Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Поэтому Р(В) = Р(А + ( — А)) = = Р(А) + Р( — А) Р(В) — Р(А) = Р( — А). Однако, согласно пункту (г), Р( — А) > О. 350 ГЛАВА 8. Комбинвторикв и вероятность Поэтому Р(В) — Р(А) > 0 Р(А) < Р(В). е) Поскольку А С Я, то Р(А) < Р(Б) = 1. Объединяя с пунктом (г), получаем 0<Р(А) <1. ПРИМЕР 8.54. Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух монет обе они не выпадут "решкой". Пусть А — множество исходов, когда обе монеты выпадают не "решкой". Тогда А' — множество исходов, когда обе монеты выпадают "решкой*'. Поскольку существуют четыре возможных исхода, и только при одином из них выпадает две "решки", то 1 1 3 Р(А') = — и Р(А) = 1 — — = — .
4 4 4 ПРИМЕР 8.55. Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух костей сумма показаний не равна семи. Пусть А — множество результатов, когда сумма показаний не равна семи. Тогда А' — множество исходов, когда сумма показаний равна семи. Общее число исходов при подбрасывании двух костей равно 6 х 6. Исходы, при которых сумма равна семи, включают (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) и (6,1). Таким образом )А'! = 6, так что 6 1 1 5 Р(А') = — = — и Р(А) = 1 — — = —. 36 6 6 6 Для полноты изложения приведем следующую теорему.
Принципы, лежащие в основе этой теоремы, более подробно рассмотрены в разделе, посвященном принципу включения-исключения. Данная теорема представляет собой обобщение теоремы 8.6. ТЕОРЕМА 8.56. Если А и  — множества исходов эксперимента, то Р(А ш В) = Р(А) + Р(В) — Р(А п В). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На рис. 8.12 показано, что А= (А — В) о(АОВ), В = ( — А) ш(АОВ), и АОВ= (А — В)и(Аг~В)ш( — А), где (А — В), (А и В) и ( — А) — попарно непересекающиеся множества. Рис. 8.12 РИЗАМ)ЕЛ 8.5. Введение вероятности 354 Поэтому, по теореме 8.6 имеем Р(А) = РИА — В) и (А О В)) = Р(А — В) + Р(А п В), Р(В) = РИ — А) ы (А и В)) = Р( — А) + Р(А о В), Р(АоВ) = РИА — В) и(АиВ) и( — А)) = = Р(А — В) + Р(А й В) + Р( — А).
Следовательно, Р(А)+Р(В) = (Р(А — В)+Р(АпВ))+(Р( — А)+Р(АИВ)) = = (Р(А — В) + Р(А П В) + (Р( — А)) + Р(А П В) = = Р(А 0 В) + Р(АпВ), так что Р(А и В) = Р(А) + Р(В) — Р(А п В). ПРИМЕР 8.57. Найдем вероятность того, что при случайном выборе номерного знака для автомашины, содержащего три буквы и три цифры, совпадут три буквы или совпадут три цифры. Пусть  — множество всех номерных знаков, содержащих три буквы и три цифры. Пусть А — множество исходов, когда три буквы совпадают, а  — множество исходов, когда совпадают три цифры. Если три буквы совпадают, то существует 26 способов выбора букв и 10 х 10 х 10 = 1000 способов выбора цифр.
Следовательно, (А) = 26000. Если цифры совпадают, то существует 26 х 26 х 26 = 17576 способов выбора букв и 10 способов выбора цифр. Поэтому (В) = 175760. Если все буквы одинаковые и все цифры одинаковые, то существует 26 способов выбора букв и 10 способов выбора цифр. Поэтому )А П В! = 260. Уже было показано, что существуют 26 х 26 х 26 х 10 х 10 х 10 = 17576000 различных способов создать номерной знак для автомашины, включающий три буквы и три цифры. Следовательно, 26,000 175,760 260 17 576 000' 17 576 000 17 576 000 ' так что 26 000 175 760 260 17 576 000 17 576 000 17 576 000 201 500 17 576 000 2 015 175 760 .011465. 362 ГЛЛВА 8. Комбинаторика и вероятность ° УПРАЖНЕНИЯ выпавших очков равна а) 4; б) 7; в) 8; г) 9; вероятность вытягивания 8. Если номерной знак автомобиля содержит три буквы и последующие три 9.
После опроса 250 телезрителей оказалось, что 86 человек любят смотреть 3 4 Подбрасываются две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма д) 10 или больше. Найдите вероятность того, что на обеих костях выпадет одинаковое коли- чество очков. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет четна. Карта вытягивается из стандартной колоды, содержащей 52 карты. Найдите а) валета, королевы, короля или туза (картинка); б) пиковой карты; в) королевы или пиковой карты; г) картинки или червовой карты. Из урны, в которой лежат 12 красных, 8 синих, 6 белых и 10 желтых шаров, вытягивается шар. Найдите вероятность вытягивания а) красного шара; б) белого или желтого шара; в) не белого шара; г) шара, который не будет ни синим, ни белым. Буква случайным образом выбирается из английского алфавита.
