Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Таким образом, снова получен класс вычетов к,з, поскольку а+ Н = [а), и пять левых смежных классов подгруппы Н образуют разбиение исходной группы Я. П ЛЕММА 9.63. Для фиксированной подгруппы Н группы С левые смежные классы подгруппы Н группы С образуют разбиение группы С. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Каждый левый смежный класс непустой, поскольку для левого смежного класса аоН; элемент а = ао1 находится в аоН. Предположим, что пересечение а о Н и Ь о Н непустое; пусть элемент с принадлежит пересечению.
Следовательно, с = а о 6 = Ьо 6' для некоторых 6 и 6' из Н. Умножая обе части уравнения на 6 ', получаем а о 6 о И. ' = Ь о И, 'о И. ', поэтому по определению обратного элемента имеем а = Ь о (И, ,'о 6 '). Поскольку 6' о 6 ' принадлежит Н, то элемент а содержится в Ь о Н. Следовательно, а о 6 содержится в Ь о Н для всех 6 из Н, поэтому а о Н С Ь о Н. Аналогично, Ь о Н С а о Н и Ьо Н = а о Н.
Следовательно, левые смежные классы образуют разбиение группы С. ЛЕММА 9.64. Если С вЂ” конечная группа и Н вЂ” подгруппа группы С, то все левые смежные классы подгруппы Н группы С содержат одно и то же количество элементов, а именно, количество элементов, которое находится в подгруппе Н. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а о Н вЂ” левый смежный класс подгруппы Н из С.
Определим 7": Н вЂ” аоН таким образом: 7" (6) = ао6. Читателю остается показать, что 7" представляет собой взаимно однозначное соответствие, или биекцию. ° ТЕОРЕМА 9.65. (Лагранж) Если С вЂ” конечная группа и Н вЂ” подгруппа группы С, то порядок Н делит порядок С. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если р — порядок Н, д — количество левых смежных классов Н в С и и — порядок С, то согласно двум предыдущим леммам и = рд. ° ТЕОРЕМА 9.66. Если С вЂ” группа порядка и и д приналежит С, то д" = 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р — наименьшее положительное число такое, что дк = 1 и Н = (д,дг,...,д"). Тогда Н вЂ” подгруппа с р элементами и, следовательно, р делит и. Пусть и = рд, таким образом, д" = д"т = (дл)е = 1т = 1. РАЗДЕЛ 9.5 Группы и гомоморфозмы 415 ° УПРАЖНЕНИЯ 1. Составьте таблицу сложения и умножения для У4. 2. Составьте таблицу сложения и умножения для г,т. 3.
Вычислите [1] о [2] о [3] в 24. 4. Вычислите [Ц о [2) о [3) о [4] в г т. 5. В Его найдите элемент, обратный [7) относительно умножения. 6. В Еш найдите все такие а, что [а] о [6) = [О). 7. Пусть 2„= ([О], [1], [2],..., (и — 1]) для некоторого целого числа и. Пусть 5 = ([5): й положительное и взаимно простое с и). Является ли 5 группой с операцией умножения? 8.
При выполнении каких условий Я„будет группой с операцией умножения? 9. Докажите, что числа, кратные 3, образуют подгруппу целых чисел с операцией сложения. Опишите соответствующие смежные классы этой подгруппы. 10. Докажите, что числа, кратные 3, образуют полугруппу целых чисел с операцией умножения. Почему они не образуют группу? П. Докажите, что множество классов вычетов по модулю 6 образует группу относительно сложения.
Будут ли они образовывать группу относительно умножения? 12. Докажите теорему 9.47. Пусть С вЂ” группа и а — элемент группы С. а) а" о а "= 1 для всех положительных целых чисел и. б) аб" ""~ = а™ о а" для всех целых чисел и и т. в) (а"')" = а " для всех целых чисел т и и. г) (а ") ' = а" для всех целых чисел и. 13. Докажите теорему 9.57. Если д — элемент группы С такой, что д" = 1 для некоторого и, и р — наименьшее положительное целое число такое, что дп = 1, тогда множество (д, дз,...,д") является подгруппой группы С. 14. Докажите теорему 9.48. Если а — элемент группы (С,о) и а о а = а, то а = 1, единице группы С.
