Главная » Просмотр файлов » Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004)

Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 57

Файл №1127091 Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004)) 57 страницаДж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091) страница 572019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

8.7 Рис. 8.8 РАЗДЕЛ 8.2. Комбинеторный принцип сложения 327 Известно, что 85 человек предпочитают смотреть драмы. Поскольку 75 из них уже перечислены, остальные 10 должны смотреть только драмы. Рассуждая аналогичным образом, получаем, что из 110 тех, кто смотрит спорт, уже перечислены 90 человек, поэтому оставшиеся 20 должны смотреть только спорт.

И наконец, замечаем, что из 120 тех, кто смотрит комедии, 95 уже учтены. Таким образом, 25 человек смотрит только комедии. Если подсчитать количество людей в непересекюшихся подмножествах, то получим число 170. Поэтому 30 человек не смотрят ни спорт, ни комедии, ни драмы (диаграмма Венна, рис. 8.7).

Используя эту диаграмму, можно, например, установить следуюшие факты: 35 человек смотрят драмы, но не спорт; 50 человек смотрят спорт или драму, но не комедии; 55 человек предпочитают только одну из трех программ; 85 предпочитают две программы из трех; 85 человек смотрят комедии или спорт, но только не драмы. ПРИМЕР 8.17. Предположим, что из 100 опрошенных студентов 50 изучают химию, 53 — математику, 42 — физику, 15 — химию и физику, 20 занимаются физикой и математикой, 25 — математикой и химией и 5 студентов изучают все три предмета. а) Сколько студентов изучают хотя бы один из трех перечисленных предметов? б) Сколько студентов не изучают ни один из трех перечисленных предметов? в) Сколько студентов изучают только математику? г) Сколько студентов изучают физику или химию, но не изучают математику? д) Сколько студентов не изучают ни математику, ни химию? Поскольку 5 человек изучают все три предмета, а 15 человек — химию и физику, остаются 10 человек, изучаюших химию и физику, но не изучаюших математику.

Аналогично, 25 — 5 = 20 человек занимаются математикой и химией, но не физикой, и 20 — 5 = 15 человек изучают математику и физику, но не изучают химию. Данную ситуацию изображает диаграмма Венна, приведенная на рис. 8.8. Рис. 8.8 Рис. 8.~ Поскольку 50 студентов изучают химию, и 35 из них уже учтены, то оставшиеся 15 изучают только химию. Аналогично, 53 студента занимаются математикой, и 40 из них уже учтены, поэтому 13 человек изучают только математику. Наконец, 42 студента изучают физику, и 30 из них уже учтены, поэтому 12 человек изучают только физику. а) Суммируя количество людей, принадлежаших семи непересекающимся подмножествам, получаем 90 тех, кто изучает хотя бы один из трех предметов.

328 ГллВА 8. комбинаторика и вероятность б) Поскольку 90 из 100 студентов изучают хотя бы один предмет, то 100 — 90 = 10 человек не изучают ни один из этих трех предметов. в) Из диаграммы Венна следует, что 13 человек изучают только математику. г) Тридцать семь студентов занимаются химией или физикой, но не изучают математику. д) Из диаграммы Венка, изображенной на рис. 8.9, следует, что 75 человек изучают математику или физику.

Поэтому 100 — 75 = 25 студентов не изучают ни математику, ни физику. П ПРИМЕР 8.18. Сколько положительных целых чисел, меньших 1001, делятся на 2, 3 или 5? Сколько положительных целых чисел, меньших 1001, не делятся на 2, 3 или 5? Имеется всего — = 500 целых чисел, которые делятся на 2. Имеется всего — = 333 целых числа, которые делятся на 3. Имеется всего — = 200 целых чисел, которые делятся на 5. Если целое число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6, поэтому существует — = 166 целых чисел, которые делятся на 2 и на 3. Если целое число делится на 2 и 5, то оно делится на 10, поэтому существует — = 100 целых чисел, которые делятся на 2 и на 5.

Если целое число делится на 3 и на 5, то оно делится на 15, поэтому имеется — = 66 целых чисел, которые делятся на 3 и на 5. Наконец, если целое число делится на 2, 3 и 5, то оно делится на 30, и существует целых числа, которые делятся на 2, 3 и 5. Следовательно, количество чисел, которые делятся на 2, 3 или 5, равно 500+ 333+ 200 — 166 — 100 — 66+ 33 = 734.