Какова ве- роятность выбора гласной буквы? Положительное целое число, меньшее 302, выбирается случайным образом. Найдите вероятность того, что это число а) делится на 3; б) делится на 3 и на 7; в) делится на 3 или на 7; г) не делится на 3 или на 7. Положительное целое число, меньшее 101, выбирается случайным образом.
Найдите вероятность того, что это число а) делится на простое число; б) есть произведение двух (не обязательно различных) простых чисел; в) есть произведение двух различных простых чисел; г) есть произведение трех различных простых чисел. Пять положительных целых чисел, меньших 10, выбираются случайным об- разом. Какова вероятность того, что все они различны? цифры, то какова вероятность, что сумма трех цифр четна? Какова вероят- ность, что все буквы гласные? Какова вероятность, что хотя бы одна из букв не является гласной? новости, 100 человек предпочитают спорт, 90 человек — комедии, 23 человека любят смотреть новости и комедии, 35 смотрят спорт и комедии, 33 человека РАЗ?7ЕЛ 8.5. Введение вероятности 353 смотрят новости и спорт, 10 человек смотрят все три вида передач.
Для интервью телезритель выбирается случайным образом. а) Какова вероятность, что он смотрит новости, но не смотрит спорт? б) Какова вероятность, что он смотрит новости или спорт, но только не комедии? в) Какова вероятность, что он не смотрит ни новости, ни спорт? г) Какова вероятность, что он смотрит новости и спорт, но только не комедии? 10.
Если у игрока на руках 13 карт, то какова вероятность того, что он имеет а) 5 карт одной масти? б) 6 карт одной масти? в) 7 карт одной масти? г) 8 карт одной масти? д) 9 карт одной масти? 11. У игрока на руках пять карт. Какова вероятность того, что среди них а) две карты одного ранга (например, два короля)? б) три карты одного ранга (например, три туза)? в) на руки стрит-флэш (например, 2,3,4,5,6 одной масти)? г) на руки флэш-рояль (например, А,К, 9,.7,10 одной масти )? д) на руки флэш (например, пять червей)? е) на руки стрит (например, 2,3,4,5,6 одной масти)? 12. В группе из 100 студентов, 40 изучали французский, 50 — испанский, 40— немецкий, 12 студентов изучали французский и испанский, 13 — испанский и немецкий, 15 — французский и немецкий, и 10 студентов не изучали ни один из трех языков. Если студент выбран случайным образом, то а) какова вероятность, что он изучал только французский? б) какова вероятность, что он изучал испанский или немецкий? в) какова вероятность, что он не изучал французский? г) какова вероятность, что он изучал немецкий, но не изучал испанский? д) какова вероятность, что он не изучал ни один из трех языков? 13.
В трех урнах находятся: четыре красных шара и пять синих, шесть красных шаров и три синих, пять красных шаров и два синих, соответственно. Если из трех урн случайным образом выбран один шар, то какова вероятность, что этот шар будет красным? 14. Какова вероятность того, что четырехзначное число, не начинающееся с нуля, имеет среди цифр 3, 5 или 7? 15. Какова вероятность того, что четырехзначное число, не начинающееся с ну- ля, начинается с цифры 3, заканчивается на 5 или одна из его цифр — 7? 16.
Произвольно выбирается трехбуквенное слово, буквы не повторяются. Какова вероятность, что буквы расположены в алфавитном порядке? 17. Какова вероятность того, что произвольное четырехзначное число содержит цифру 7? Какова вероятность того, что оно содержит цифру 4 или 9? 354 ГлдВА 8. комбинаторика и вероятность 8.6. ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ И СОЧЕТАНИЯ Рассмотрим теперь разновидность подсчетов, которые представляют собой нечто промежуточное между перестановками и сочетаниями. На самом деле это обобщение и того, и другого.
Предположим, что требуется определить различные размещения букв в слове миссиссиппи. Проблема состоит в том, что некоторые буквы повторяются. Метод подсчета количества различных размещений букв будет весьма похож на метод подсчета количества сочетаний. Предположим сначала, что все буквы различны. В таком случае существовало бы 11! способов размещения 11 букв. Теперь обратим внимание, что буква "и" встречается четыре раза.
Допуская, что все буквы различны, мы предположили, что каждое размещение букв "и", которое оставляет все другие буквы на своих местах, отличается от других таких размещений. Теперь все такие размещения нужно считать одинаковыми. Таким образом, 4! размещения четырех букв "и" на самом деле являются одним размещением. Для подсчета количества размещений 11 букв, когда 4 буквы "и" уже не рассматриваются как различные, нужно 11! разделить на 4!. Точно так же, для подсчета количества размещений, когда четыре буквы "с" не рассматриваются как различные, нужно еще раз разделить на 4!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
