поскольку Р(А г! В,) = Р(А~В,)Р(В!), имеем Р(А~Вг)Р(В,) Р(А~Вг)Р(Вг) + Р(А~Вг)Р(Вг) + . + Р(А~В )Р(В ) ' откуда следует, что если известны вероятности Р(В,) и Р(А~В!) для каждого 1, то можно определить Р(В; !А). Таким образом, мы "обратили" условную вероятность. Например, предположим, что Сэм вышел из дому, чтобы купить замок для гаража.
Вероятность того, что он пойдет в "Аобу'з Ап1огпа1!с 1)порепегз" равна 0.3; вероятность того, что он пойдет в "Веп'з Вез! Виуз" равна 0.2; и вероятность того, что за покупкой он пойдет в "СЬеар С)гаг!еу'з Саз)г апб Сгег!!1" равна 0.5. Если он пойдет в "Апг!у'з Ап1огпа1!с ()порепегз", то вероятность, что он купит высококачественный автоматический гаражный замок, равна 0.2.
Если он пойдет в "Веп'з Вез1 Впуз", то вероятность сделать такую же покупку равна 0.4, Если он пойдет в "С)геар С)гаг!еу'з Саз)г апг! Сгег!!1", то вероятность купить высококачественный автоматический гаражный замок равна 0.3. Если Сэм приобрел такой замок, то какова вероятность, что он купил его в "Веп'з Вез1 Впуз"г Пусть Вг — событие, что необходимый замок был куплен в "Аобу'з Ап1огпа1!с ()порепегз", Вг — событие, что этот замок был куплен в "Веп'з Вез1 Впуз", и Вз— событие, что этот замок был куплен в "С)геар С!гаг!еу'з Саз(г апг! Сгег!!1". Пусть А — событие, которое состоит в том, что Сэм купил необходимый замок. Тогда Р(Вг) = 3, Р(А)Вг) = .2, Р(Вг) = 2, Р(А!Вг) = .4, Р(Вз) = .5 и Р(А!Вз) = 3 Поэтому (.2)(.4) 8 (.3)(.2) + (.2)(.4) + (.5)(.3) 29 — .28. РАЗДЕЛ 8.10. Теореме Бвоесв 385 Если события В1, Ва, Вз,..., В„равновозможны, то Тогда соотношение для Р(В,~А) сводится к Р(В,~А)— Р(А!В,) (А~В ) + Р(А)В ) + Р(А~В ) + ..
+ Р(А~В„) Например, предположим, что урна 1 содержит три красных, четыре синих и шесть белых шаров, урна 2 содержит пять красных, три синих и два белых шара, а урна 3 содержит четыре красных, два синих и четыре белых шара. Из произвольным образом выбранной урны выбран шар. Если этот шар красный, то какова вероятность, что выбрана урна 1? Пусть В~ — событие, что была выбрана урна 1, Вз — событие, что была выбрана урна 2, а Вз — событие, что была выбрана урна 3.
Пусть  — событие, что был выбран красный шар. Поскольку выбор урны носит случайный характер, то предположим, что Р(В~) = Р(В~) = Р(В1). Следовательно, можно использовать упрощенную формулу. Имеем Р(В!В1) = .3, Р(В!Вз) = .5 и Р(В)Вз) = .4. Поэтому Р(В1)В) = = .25. .3 .3 + .5 + .4 ° УПРАЖНЕНИЯ 1. Компания производит автопокрышки на трех заводах. Сорок пять процентов покрышек производится на заводе А, 25% — на заводе В и 30% производятся на заводе С. Предположим, что 5% автопокрышек, произведенных на заводе А, бракованные; на заводе В брак составляет 10'А; а на заводе С бракованные автопокрышки составляют 2А. Если купленная автопокрышка оказалась бракованной, то какова вероятность, что она была произведена на заводе В? 2.
Коробка 1 содержит три красных, четыре белых и один синий шар. Коробка 2 содержит два красных, четыре белых и два синих шара. Коробка 3 содержит два красных, три белых и три синих шара. Если произвольным образом выбранный шар оказался синим, то какова вероятность, что он был вынут из коробки 3? 3. В коробке лежат три монеты. У одной монеты на обеих сторонах — "решки", одна монета правильная, и еще одна монета выпадает "решкой" вверх в 70% случаев. Монету выбирают случайным образом и подбрасывают. Если монета выпадет "решкой", то какова вероятность того, что была выбрана правильная монета? 4.
Анализ крови является на 90;4 эффективным при диагнозе некоторого заболевания. В 44 случаев анализ ошибочно устанавливает болезнь у здорового человека. Если 10% людей имеют это заболевание, то какова вероятность, что человек, получивший результат анализа, подтверждающий болезнь, в действительности имеет это заболевание? 5. Студент с одинаковой вероятностью может выбрать один из трех курсов из блока социально-гуманитарных дисциплин.
Если он выберет "Историю 386 ГлдВА 8. комбинаторика и вероятность Канзаса, 1995-1997", то вероятность сдачи экзамена составит 40' . Если он выберет "Курс устного счета повышенного типа П", то вероятность сдать экзамен — 30%. При выборе курса под названием "Телевидение 1П: выбор каналов", вероятность сдачи экзамена составит 60%. Если студент сдаст экзамен, то какова вероятность того, что он выбрал "Историю Канзаса, 1995- 1997"? 6.