9.5. ГРУППЫ И ГОМОМОРФИЗМЫ Существуют специальные функции на множестве групп такие, что некоторые свойства области определения сохраняются в образе функции. Например, образы подгрупп из области определения являются подгруппами в области значений. Такие функции называются гомоморфизмами. Обратите внимание, что группы являются полугруппами, и это определение гомоморфизма пригодно также для полугрупп. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.67.
Пусть (С, ° ) и (Н,*) — группы, где ° и * — операции на С и Н соответственно. Пусть 7': С вЂ” Н вЂ” функция. Функция 7' называется гомоморфизмам, если 7(дед') = 7(д)*7(д') для всех д и д' из С. Гомоморфизм 7" назывется мономорфизмом, если функция 7' — инъекция, зииморфизмом, если функция 7" — сюръекция, и изоморфизмом, если функция 7' — биекция. 416 ГЛАВА 9. Алгебраические структуры ПРИМЕР 9.68. В примере 9.62, где Н = (и: и Е У и и = 5)с для некоторого цело- го числа й) является подгруппой группы У, множество левых смежных классов подгруппы Н имеет вид И" = (О+ Н,1+ Н2+ Н 3+ Н4+ Н). Определим сложение левых смежных классов следующим образом: (а + Н) ® (Ь+ Н) = (а + Ь) + Н, где сложение (а+ Ь) есть сложение целых чисел а и Ь.
Несложно показать, что определение операции Ф не зависит от представления а+ Н и Ь+ Н. Легко показать, что для группы (Яз, +) классов вычетов по модулю 5 функ- ция Г: к,з — И~, определенная соотношением Яй]) = )с+ Н, является гомоморфизмом между группами (Яз, +) и (Иг, Ю) и также является изоморфизмом. Рассмотрим две группы (Я, +) и (Яз, +) и функцию д: Я вЂ” Яз, определен- ную таким образом: д(а) = [а]. Функция д является гомоморфизмом, поскольку д(а+ 6) = [а+ Ь] = [а]+ [6] = д(а) + д(6). Гомоморфизм д является эпиморфизмом, поскольку ясно, что для любого заданного элемента [с] из группы Яз имеем д(с) = [с].
Е) ПРИМЕР 9.69. В одной из задач, рассмотренных в разделе 5.8, показано, что (и х и)-матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее детерминант не равен О. Хотя этот вопрос выходит за рамки данной книги, можно показать, что функция вычисления детерминанта представляет собой гомоморфнзм из мно- жества (и х и)-матриц с действительными (или рациональными) элементами с операцией умножения на множество действительных (или рациональных) чисел с умножением. Следовательно, если определитель каждой из матриц не равен нулю, то определитель их произведения тоже не равен нулю. Отсюда следует, что произведение двух матриц, каждая из которых имеет обратную, также обрати- мо.
Следовательно, множество таких (и х и)-матриц образует группу с операцией умножения, которая называется группой несингулярных матриц. Если опреде- литель матрицы М имеет ненулевое значение г, то чему равен определитель матрицы М '7 П Доказательство приведенных ниже теорем оставляем читателю. ТЕОРЕМА 9.70. Пусть 7: С вЂ” Н вЂ” гомоморфизм из группы С в группу Н и 1 — единица группы С. Тогда 7'(1) — единица группы Н. ТЕОРЕМА 9.71. Пусть Г: С вЂ” Н вЂ” гомоморфизм из группы С в группу Н и д'— элемент, обратный элементу д из С.
Тогда Г(д') есть элемент, обратный элементу Г(д) из Н. ТЕОРЕМА 9.72. Если Г: С вЂ” Н вЂ” гомоморфизм из группы С в группу Н и К— подгруппа группы Н, то г' '(К) — подгруппа группы С. ТЕОРЕМА 9.73. Если 7': С вЂ” Н вЂ” гомоморфизм из группы С в группу Н и К— подгруппа С, то Г(К) — подгруппа группы Н. РАЗДЕЛ 9.5. Группы и гомоморфигмы 417 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.74. Для подмножеств Н и К группы (С, о) пусть Н о К = (й о й: й Е Н,й Е К). Если Н = (й), то Н о К обычно записывают как йК.
