Н.М. Новикова - Курс лекций (1125270), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

oT SISTEMY ln PEREHODIM K OGRANI^ENIQM W KANONI^ESKOJ FORME ANALOGI^NO UPRAVNENIQMuTWERVDENIE 5. zADA^A lp \KWIWALENTNA POISKU NEOTRICATELXNOGO NENULEWOGO RE[ENIQ ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJdOKAZATELXSTWO. nA OSNOWANII UTWERVDENIQ OZlp SWODITSQK NEKOTOROJ SISTEME ln S CELYMI KO\FFICIENTAMI OTNOSITELXNOWEKTORA WE]ESTWENNYH NEIZWESTNYH y-.(8)-5,7.-.4():Py q; y ;MATRICA K NwWEDEM PARAMETR R MAVORI^0= ^(9)PUSTX PRU@]IJ KOORDINATY KAKOGO TO RE[ENIQPO TEOREME O GRANICAHRE[ENIJ ESLI SISTEMA RAZRE[IMA dOBAWIM K NERAWENSTWO^ |((^,1)).-hy; ei y1 ::: yN 1 NR;),(9).=-(9) (+(9)^+KOTOROE PREWRATIM W RAWENSTWO S POMO]X@ DOPOLNITELXNOJ PEREMENNOJ yN hy; ei y1 ::: yN 1 yN NR A PEREPI[ETSQ KAKP j y q; y tEPERX SDELAEM ZAMENU PEREMENNYH x y=R IOBOZNA^IM P : NR P jqjqj ::: jq pRIDEM K ODNORODNOJ SISTEMES DOPOLNITELXNYMI OGRANI^ENIQMI x x1 ;:::;xN Pxhx; ei N ^TO SOOTWETSTWUET SISTEME Px ; x ; hx; ei > SRE[ENIQMI LU^AMI tx0 8t > L@BOE IZ KOTORYH PERES^ITYWAETSQW RE[ENIE ISHODNOJ SISTEMYG wOSPOLXZUEMSQ2 mETOD kARMARKARAUTWERVDENIEM I: OBOZNA^ENIQMI WWEDENNYMI PRI EGO DOKAZATELXSTWE pUSTX p xhp1;xi 2 ::: hpK ;xi 2 GDE pi STROKI PtOGDA p x\KWIWALENTNO PxwWEDEM FUNKCI@ kARMARKARA:^=[^ 0] ^ = ^+++=^,0.^:= ^^[ ^ 0]=[^ ^= (= 0,-^^].= 0=-(9)0,)000,..(N.

Karmarkar, 19845.((.).,) = ()+-+ () ,|.= 0.) = 0N=2k x : x1xp2 x ::: xN :() =[ ()]pRIMENQQ TEOREMU I ALGORITM OKRUGLENIQ K ZADA^E RE[ENIQMOVNO POKAZATX ^TO DLQ TO^NOGO EE RE[ENIQ DOSTATO^NO NAJTI TAKOJx > DLQ KOTOROGO k x = P N SpOLINOMIALXNYJ ALGORITM POISKA NUVNOGO PRIBLIVENNOGO xPRIWODITSQ W SI MY NE BUDEM EGO OPISYWATX oTMETIM2(9),,^0,( ^)1 [3(( ^ ))] [3,. 25{26].^[3,. 26{28],.37TOLXKO ^TO ANALOGI^NYJ ALGORITM MOVET BYTX POSTROEN NA OSNOWANII PRIMENENIQ METODA nX@TONA SM W RAZD K ZADA^E MINIMIZACII FUNKCII kARMARKARA ILI EJ PODOBNYH w REZULXTATE POLU^AEMCELYJ KLASS POLINOMIALXNYH ALGORITMOW lp KOTORYE NA PRAKTIKE OKAZYWA@TSQ SRAWNIMYMI S SIMPLEKS METODOM NE IMEQ TEORETI^ESKIH NEDOSTATKOW POSLEDNEGO pREDLOVENNYE ALGORITMY STROQTSQNA PRINCIPIALXNO NOWOJ IDEE NE DISKRETNOJ A NEPRERYWNOJ TRAKTOWKI ZADA^I lp KOGDA WMESTO PEREBORA KONE^NOGO ^ISLA UGLOWYHTO^EK OSU]ESTWLQ@T POISK RE[ENIQ W ISHODNOM PROSTRANSTWE WE]ESTWENNYH PEREMENNYH I TRAEKTORII ALGORITMOW NE PROHODQT ^EREZUGLOWYE TO^KI nAPOMNIM ^TO METOD \LLIPSOIDOW TAKVE NE ORIENTIRUETSQ NA UGLOWYE TO^KI MNOGOGRANNIKA OGRANI^ENIJ hARAKTERNO^TO IMENNO TAKOJ UHOD OT DISKRETNOGO PROGRAMMIROWANIQ POZWOLILPOSTROITX POLINOMIALXNYE ALGORITMY lp pO\TOMU DALEE BUDET DANNEKOTORYJ OBZOR OSNOWNYH PODHODOW K RE[ENI@ NEPRERYWNYH ZADA^OPTIMIZACIIzAME^ANIE.