В процессе производства 80% изделий получаются высококачественными. Из тех, что проверены, 10)' изделий признаны бракованными и не подлежашими продаже. Только 5% бракованных изделий улучшены и отправлены в продажу. Если изделие поступило в продажу, то какова вероятность того, что изделие имеет брак? 7. Допустим, что страховая компания классифицирует водителей как умелых, неумелых и нормальных.
Предположим, что 25;4 водителей являются умелыми, 50% — нормальными и 25% — неумелыми. Предположим также, что у умелого водителя вероятность аварии в следующем году составит 10%, вероятность аварии у нормального водителя — 20'А, а вероятность аварии у неумелого водителя составит ЗОЖ? Если в прошлом году у Сэма была авария, то какова вероятность того, что он умелый водитель? 8. Подбрасывают правильную монету. Если она падает "решкой" вверх, то подбрасывают две игральные кости. Игрок получает сумму в долларах, равную выпавшей на кубиках. Если монета падает вверх "орлом", то подбрасывают три монеты, и за каждую выпавшую "решку" игрок получает $4. Если игрок выиграл $8, то какова вероятность, что первая монета выпала "решкой"? 8.11.
ЦЕПИ МАРКОВА Предположим, что проводится серия экспериментов с возможными исходами вы вз, вз,..., в„. Назовем эти исходы состояниями. Предположимь, что мы начинаем в одном из этих состояний и что р, — вероятность того, что мы начинаем (о) в состоянии а;. Далее будем предполагать, что вероятность данного исхода в текушем эксперименте зависит только от исхода предыдущего эксперимента. Пусть р,у — вероятность того, что в результате эксперимента состояние было изменено от состояния з, к состоянию в,.
Таким образом, эксперимент начался в состоянии в; и закончился в состоянии в.. Пусть Р, — вероятность того, что исходом (г) эксперимента будет состояние в,. Тогда ( ц (о) (о) (о) (о) Р, =Рг Рн+Рз Рг +Рз Рз +'''+Р) Рм, а это означает, что вероятность исхода в состоянии в, равна сумме вероятностей начать эксперимент в некотором другом состоянии и окончить в состоянии а,. Если эксперимент был начат в состоянии в, то в результате эксперимента исходом должно стать некоторое состояние.
Поэтому для каждого 0 < ) < и имеем Руь + Рза + Руз + .. + Ру = Е РАЗДЕЛ 8.11. Цапо Маркова 387 Пусть р(о) (р( ) р( ) рз( ), р( )) и р(') = (р( ) рг () р(з ) . Р( )). Предположим для простоты, что существуют три возможных состояния, поэтому р(о) = (р,, рг, рз ). Пусть Т вЂ” матрица (о) (о) (о) Рп Рп Р)з Р21 Р22 Р23 РЗ! Р32 РЗЗ Матрица Т называется матри1(ей перехода. В общем случае, матрица Т имеет вид Рп Ргг Р)з .. Р)к Ргп Ргг Ргз .
Рга РЗ! Р32 Рзз ° Рзп Р 1 Раг Раз Р Пусть Рп Ргг Р1з Р21 Р22 Р23 Рз) Рзг Рзз (а 5 с) =(Р1 Рг Рз ) тогда Р1 Рп + Рг Р21+Рз Рзг = Р1 (о) (о) (о) и ) (о) (о) (о) (1) Ь=Р1 Р1г+Рг Ргг+Рз Рзг =Рг (о) (о) (о) П) с = Р1 Р)з + Рг Ргз + Рз Рзз = Рз так что Рп Ргг Р) з Р21 Р22 Р23 Р31 Р32 Рзз ПРИМЕР 8.119. Погода классифицируется в прогнозах как ясная, умеренно пасмурная и пасмурная. Если погода ясная, то вероятность, что она будет ясной на следующий день, составляет 0.5; вероятность, что она будет умеренно пасмурной, составляет 0.4; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет О.Е Если погода умеренно пасмурная, то вероятность, что на следующий день она будет ясной, равна 0.3; вероятность, что погода останется умеренно пасмурной, равна 0.5; и вероятность, что погода станет пасмурной, равна 0.2.
Если погода пасмурная, то вероятность, что на следующий день она останется пасмурной, составляет 0.4; вероятность, что она станет умеренно пасмурной, составляет 0.4; и вероятность, что она станет ясной, составляет 0.2. Если вероятность ясной погоды в воскресенье равна 0.6, а вероятность умеренной пасмурности — 0.4, то какова вероятность, что погода в понедельник будет ясной? Какова вероятность, что во вторник погода будет умеренно пасмурной? 388 ГЛАВА 8. Комбинаторика и вероятность Если порядок, в котором перечисляются погодные условия, таков: ясно, умеренно пасмурно и пасмурно, то р(о) = (.6,.4,0) т=[ Следовательно, Р() ) = (.6, .4, О) = (.42,.44,.14), и вероятность, что в понедельник будет ясная погода, равна 0.42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
