Н.М. Новикова - Курс лекций (1125270), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

.)(((()))(())()),(()),)(()),. .( ) |:(())()(),,()p0 / p:kORREKTNOSTX UPRO]ENIQ WYTEKAET IZ POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTIZADA^I K SAMOJ SEBE NO S DRUGOJ NEIZBYTO^NOJ KODIROWKOJ I SLEDU@]EGO O^EWIDNOGO UTWERVDENIQ TRANZITIWNOSTI OTNO[ENIQ /uTWERVDENIE 3. eSLI p1 / p2 I p2 / p3; TO p1 / p3sU]ESTWENNYM DLQ TEORII SLOVNOSTI QWLQETSQuTWERVDENIE 4. eSLI p0 / p I p 2 P; TO I p0 2 PdOKAZATELXSTWO.

oBOZNA^IM a dmt RE[A@]U@ p S POLINOMIALXNOJ WREMENNOJ SLOVNOSTX@ I POSTROIM dmt A0 RE[A@]U@ p0 S POLINOMIALXNOJ WREMENNOJ SLOVNOSTX@ KAK SUPERPOZCI@dmt A I Af A0 A Af ; T E SNA^ALA K L@BOMU WHODNOMU SLOWU0 2 e0 D p0 0 PRIMENQETSQ Af ; A0 POTOM K POLU^IW[EMUSQ SLOWU f DLINOJ NE BOLEE pf j j PRIMENQETSQ A wREMENNAQSLOVNOSTX A0 TA0 TAf TA pf POLINOMaNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ PRI ZAMENE SLOWA dmt NA ndmtuTWERVDENIE 5.

eSLI p0 / p I p 2 NP; TO I p0 2 NP(,,-|.)..,-,,-,:(=((=. .)))-(|(( )( )+))(.( )) |.().13oPREDELENIE 7. mASSOWAQ ZADA^A p NAZYWAETSQ NP-POLNOJ ILIUNIWERSALXNOJ, ESLI p 2 NP I 8p0 2 NP p0 / p (T.E. L@BAQ NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNAQ ZADA^A POLINOMIALXNO SWODITSQK p). kLASS WSEH NP-POLNYH ZADA^ (RASPOZNAWANIQ SWOJSTW) OBOZNA^AETSQ NPC (NP-complete).nEPUSTOTU KLASSA NPC DOKAZAL s. a.

kUK W 1971 G. iM BYLA RASSMOTRENA ZADA^A O WYPOLNIMOSTI (wyp): WYQSNITX WYPOLNIMOSTXKON_@NKTIWNOJ NORMALXNOJ FORMY (knf) | KON_@NKCII KONE^NOGO^ISLA DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ, T.E. DIZ_@NKCIJ BULEWYH PEREMENNYH zi ILI IH OTRICANIJ zi . a IMENNO, W ZADA^E wyp TREBUETSQRASPOZNATX DLQ knf NA WHODE, SU]ESTWUET LI WYPOLNQ@]IJ NABORz0 (DLQ KOTOROGO ZNA^ENIE knf RAWNO 1).tEOREMA 2wyp 2 NPCdOKAZATELXSTWO POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI K wyp L@BOJNEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ ZADA^I OSNOWANO NA FORMALXNOJ ZAPISI USLOWIQ PRINADLEVNOSTI SLOWA QZYKU IZ KLASSA NP TOGO ^TO PRINIMAETSQ NEKOTOROJ ndmt A ZNA^IT I KAKOJ TO dmt(S. A. Cook)..-(,,,--)W WIDE NABORA DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ OT SPECIALXNO WWODIMYH BULEWYH PEREMENNYH SWQZANNYH S SOSTOQNIQMI dmt W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI I QWLQETSQ NEDOSTATO^NO PROSTYM DLQ WWODNOGO KURSA SMpO\TOMU MY LI[X UBEDIMSQ W TOM ^TO wyp 2 NPdEJSTWITELXNO WHODNOE SLOWO PARAMETRY OPREDELQ@]IE INDIWIDUALXNU@ ZADA^U WYPOLNIMOSTI SODERVIT ^ISLO DIZ_@NKTIWNYHFUNKCIJ W knf I UKAZANIE DLQ KAVDOJ IZ NIH KAKIE PEREMENNYEWHODQT S OTRICANIEM A KAKIE NE WHODQT WOOB]E dLINU TAKOGO SLOWAMOVNO OGRANI^ITX SNIZU SUMMOJ DLIN DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ PONIMAQ POD DLINOJ FUNKCII ^ISLO EE PEREMENNYH ILI ^ISLO ZNAKOWDIZ_@NKCIIeSLI TEPERX W KA^ESTWE PODSKAZKI DLQ OPREDELQEMOJ WHODNYM SLOWOM knf WZQTX z0 WYPOLNQ@]IJ EE NABOR TOWY^ISLENIE NA NEM ZNA^ENIQ knf PROWERKA WYPOLNIMOSTI POTREBUET TAKOGO VE PO PORQDKU ^ISLA [AGOWiZ OPREDELENIQ NP POLNOTY NEPOSREDSTWENNO SLEDUETuTWERVDENIE 6.

eSLI P \ NPC 6 ; TO P NP a ESLINPC \ NP n P 6 ; TO NPC NP n PtAKIM OBRAZOM ESLI BY UDALOSX NAJTI POLINOMIALXNYJ ALGORITM RE[ENIQ HOTX ODNOJ NP POLNOJ ZADA^I TO BYLI BY POSTROENY-,-,(-. [1,2]).,,(.,-),,.,-(+ 1).-|,()-.-=() =,,=..,--,14POLINOMIALXNYE ALGORITMY RE[ENIQ WSEH NP POLNYH ZADA^ I WSEHZADA^ IZ KLASSA NP A ESLI DLQ KAKOJ LIBO NP POLNOJ ZADA^I DOKAZATX OTSUTSTWIE POLINOMIALXNOGO ALGORITMA EE RE[ENIQ TO \TONE TOLXKO DAET STROGOE WKL@^ENIE P NP T E OTWET K OSNOWNOJPROBLEME TEORII SLOVNOSTI NO I WLE^ET ZA SOBOJ DOKAZATELXSTWO NEWOZMOVNOSTI POSTROENIQ POLINOMIALXNOGO ALGORITMA RE[ENIQ L@BOJ ZADA^I IZ KLASSA NPC pOSKOLXKU NI TOGO NI DRUGOGO POKA NESDELANO S^ITAETSQ ^TO ZADA^I IZ NPC OTWE^A@T VITEJSKOMU PREDSTAWLENI@ O TRUDNOJ ZADA^E I WRQD LI DOPUSKA@T \FFEKTIWNOE RE[ENIE pO\TOMU ESLI WSTRE^AETSQ ZADA^A DLQ KOTOROJ NA PRAKTIKENE UDAETSQ PRIDUMATX NEPEREBORNYJ ALGORITM TO IMEET SMYSL POPYTATXSQ DOKAZATX EE NP POLNOTU ^TOBY OPRAWDATX PRIMENENIE KNEJ TEH ILI INYH PEREBORNYH SHEM3 pOSLE TOGO KAK BYLA USTANOWLENA NEPUSTOTA KLASSA NPC TEOREMOJ kUKA POQWILASX WOZMOVNOSTX DOKAZATELXSTWA NP POLNOTYMASSOWOJ ZADA^I p PUTEM POLINOMIALXNOGO SWEDENIQ K p ODNOJ IZIZWESTNYH NP POLNYH ZADA^ SOOTWETSTWU@]IJ SPISOK SM WdEJSTWITELXNO IZ UTWERVDENIQ SLEDUETtEOREMA 3 KRITERIJ NP-POLNOTY mASSOWAQ ZADA^A p RASPOZNAWANIQ SWOJSTW NP POLNA TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA ONA PRINADLEVIT KLASSU NP I K NEJ POLINOMIALXNO SWODITSQ KAKAQ LIBONP POLNAQ ZADA^Afp 2 NPCg () fp 2 NP I 9p0 2 NPC p0 / pg:pOLXZUQSX TEOREMOJ MOVNO POKAZATX NP POLNOTU ZADA^I O SU]ESTWOWANII CELO^ISLENNOGO RE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTWS CELYMI KO\FFICIENTAMI cln-,---,(.