Количество положительных чисел, которые не делятся ни на одно из указанных целых чисел, равно 1001 — 734 = 267. П Рда~2ЕЛ В.д Комйинеглорный принцип сложения 329 ПРИМЕР 8.19. Сколько неотрицательных целых чисел, меньших 100000, содержат цифры 3, 6 и 9? Пусть универсум 1? будет множеством всех неотрицательных целых чисел, меньших 100000. Следовательно, Щ = 100000. Пусть 5з — множество всех целых чисел, меньших 100000, которые не содержат цифру 3. Пусть 5б — множество всех целых чисел, меньших 100000, которые не содержат цифру 6.

Пусть 5д — множество всех целых чисел, меньших 100000, не содержащих цифру 9. Нас интересует 15з О 5б О 5д(, но ф,'О5,'П5,'~ =!Ц вЂ” 15~ О5б О5,~, 15з О5б О5д! = = 153 ~ + Фб! + 15д 1 153 О 5б! 153 О 5д! 15б О 5д ! + | 53 Й 5б Й 5д !.

Для 5з существуют девять вариантов выбора каждой из пяти цифр, поскольку только цифра 3 исключена. Поэтому 15з! = 9з. Аналогично, 15б) = 15д( = 9'. Поскольку каждая цифра числа из множества 5з О 5б может быть любой, за исключением 3 и 6, то существуют восемь вариантов выбора каждой цифры, по- этомУ фз й 5б) = 8б. Аналогично, (5з О 5д! = 15б Гт 5д) = 8з. КажДаЯ цифРа числа из 5з И 5б О 5д может быть любой, исключаЯ 3, 6 и 9, поэтомУ сУШествУют семь вариантов выбора каждой цифры. Отсюда 15з и 5б О 5д! = 7б. Следовательно, 15з О5б О 5д) = 9б+9б+9з — 8з — 8б — 8з+ 7б = 95650 5з О 5г О 5д = ) Ц вЂ” (5з О 5б О 5д) = 100 000 — 95 650 = 4350. П ° УПРАЖНЕНИЯ 1.

В классе из 200 студентов 120 человек изучают историю Канзаса 1995 — 96 гг., 110 занимаются тестированием продукта "Йогурт И", а 80 студентов делают и то, и другое. Сколько студентов изучают хотя бы один из этих курсов? Сколько студентов не изучают ни одного из них? 2. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 5 или на 7? 3. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 7 или на 11? 4. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 6 или на 10? 5.

Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 10 или на 15? 8. Сколько целых чисел между 1 и 1001 делятся на 10, но не делятся на 40? 7. Сколько целых чисел между 1 и 1001 делятся на 10, но не делятся на 14? 8. Год является високосным, если (а) количество дней в нем делится на 4, но не делится на 100, или (б) если он делится на 400. Сколько високосных годов было между 1001 и 2001 годами? 9. Сколькими способами можно разместить положительные целые числа, меньшие 1О, так чтобы 4 было расположено сразу после 5 или 5 было расположено сразу после 4? Сколько сушествует размещений, в которых 4 и 5 не стоят рядом? ззо ГЛКНА 8.

Комбинвторикв и вероятность Сколькими способами можно разместить положительные целые числа, мень- шие !О, так что 4 было бы расположено сразу после 3 или 7 было бы распо- ложено сразу после 6? Сколько существует положительных целых чисел, содержащих не более пяти цифр, в которых а) первой цифрой является 3? б) последней цифрой является 5? в) первой цифрой является 3 или последней цифрой является 5? г) ни первая цифра не равна 3, ни последняя цифра не равна 5? 10.

11. 12. Сколько целых чисел между 1 и 2003 делится на 3, 5 или 7? 13. Сколько целых чисел между 1 и 2003 делится на 5, 7 или 11? 14. Сколько целых чисел между 1 и 2003 делится на 4, 5 или 6? 15. Сколько целых чисел между 1 и 2003 делится на 6, 7 или 8? социологию, 35 изучают математику и социологию, 20 — историю и социологию, 25 изучают математику и историю, 15 студентов — все три предмета.

а) Сколько студентов изучают хотя бы один из трех предметов? б) Сколько студентов изучают только один из трех предметов? в) Сколько студентов изучают историю или математику, но не изучают социологию? г) Сколько студентов не изучают ровно два из трех предметов? д) Сколько студентов не выбрали историю или математику? 17. Согласно опросу 250 телезрителей, 95 из них нравится смотреть новости, 125 предпочитают смотреть спорт, 125 — комедии, 25 — новости и комедии, 45— спорт и комедии, 35 — новости и спорт, 5 любят все три вида программ. а) Сколько телезрителей смотрят новости, но не смотрят спорт? б) Сколько телезрителей смотрят новости или спорт, но не любят комедии? в) Сколько телезрителей не любят смотреть ни новости, ни спорт? г) Сколько телезрителей смотрят не только спорт? д) Сколько телезрителей смотрят спорт и комедии, но не смотрят новости? 18.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,96 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее