Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Необходимо соблюдать осторожность при использовании такой комбинаторной техники, как подсчет числа сочетаний и перестановок, чтобы не допустить по умолчанию равновозможность исходов эксперимента. 370 ГЛАВА В. Комбинаторика и вероятность ТЕОРЕМА 8.91. Пусть Я вЂ” множество исходов, множество Я также будет универсом. Пусть А' — дополнение множества А, тогда а) Р(А') = 1 — Р(А) б) Р(ю) = О; в) для любого события А имеем Р(А) > О; г) если А С В, то Р(А) < Р(В); д) для любого события А имеем О < Р(А) < 1. Читателю предлагается доказать следующую теорему, используя принцип индукции. ТЕОРЕМА 8.92. Пусть Аы Аз, Аз,..., А — попарно непересекающиеся события.
Тогда Р(А~ и Аз и Аз и и А ) = Р(А1) + Р(Аз) + Р(Аз) + . + Р(А ). Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы 8.56. ТЕОРЕМА 8.93. Для событий А, В С 5 имеем Р(АиВ) = Р(А)+Р(В) — Р(АаВ).
Мы имели возможность убедиться, что для вероятности существует теорема, аналогичная комбинаторному принципу сложения. Представляется разумным задать вопрос, существует ли для вероятности теорема, аналогичная комбинаторному принципу умножения. Так оно и есть, но сначала необходимо тщательно разобраться в формулировке комбинаторного принципа умножения. Принцип гласит: "Пусть задана последовательность событий ЕыЕз,Ез,...,Е таких, что событие Е1 осуществляется пг способами, и если события Е„Ез, Ез,...,Еь осуществились, то событие Еь может осуществиться пь способами.
Тогда существуют п1 х пз х пз х . х пь способов осуществления всей последовательности событий". Количество способов осуществления события Еь зависит от того, произошли ли события Еы Ез, Ез,..., Еь ы Таким образом, может оказаться, что число способов осуществления события Еь не реализуется само по себе и может зависеть от предыдуших событий. Рос. 8.14 Сходным образом дадим определение условной вероятности. Предположим, что имеются два события А и В. Требуется определить вероятность того, что событие В произойдет, если событие А произошло или наверняка произойдет. Сокращенно будем называть зто вероятностью события В при условии А или РЯЗДЕЛ 8.9. Снова о ввроятносгпи 371 относительно события А. Интуитивно понятно, что предположение о том, что событие А произошло или наверняка произойдет, ограничивает выборочное пространство до А, как показано на рис. 8.14, поэтому событие В ограничено теперь Р(В) Р(А П В) исходами из А П В, и вместо Р(В) =, получаем ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.94.
Вероятность В при условии А, обозначаемая Р(В~А), Р(А й В) Р(А) Это можно также записать в виде Р(А й В) = Р(А)Р(В~А). ПРИМЕР 8.96. Предположим, что из колоды вытягивают карту, затем возвращают ее в колоду и вытягивают вторую карту. Какова вероятность того, что обе карты пиковой мастий Какова вероятность того, что хотя бы одна из карт будет пиковой? Пусть А — множество исходов, когда первая карта — пиковая, а  — множество исходов, когда вторая карта — пиковая. Для ответа на первый вопрос необходимо найти Р(А П В).
Заметим, что 13 1 Р(А) = — = —, 52 4' так как 13 из 52 карт — пиковые. Поскольку первая карта возвращена в колоду, то также имеем 13 1 Р(В~А) = — = —. 52 4 Следовательно, вероятность того, что обе карты — пиковые, равна Р(А п В) = Р(А)Р(В~А) = 1 1 4 4 1 16 Для ответа на второй вопрос необходимо найти Р(А о В), но Р(А) = Р(В) = — = —, 13 1 52 4' поэтому вероятность того, что, по крайней мере, одна из карт — пиковая, равна Р(А ~~ В) = Р(А) + Р(В) — Р(А и В) = 1 1 1 7 = — + — — — = —.
4 4 16 16 372 ГЛАВА 8. Комбонвгпорика и вероятность ПРИМЕР 8.96. Предположим, что карту вытягивают из колоды, но в колоду не возвраи(ают, затем вытягивают вторую карту. Какова вероятность того, что обе карты — пиковые? Какова вероятность того, что хотя бы одна из карт будет пиковой? Пусть А — множество результатов, когда первая карта — пиковая, а  — множество результатов, когда вторая карта — пиковая. Для ответа на первый вопрос необходимо найти Р(АП В). Заметим, что 13 1 Р(А) = — = —, 52 4' поскольку 13 из 52 карт — пиковые. Для нахождения Р(В~А) заметим, что одну пиковую карту вытянули, но не вернули.
Теперь в колоде 51 карта, 12 из которых — пиковые, поэтому Р(В~А) = —. 12 51 Следовательно, вероятность того, что обе карты — пиковые, равна Р(А л В) = Р(А)Р(В~А) =— 1 12 1 4 51 17 Чтобы ответить на второй вопрос нужно найти Р(А и В). Известно, что Р(А) = —. 1 4 Теперь задача состоит в том, чтобы найти Р(В).