.),--.,,,--.,,,--,..(),---(,.[1]).3().--,---::3,--uTWERVDENIE 7. cln 2 NPCdOKAZATELXSTWO. cln 2 NP TAK KAK PODSKAZKOJ MOVET()..1),SLUVITX RE[ENIE SISTEMY A EGO PROWERKA SWODITSQ K UMNOVENI@ NAZADANNYE KO\FFICIENTY I SLOVENI@ ^TO NE PREWOSHODIT POLINOMAOT DLINY ZAPISI WSEH KO\FFICIENTOW DOKAZATELXSTWO POLINOMIALXNOSTI DLINY ZAPISI RE[ENIQ SM W Swyp / cln oB]IJ WID SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTW,,(.2)[2,-.

330]).aj1z1 aj2z2 ::: ajnzn bj ; j.+++;:::;m:= 1nETRUDNO PREDSTAWITX W PODOBNOJ FORME USLOWIE ISTINNOSTI DIZ_@NKTIWNOJ FUNKCII dLQ \TOGO ZAMENIM W KAVDOJ j J FUNKCII ZNAKI.--15DIZ_@NKCII ZNAKAMI SUMMY A OTRICANIQ PEREMENNYH zi NA ziI NAPI[EM DLQ POLU^IW[EJSQ LINEJNOJ FUNKCII USLOWIE DOBAWIW OGRANI^ENIQ zi I zi NA WSE PEREMENNYE cELO^ISLENNOERE[ENIE z0 fzi0g SISTEMY WSEH POSTROENNYH NERAWENSTW QWLQETSQ WYPOLNQ@]IM NABOROM DLQ ISHODNOJ knf TAK KAK ISTINNOSTXknf \KWIWALENTNA ISTINNOSTI WSEH OBRAZU@]IH EE DIZ_@NKTIWNYHFUNKCIJ tAKIM SPOSOBOM RE[ENIE L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^IO WYPOLNIMOSTI SWODITSQ K RE[ENI@ NEKOTOROJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I I 2 cln pOLINOMIALXNOSTX SWEDENIQ O^EWIDNAzAMETIM ^TO FAKTI^ESKI W P DANNOGO DOKAZATELXSTWA DOKAZANBOLEE SILXNYJ REZULXTAT O SWEDENII wyp K PODZADA^E cln ZADA^E O SU]ESTWOWANII BULEWA RE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTWS CELYMI KO\FFICIENTAMI bln dOKAZATELXSTWO PRINADLEVNOSTIbln KLASSU NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH ZADA^ POWTORQETP DANNOGO DOKAZATELXSTWA BEZ SSYLKI NA TAK KAK POLINOMIALXNOSTX DLINY BULEWA RE[ENIQ O^EWIDNA TEM SAMYM POLU^ENO I,|(11,01)-.=-().-..,.2|(-)..1[2] (uTWERVDENIE 8.

bln 2 NPCx3. kLASSY SLOVNOSTI.sILXNAQ NP-POLNOTA I PSEWDOPOLINOMIALXNOSTX-),.dOKAZATELXSTWO NP-POLNOTY ZADA^I O 3-WYPOLNIMOSTI. wZAIMOOTNO[ENIE KLASSOW r, Nr I Nrs, Nr I SO-Nr. NP-TRUDNYEZADA^I. kLASS rSrase. pSEWDOPOLINOMIALXNYE ALGORITMY. pRIMER DLQ ZADA^I O R@KZAKE. sILXNAQ NP-POLNOTA. tEOREMA O SWQZI SILXNOJ NP-POLNOTY ZADA^I S SU]ESTWOWANIEM PSEWDOPOLINOMIALXNOGO ALGORITMA EE RE[ENIQ.1.

kROME ZADA^I O WYPOLNIMOSTI, NP-POLNOTA WSEH OSTALXNYHIZWESTNYH ZADA^ IZ KLASSA NPs (W TOM ^ISLE I km) BYLA DOKAZANANA OSNOWE TEOREMY 3 S POMO]X@ POLINOMIALXNOGO SWEDENIQ. oB]IERECEPTY DOKAZATELXSTWA POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI (SM. W [1]) LEGKO ISPOLXZOWATX LI[X W PROSTEJ[IH SLU^AQH. ~TOBY NAU^ITXSQ IHPRIMENQTX, NADO RAZOBRATX BOLX[OE ^ISLO PRIMEROW (W ^ASTNOSTI,IME@]IESQ W [1,2]), NA ^TO U NAS W RAMKAH DANNOJ RABOTY NET WOZMOVNOSTI.

oDNAKO, E]E ODIN PRIMER BUDET DALEE PRIWEDEN S CELX@POKAZATX, ^TO NE TOLXKO L@BAQ PODZADA^A SWODITSQ K SOOTWETSTWU@]EJ ZADA^E (AWTOMATI^ESKI), NO WOZMOVNO I OBRATNOE SWEDENIE.16rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ ZADA^I O WYPOLNIMOSTI KOGDA Wknf MOGUT WHODITX LI[X DIZ_@NKTIWNYE FUNKCII TREH PEREMENNYH 3-wyp pOSKOLXKU D(3-wyp)D(wyp) TO PO OPREDELENI@ 3-wyp/wyp tAK ^TO 3-wyp2NP PO UTWERVDENI@ nOEE NP POLNOTA TREBUET SPECIALXNOGO DOKAZATELXSTWA IBO ^ASTNYEMASSOWYE ZADA^I SODERVAT MENX[E INDIWIDUALXNYH ZADA^ I MOGUTOKAZATXSQ PRO]E NAPRIMER ANALOGI^NAQ ZADA^A 2-wyp POLINOMIALXNA dLQ POLU^ENIQ REZULXTATA 3-wyp 2 NPs DOKAVEM ^TO NPPOLNAQ ZADA^A O WYPOLNIMOSTI SWODITSQ K SWOEJ PODZADA^E ^ASTNOMUSLU^A@ 3-wyp,-().,.-(5).-,;,-.,-(uTWERVDENIE 9.

wyp / 3-wypdOKAZATELXSTWO. pOKAVEM ^TO PROIZWOLXNU@ DIZ_@NKTIWNU@FUNKCI@ f j zj k PEREMENNYH MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KON_@NKCII DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ OT TREH PEREMENNYH ZA S^ET WWEDENIQjDOPOLNITELXNYH PEREMENNYH uj oBOZNA^IM ^EREZ yi PEREMENNU@ ziILI zji W ZAWISIMOSTI OT TOGO KAK i Q KOMPONENTA zj WHODIT W RASSMATRIWAEMU@ DIZ_@NKTIWNU@ FUNKCI@ TOGDA POSLEDN@@ MOVNOZAPISATX KAK y1 _ y2 _ ::: _ yk I PRI k > ZAMENITX NA knfy1 _ y2 _ uj1 y3 _ uj1 _ uj2 y4 _ uj2 _ uj3 :::::: yk 2 _ ujk 4 _ ujk 3 yk 1 _ yk _ ujk 3)..,()-().,--;3()&()&(:)&&()&().oTMETIM ^TO DANNAQ ZAMENA NE QWLQETSQ \KWIWALENTNOJ dEJSTWITELXNO ESLI ISHODNAQ DIZ_@NKTIWNAQ FUNKCIQ RAWNQLASX NUL@ TO POSTROENNAQ knf RAWNA NUL@ PRI WSEH ZNA^ENIQH u NO ESLIISHODNAQ DIZ_@NKTIWNAQ FUNKCIQ RAWNQLASX TO NAJDETSQ TAKOEZNA^ENIE u ^TOBY knf RAWNQLASX |TOGO ODNAKO DOSTATO^NO DLQSOHRANENIQ OTWETA NA WOPROS O SU]ESTWOWANII WYPOLNQ@]EGO NABORA,.-,-,,1,,1.,,-.upravnenie 4.