Доказательство приведенной ниже теоремы оставляем читателю. ТЕОРЕМА 9.76. Если Н, 1 и К вЂ” подмножества группы (С, о), то (Н о.1) о К = Н о (.1 о К). В примере 9.68 показано, что группа делится на классы и эти смежные классы можно "перемножать" (в том случае умножением групп было сложение целых чисел). В обшем случае это не всегда возможно. Тем не менее, будет показано, что если подгруппа, которая используется для формирования смежных классов, обладает определенными свойствами, то имеется возможность перемножения смежных классов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.76.
Если Н вЂ” подгруппа группы (С,о), обладаюшая свойством дНд ' = Н для всех д е С, то такая группа Н называется нормальной подгруппой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.77. Пусть 1: С вЂ” ~ Н вЂ” гомоморфизм из группы С в группу Н. Ядром гомоморфизма 1' называется множество (х: х е С и 1(х) = Ц = '((1)), где 1 — единица группы Н.
Доказательство приведенной ниже теоремы оставляем читателю. ТЕОРЕМА 9.78. Ядро гомоморфизма 1: С вЂ” Н есть нормальная подгруппа группы С. ТЕОРЕМА 9.79. Подгруппа Н группы (С,о) является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда дН = Нд для всех д Е С. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что подгруппа Н нормальна в группе С, так что дНд ' = Н для всех д Е С.
Пусть дй Е дН. Поскольку дНд г = Н, то дйд ' = 61 для некоторого й' Е Н. Следовательно, дй = й'д и дй Е Нд, поэтому дН С Нд. Аналогично, Нд С дН. Доказать утверждение в обратную сторону предоставляется читателю. ТЕОРЕМА 9.80. Если Н вЂ” подгруппа группы (С, о), то Н о Н = Н ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что Н вЂ” группа. Тогда по определению замыкания Н о Н С Н. Поскольку Н вЂ” группа, то для й е Н имеем й = й о 1, где 1 — единица группы С, а значит, и группы Н. Поэтому й е Н о Н и Н с Н о Н. Таким образом, Н = Но Н. Обратная теорема неверна.
Однако, если Н вЂ” множество положительных целых чисел с обычным умножением, то Н = Н о Н, но Н не является группой. ТЕОРЕМА 9.81. Если Н вЂ” нормальная подгруппа группы (С,о), то а6Н (аН)(6Н) для всех а,6 Е С. 418 ГлдВА 9. Алгебраические структуры ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для а,Ь Е С, СЛЕДСТВИЕ 9.82. Если Н вЂ” нормальная подгруппа группы (С,о), то смежные классы подгруппы Н в группе С образуют группу относительно операции (аН)(ЬН) = аЬН.
Эта группа называется фактор-группой и обозначается С7Н. СЛЕДСТВИЕ 9.83. Если 7": С вЂ” С/Н определить соотношением 7"(а) = аН, то 7 — гомоморфизм. Доказательство приведенных ниже теорем предоставляется читателю. ТЕОРЕМА 9.84. Если 7: С вЂ” С' — гомоморфизм из группы (С,о) в группу (С', о), то Н = (х: 7(х) = 1, единице группы С') будет подгруппой группы С. ТЕОРЕМА 9.88. Если 7': С вЂ” Н вЂ” гомоморфизм из группы С в группу Н и К— подгруппа группы Н, то )' '((1)), где 1 — единица группы Н, есть нормальная подгруппа группы С.
В разделе 4.2 показано, что перестановки на конечном множестве замкнуты относительно бинарной операции композиции. Было также показано, как найти перестановку, обратную данной. Как и другие функции, эти перестановки ассоциативны относительно композиции. Следовательно, множество всех перестановок фиксированного конечного множества образует группу относительно бинарной операции композиции. Множество всех перестановок и элементов называется симметрической группой и обозначается Я„. ПРИМЕР 9.86. Вспомним, что если 7 перестановка на множестве (1,2,3,...,и), то ее можно представить в виде с 1 2 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