Если событие В произошло, то либо две пиковые карты были вытянуты подряд, либо первая карта не была пиковой, а вторая карта была пиковой. Поэтому Р(В) = Р(А П В) + Р(А' П В). Согласно предыдушей теореме Р(А' й В) = Р(А') Р(В ~ А'). Поскольку 39 карт не являются пиковыми, то 39 3 Р(А') = — = — . 52 4 После выбора первой карты среди 51 карты все еще остается 13 пиковых, так что Р(В~А') = —. 13 51 Следовательно, 3 13 13 Р(А' г1 В) =— 4 51 68 1 13 17 1 Р(В) = — + — = — = —. 17 68 68 4 РАЗДЕЛ 8.9. Сновв о вероятности 373 Теперь видно, что когда А неизвестно, то Р(В) является таким же, как если бы В осуществилось без реализации события А.
Можем определить теперь, что Р(А 0 В) = Р(А) + Р(В) — Р(А П В) = 1 1 1 15 = — + — — — = —. 4 4 17 34 ПРИМЕР 8.97. Предположим, что из стандартной колоды, содержащей 52 карты, последовательно вытягиваются 6 карт. Какова вероятность того, что шестая карта — это третья вытянутая карта пиковой масти? Пусть А — событие, при котором две пиковые карты вытянуты за первые пять шагов, а  — событие, при котором пиковая карта вытянута на шестом шаге. Требуется найти Р(А О В).
Опять воспользуемся тем фактом, что Р(А п В) = Р(А)Р(В~А). Количество способов осуществления события А равно количеству способов осуществления того, что вытянуты 2 пиковые карты из 13 возможных, а 3 карты вытянуты из 39 карт, которые не являются пиковыми. Таким образом, /А/=( )( ). /521 Всего имеется ~ ) способов выбора 5 карт из 52. Поэтому 1,5) Для определения Р(В~А) заметим, что поскольку две пиковые карты были выбраны, то существуют 11 способов выбора пиковой карты. Для выбора шестой карты в колоде осталось 47 карт, поэтому Р(В~А) =— 11 47 Ранее было отмечено, что если первую карту вытянули и вернули в колоду, то вероятность, что вторая вытянутая карта — пиковая, не зависит от выбора первой карты.
Когда исход первого события не влияет на исход второго события, говорят, что второе событие независимо от первого события. ЗТ4 ГЛАВА 8. Комбинвторикв и вероятность ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.98. Если Р(В) = Р(В~А), то событие В называется независимым от события А. Поскольку Р(АГ~В) = Р(А)Р(В~А), то для случая Р(В~А) = Р(В) получаем следующую теорему. ТЕОРЕМА 8.99. Если событие В независимо от события А, то Р(А й В) = Р(А)Р(В). ПРИМЕР 8АОО. Предположим, что монету подбрасывают десять раз.
Пусть А— событие, при котором монета падает "решкой" вверх первые девять раз, а В— событие, при котором на десятом шаге монета падает "решкой" вверх. Покажем, что событие В является независимым от события А. Вероятность Р(АПВ) — это вероятность, что десять подбрасываний монеты дадут десять выпадений "решкой" вверх. Всего существует 2'о = 1024 равновозможных исходов, и только в одном из них "решка" выпадает вверх десять раз. Поэтому Р(А й В) = —. 1 1024 Событие А может осуществиться двумя способами.
Все десять выпадений монеты будут "решкой" вверх или первые девять выпадений будут "решкой" вверх, а последнее выпадение будет "орлом" вверх. Следовательно, Р(А) =— 2 1024 Значит, событие В не зависит от события А. Если монета подбрасывается и раз, можно считать, что результат каждого подбрасывания не зависит от результатов прочих подбрасываний. Например, на результат третьего подбрасывания никоим образом не влияют результаты первых двух подбрасываний. Такое событие будем называть повторением независимых испытаний. Предположим, что в эксперименте, состоящем из повторения и независимых испытаний, каждое испытание имеет два возможных исхода: успех и неудача, Пусть р — вероятность успеха и д = 1 — р — вероятность неудачи.
Требуется найти вероятность й успехов в и независимых испытаниях. Если вернуться к нашему примеру с монетой и рассматривать выпадение "решки" как успех, то р = 9 = -'. Если и = 5 и й = 3, то вопрос стоит о вероятности получить три "решки" после пяти подбрасываний монеты. В случае заданного эксперимента с повторением и независимых испытаний для нахождения вероятности й успехов предположим сначала, что они осуществляются в определенном порядке.
Например, первыми реализуются к успехов, а вторыми — и — 9 неудач. Поскольку испытания независимые, то вероятность осуществления й успехов с последующей реализацией п — й неудач равна рад" ь, РЯЗДЕЛ 8.9. Снова о вероятности 375 Фактически, каждое осуществление?с успехов в и независимых испытаниях будет иметь вероятность ряд" ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