zAWER[ITX DOKAZATELXSTWO Nr-POLNOTY ZADA^I 3-wyp (RASSMOTRETX SLU^AI k < ).2. uNIWERSALXNOSTX ZADA^ IZ KLASSA NPs NP POLNYH ZADA^ SO3(-)-STOIT W TOM ^TO OSNOWNYE NERE[ENNYE WOPROSY DLQ KLASSA NP NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH ZADA^ DOSTATO^NO RAZRE[ITX HOTQ BY DLQ ODNOJ NP POLNOJ ZADA^I ^TOBY POLU^ITX OTWET DLQ WSEGOKLASSA NP kROME UTWERVDENIQ ZDESX TAKVE WAVNOuTWERVDENIE 10. eSLI DLQ NEKOTOROJ NP POLNOJ ZADA^I p DOPOLNITELXNAQ K NEJ p PRINADLEVIT KLASSU NP TO NP co-NP,(-)-.-,6--,17=.dOKAZATELXSTWO. tAK KAK p 2 NPC TO 8p0 2 NP p0 / p0OTS@DA I p / p POLINOMIALXNOE SWEDENIE OSU]ESTWLQETSQ0 TOJ VEFUNKCIEJ SM OPREDELENIE nO p 2 NP ZNA^IT p 2 NPPO UTWERVDENI@ s U^ETOM PROIZWOLXNOSTI p0 2 NP POLU^ILI,,(|.6).,,^TO co-NP NP oBRATNOE WKL@^ENIE DOKAZYWAETSQ NA OSNOWANIIO^EWIDNOGO RAWENSTWA p pnAPOMNIM ^TO GIPOTEZA NP co-NP W NASTOQ]EE WREMQ KAVETSQ NEREALXNOJ REALXNAQ GIPOTEZA P NP\co-NP I WRQD LIDLQ KAKOJ LIBO NP POLNOJ ZADA^I UDASTSQ DOKAZATX PRINADLEVNOSTXKLASSU co-NP pO\TOMU DLQ KONKRETNOJ NEDERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ MASSOWOJ ZADA^I p2NP ESLI EE RE[ENIE PREDSTAWLQETINTERES IMEET SMYSL POPYTATXSQ DOKAZATX WKL@^ENIE p 2 NP T EEE HORO[U@ HARAKTERIZACI@ I ZATEM POSTROITX POLINOMIALXNYJALGORITM RE[ENIQ LIBO KOGDA UKAZANNOE WKL@^ENIE NE DOKAZYWAETSQ NADO POPROBOWATX POLINOMIALXNO SWESTI K p ODNU IZ IZWESTNYHNP POLNYH ZADA^ T E POKAZATX NP POLNOTU p I W SLU^AE USPEHAPODYSKIWATX PEREBORNU@ SHEMU RE[ENIQ U^ITYWAQ OGRANI^ENIQ NARAZMERNOSTX PRAKTI^ESKI RE[AEMYH INDIWIDUALXNYH ZADA^dOKAZATELXSTWO UNIWERSALXNOSTI p T E WKL@^ENIQ p2NPCUDAETSQ NE WSEGDA I W TEORII SLOVNOSTI BYL WWEDEN OB_EML@]IJNPC KLASS NP TRUDNYH ZADA^ SODERVA]IJp RASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQ KOTORYH DOKAZANO ^TO p0 / p0DLQ p 2 NPC NO NE POKAZANO ^TO p 2 NP W ^ASTNOSTI \TO ZADA^I5.,.=.,=-(-=),-.-,,(.

