Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Единица группы С единственна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что 1 и е — единицы группы С. Тогда 1 = 1ое = е по определению единицы. ТЕОРЕМА 9.44. В каждой группе обратный элемент для каждого элемента един- ственный. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а — элемент группы С, и оба элемента Ь и с— обратные к элементу а, тогда Ь = 6 о 1 = Ь о (а о с) = (6 о а) о с = 1 о с = с. ТЕОРЕМА 9.45.
Для каждого элемента а группы С имеем (а ') ' = а. Рдздел 9.4. Группы 411 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку а ' оп = а о а ' = 1, то а удовлетворяет определению обратного элемента для а '. Поскольку обратный элемент единственный, то а и является элементом, обратным к а ТЕОРЕМА 9.46. Для элементов а и Ь группы С имеем (а о 6) ' = 6 ' о а ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
(а о Ь) о (Ь ~ о а ') = (а о (Ьо 6 ')) о а ' = (по 1) о а а о а а = 1. Аналогично, (Ь ' о а г) о (а о Ь) = 1, и по определению обратного элемента, и вследствие его единственности имеем (а о Ь) ' = Ь о а Если а — элемент группы С, то обозначим (а ')" = а ь. Пусть ао обозначает единицу 1. Доказательство приведенных ниже теорем оставляем читателю. ТЕОРЕМА 9.47. Пусть С вЂ” группа и а — элемент группы С. а) а" о а "= 1 для всех положительных целых чисел и. б) а~ ч'"> = а™ оа" для всех целых чисел и и гп. в) (а™)" = а " для всех целых чисел тп и и.
г) (а ") = а" для всех целых чисел и. ТЕОРЕМА 9.48. Если а — элемент группы (С, о) и а о а = а, то а = 1, единице группы С. ЛЕММА 9.49. Если С вЂ” конечная группа и а — элемент С, то а' = 1 для некоторого положительного целого числа з. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если С вЂ” конечная группа и а — элемент С, то известно, что ау = а" для некоторых положительных целых чисел з и Й, поскольку только конечное число степеней может быть различно. Пусть ) < й, тогда а Уа" = а 'а' = 1 и а" У = 1. Пусть а = lс — ~.
Пусть р — наименьшее целое число, которое больше 1 и такое, что аг = 1. Элементы 1, а,а~,...,а" ' различны, т.к. если а" = а' для О < т, з < р и т ) а, то а" ' = 1, что противоречит тому факту, что р — наименьшее положительное целое число такое, что а" = 1. Также, если и ) р, то а" = а" для некоторого О < т < р, поскольку если и = рп + т для некоторого О < т < р, то а" = а"е'ь" = ате о а" = (а")е о а' = 1е о а" = 1 о а" = а". ТЕОРЕМА 9.90. Пусть С вЂ” группа и а — элемент С такой, что а' = 1 для некоторого а. Если р — наименьшее положительное целое число такое, что аг = 1, то р ~ ю Целое число р называется порядком а.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р — наименьшее положительное целое число такое, что а" = 1. Как это было сделано выше, положим з = рд+ т для некоторого О < т < р, тогда а' = ага+" = атеа' = (аг)па" = (1)еа" = а'. Следовательно, а' = 1 тогда и только тогда, когда т = О, потому что р — наименьшее положительное целое число, обладающее свойством ат = 1. Снова рассмотрим множество Я = 1т,— г,— 1,1) с операцией умножения. Каков порядок 1? Каков порядок -1 ? 412 ГЛАВА 9. Алгебраические структуры ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.51.
Подмножество Н группы С является подгруппой С, если Н с той же самой операцией, что и С, также является группой. ПРИМЕР 9.62. Пусть (Я, +) — группа целых чисел с операцией сложения. Для положительного целого числа т пусть (тУ, +) — группа всех чисел, кратных гп. Понятно, что это группа, поскольку если сложить два числа, кратных т, то снова получим число, кратное т. Элемент, обратный тг', это — тг' = гп( — 1), П ПРИМЕР 9.63. Пусть (Н, +) — группа действительных чисел с операцией сложения. Тогда группа (Я, +) — рациональные числа со сложением, является подгруппой группы (Л, +).
С) ПРИМЕР 9.64. Пусть (Н+, ) — группа положительных действительных чисел с умножением. Группа Я+, ) положительных рациональных чисел с умножением является подгруппой группы (Н+, ). П ПРИМЕР 9.55. Легко проверить, что (о, +), где Я = ([О[, [2[, [4[) — подгруппа группы (Уе, +). П Чтобы определить, является ли подмножество группы подгруппой, не требуется проверять ассоциативность, поскольку она наследуется от исходной группы. Необходимо проверить наличие обратного элемента и то, что произведение двух элементов из множества принадлежит множеству.