.),,-,-(. .-)().,. .,,-,1),,p2co-NPCp OPTIMIZACII DLQ KOTORYH SOOTWETSTWU@]IE p RASPOZNA,,(,);2)WANIQ SWOJSTWx,POLNY NAPRIMER ZADA^A KOMMIWOQVERA IZ PNP-(,-.11);I OSTALXNYE MASSOWYE ZADA^I NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQSWOJSTW K KOTORYM SWODQTSQ PO tX@RINGU KAKIE LIBO NP POLNYEZADA^I p0 2 NPC GDE SWODIMOSTX PO tX@RINGU p0 /T p OZNA^AET ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ POLINOMIALXNOGO ALGORITMA RE[ENIQ pSLEDUET SU]ESTWOWANIE POLINOMIALXNOGO ALGORITMA I DLQ p0zADA^I p NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQ KOTORYH9p0 2 NPC p0 /T p I 9p00 2 NP p /T p00 NAZYWA@TSQ ZADA^AMI IZ KLASSA NP \KWIWALENTNYH3)(),-,-||-,.(),::-.18,-wSE RASSMOTRENNYE NAMI KLASSY ZADA^ p KLASSY SLOVNOSTIWKL@^A@TSQ W OB]IJ KLASS PSPACE MASSOWYH ZADA^ NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQ RE[ENIQ KOTORYH SU]ESTWU@TALGORITMY TREBU@]IE NE BOLEE ^EM POLINOMIALXNOJ PAMQTI wOPROS O RAWENSTWE P I PSPACE QWLQETSQ OTKRYTYM rABO^AQ GIPOTEZA SOSTOIT W NALI^II STROGOGO WKL@^ENIQ PPSPACE PRI\TOM NP POLNYE NP TRUDNYE I NP \KWIWALENTNYE ZADA^I DOLVNYWKL@^ATXSQ W PSPACE n P sOOTWETSTWU@]U@ DIAGRAMMU WZAIMOSWQZI KLASSOW SLOVNOSTI SM W SzAMETIM ^TO TEORETI^ESKI RASSMOTRENNU@ SHEMU POSTROENIQKLASSOW SLOVNOSTI MOVNO PRIMENQTX I DLQ DRUGIH SHEM KLASSIFIKACII W ^ASTNOSTI WWODQT TAKVE KLASS PSPACE POLNYH ZADA^ K KOTORYM POLINOMIALXNO SWODITSQ L@BAQ ZADA^A IZ KLASSA PSPACEkROME POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI MOVNO ANALOGI^NO GOWORITX OLOGARIFMI^ESKOJ SWODIMOSTI O ZADA^AH TREBU@]IH LOGARIFMI^ESKOJ PAMQTI I T P w NASTOQ]EE WREMQ NAIBOLEE INTENSIWNO IZU^AEMYM ZDESX OKAZYWAETSQ KLASS NCAWTORZADA^ RE[AEMYH ZA WREMQ OGRANI^ENNOE POLINOMOM OT LOGARIFMADLINY WHODA I TREBU@]IH POLINOMIALXNOJ PAMQTI LOGARIFMI^ESKOE WREMQ PRI WOZMOVNOSTI POLINOMIALXNOGO ^ISLA PROCESSOROWk SOVALENI@ IZLOVENIE POLU^ENNYH DLQ NC REZULXTATOW WYHODITZA RAMKI WWEDENIQ W TEORI@ SLOVNOSTI3 rANEE UVE OTME^ALOSX ^TO S PRAKTI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ RAZNICA MEVDU POLINOMIALXNYM ALGORITMOM DLQ POLINOMOW WYSOKIHSTEPENEJ I \KSPONENCIALXNYM WESXMA USLOWNA A WSE DELO W WOZMOVNOSTI ILI NEWOZMOVNOSTI IZBEVATX POLNOGO PEREBORA wOPROS WSE LINP POLNYE I NP TRUDNYE ZADA^I TRUDNY DLQ PRAKTI^ESKOGO S^ETAMY OBSUDIM NIVE W \TOM PARAGRAFErASSMOTRIM SAMU@ PROSTU@ PO FORMULIROWKE NP TRUDNU@ ZADA^U ZADA^U O R@KZAKE zr ZAKL@^A@]U@SQ W TOM ^TOBY IZIME@]EGOSQ NABORA POLEZNYH WE]EJ SOBRATX R@KZAK OGRANI^ENNOGOOB_EMA S NAIBOLX[EJ POLXZOJ fORMALXNO TREBUETSQ NAJTI|(-),,..--,-,--.

Характеристики

Список файлов лекций