Необходимо убедиться в том, что единица содержится во множестве, но это, как показывает доказательство приведенной ниже теоремы, следует из свойства замкнутости и свойства обратного элемента. Теорема дает альтернативный метод проверки того, что некоторое подмножество группы является подгруппой. ТЕОРЕМА 9.56. Непустое подмножество Н группы (С, ) будет подгруппой тогда и только тогда, когда для всех Ьы Ьз 6 Н имеем Ьг Ьз е Н. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала предположим, что Н вЂ” группа и 6ыЬз е Н. Тогда 6~ ' принадлежит группе, поскольку элемент, обратный элементу группы, тоже принадлежит группе.
Следовательно, по замыканию, 6~6з ' принадлежит Н. Обратно предположим, что для всех 6,, Ьз 6 Н имеем 6, . 6 ' 6 Н. Если 6, е Н, то ЬгЬ, ' е Н, поэтому единица 1 6 Н. Следовательно, для всех Ьз 6 Н имеет место 1.6з ' Е Н и Ьз ' Е Н. Наконец, если Ьы Ьз 6 Н, то 6~. (Ьз ') ' = 6~.6з 6 Н. Поэтому Н вЂ” группа. Доказательство приведенной ниже теоремы оставляем читателю. ТЕОРЕМА 9.57. Если д — элемент группы С такой, что д" = 1 для некоторого и, и р — наименьшее положительное целое число такое, что др = 1, тогда множество (д,д,...,др) является подгруппой группы С. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.58. Множество (д,д~,...,дг) называется пипликеской группой или, точнее, циклической группой, порожденной д.
Она обозначается через (д). РАЗДЕЛ 9.4. Группы 413 Еше раз рассмотрим множество В = (г, — г, — 1, 1) с умножением. Это циклическая группа. Что может быть использовано в качестве д? Найдите две подгруппы группы В. Являются ли они циклическими? Доказательство приведенной ниже теоремы оставляем читателю. ТЕОРЕМА 9.69. Пусть (С, ) — группа и аы аз, аз,..., аь е С.
Пусть А = (ам аз, аз, ...,аь) и А = (ам аз,аз,...,аь) — множество всех конечных произведений элементов аз, аз,аз,...,аь и обратных к ним. Тогда А — группа. Более того, А*— наименьшая подгруппа группы С, содержашая А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.60. Подгруппа А' называется группой, порожденной множеством А. Если для каждого собственного подмножества В множества А имеем В* ф А, тогда А называется порождающим множеством для А*. Если множество А порождает группу С и никакое собственное подмножество множества А не порождает С, тогда А называется минимальным порождающим множеством для группы С.
В циклической группе порождающее множество может быть образовано одним элементом. Возможно ли иметь минимальное порождаюшее множество более чем из одного элемента? ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.61. Для подгруппы Н группы С и произвольного а из С а о Н = (х: х = а о и для некоторого?г из Н) называется левым смежным классом подгруппы Н группы С. ПРИМЕР 9.62. Ранее было показано, что множество У целых чисел с бинарной операцией сложения, +, является группой. Пусть Н = (и; п Е 4, и и = 5Й для некоторого целого числа к) = = (..., -10, -5,0,5, 10,15,20,...). Покажем, что Н является подгруппой группы 2. Понятно, что Н С 4,.
Множество Н замкнуто относительно сложения, поскольку если з Е Н и г Е Н, то з = 51 и Г = 5З для соответствуюШих целых чисел г и ~. Таким образом, з + 8 = 51 + 53 = 5(г + З) = 5к для к = г'+ З, так что з+ г принадлежит Н. Единичный элемент Н является единичным элементом С, а именно, О. Каждый элемент Н имеет обратный элемент относительно + в Н, потому что если г = 5к Е Н, то 1 г=5( — й), Теперь рассмотрим левые смежные классы подгруппы Н, генерируемые различными элементами множества 4,.
Пусть а о Н = а+ Н = (х: х = а + И, для некоторого Ь Н), тогда 0 + Н = (х:х = 0 + ?г для некоторого и из Н) = = (...,-10, -5,0,5,10,15,20,...); 414 ГПАВА д. Алгебраические структуры 1+ Н = (х: х = 1+ 6 для некоторого 6 из Н) = = (...,-9,-4,1,6,11,16,21,...); 2+ Н = (х: х = 2+ 6 для некоторого 6 из Н) = = (..., -8, -3,2,7,12, 17,22,...); 3 + Н = (х;х = 3 + 6 для некоторого 6 из Н) = = (...,-7,-2,3,8,13,18,23,...); 4 + Н = (х: х = 4 + 6 для некоторого 6 из Н) = = (..., -б, — 1,4,9,14,19,24,...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