eSLI BY RE^X [LA O NEPOSREDSTWENNOM POISKE TO^NOGO RE[ENIQ ZADA^I lp UKAZANNYMI METODAMI TO NELXZQ BYLO BY GARANTIROWATX KONE^NO[AGOWOSTX NE TO ^TO POLINOMIALXNOSTX SOOTWETSTWU@]IH ALGORITMOW dLQ IH PRIMENENIQ SU]ESTWENNOJ QWLQETSQ WOZMOVNOSTX OSTANOWKI W PRIBLIVENNOM RE[ENII BLAGODARQ NALI^I@ POLINOMIALXNOGO ALGORITMA OKRUGLENIQ nO POSKOLXKU DLQ EGORABOTY TREBUETSQ NA^ALXNOE PRIBLIVENIE IZ OPREDELENNOJ OKRESTNOSTI RE[ENIQ ZAWISQ]EJ OT DLINY l ILI WYSOTY h ILI DLINYWHODA L KONKRETNOJ ZADA^I lp TO I ^ISLO ITERACIJ ALGORITMOW BAZIRU@]IHSQ NA RASSMATRIWAEMOM PRINCIPE ZAWISIT OT ^ISLA CIFR WZAPISI \LEMENTOW MATRICY OGRANI^ENIJ tAK ^TO NE UDAETSQ ISPOLXZOWATX DANNU@ IDE@ DLQ POSTROENIQ SILXNOPOLINOMIALXNYH ALGORITMOW lp KROME KAK W ^ASTNYH SLU^AQH OGRANI^ENNOSTI \LEMENTOWMATRICY NAPRIMER W ZADA^AH NA GRAFAH I SETQH GDE aij ; ,-(..3)-.,--,-.:,-,-,.,-.,..-,(-,)-.--.-,,,,-,.--,(,,38= 01).3.|lementy matemati~eskogoprogrammirowaniq (mp)lITERATURA:4.

kARMANOW w. g. mATEMATI^ESKOE PROGRAMMIROWANIE. m.: nAUKA,1986.sUHAREW a g tIMOHOW a w fEDOROW w w kURS METODOWOPTIMIZACII m nAUKAmINU m mATEMATI^ESKOE PROGRAMMIROWANIE m nAUKA5...6..,..:..,.., 1985..x8. OBZOR IDEJ mp.:, 1990.kLASSIFIKACIQ ZADA^ mp. pREIMU]ESTWA WYPUKLOGO SLU^AQ.pONQTIE O GRADIENTNYH I nX@TONOWSKIH METODAH MINIMIZACII.uSLOWNAQ OPTIMIZACIQ, SPOSOBY OSWOBOVDENIQ OT OGRANI^ENIJ(METODY BARXEROW I [TRAFOW).1. zADA^A lp, KAK I ZADA^A MINIMIZACII FUNKCII kARMARKARA,QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM ZADA^I mr:zDESX TREBUETSQ NAJTIf (x):xmin2X(1)f (x); T:E:x2X f (x) 2 Arg xmin2Xarg minx 2 X : fx 2 X j f x f x 8x 2 X g; I f f x :f ZNA^ENIE ILIl@BOJ TAKOJ x NAZYWAETSQ RE[ENIEMX MNOOPTIMALXNOE ZNA^ENIE CELEWOJ FUNKCII f W ZADA^EVESTWO OGRANI^ENIJ ILI DOPUSTIMOE MNOVESTWOw ZAWISIMOSTI OT PRIRODY MNOVESTWA X ZADA^I OPTIMIZACIIX KONE^KLASSIFICIRU@TSQ KAK DISKRETNYE KOMBINATORNYENO ILI S^ETNO CELO^ISLENNYE xj 2 Z BULEWY xj 2 B WEX Rn BESKONE^NOMERNYE ILI W]ESTWENNYE NEPRERYWNYEFUNKCIONALXNOM PROSTRANSTWE NAPRIMER KOGDA X PODMNOVESTWO=()()=(1);()|(2)(1),(1),-|.:(,() ||,) |-|,-,,,|GILXBERTOWA PROSTRANSTWA L2 I T P w DANNOM RAZDELE BUDEM PO PREIMU]ESTWU RASSMATRIWATX ZADA^I S WE]ESTWENNYMI PEREMENNYMIKOTORYE SOBSTWENNO I NAZYWA@TSQ TRADICIONNO ZADA^AMI MATEMATI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ (zmp) eSLI X Rn TO GOWORIM OZADA^E USLOWNOJ OPTIMIZACII PRI USLOWII x 2 X INA^E X RnPOLU^AEM ZADA^U BEZUSLOWNOJ OPTIMIZACII,.

.,().,(),.39(=)dLQ zmp MINIMUM W DOSTIGAETSQ W USLOWIQH TEOREMY wEJER[TRASSA f NEPRERYWNA X KOMPAKTNO ILI DLQ NEKOTOROGO x 2 XOGRANI^ENO MNOVESTWO lEBEGA FUNKCII f fx 2 X jf x f x gkROME RAZDELENIQ NA USLOWNYE I BEZUSLOWNYE zmp KLASSIFICIRU@TSQ PO SWOJSTWAM CELEWOJ FUNKCII I MNOVESTWA OGRANI^ENIJ SOOTWETSTWENNO NA ZADA^I lp WYPUKLOGO PROGRAMMIROWANIQ GLADKIEILI NEGLADKIE I DR dLQ KAVDOGO IZ KLASSOW zmp RAZRABATYWA@TSQ SWOI ^ISLENNYE METODY IH RE[ENIQ s TO^KI ZRENIQ ^ISLENNYHMETODOW SU]ESTWENNO TAKVE RAZDELENIE NA LOKALXNU@ I GLOBALXNU@OPTIMIZACI@ w OPREDELENII RE^X IDET O GLOBALXNOM MINIMUMEKOTORYJ ODNAKO NAJTI NE PROSTO I PO\TOMU ZADA^U STARA@TSQ SWESTI K DISKRETNOJ OPTIMIZACII NA MNOVESTWE LOKALXNYH MINIMUMOWTO^KOJ LOKALXNOGOoPREDELENIE 1.

tO^KA x0 2 X NAZYWAETSQMINIMUMA W zmpESLI 9" >f x0 f x 8x 2 X \ O" x0zDESX I DALEE O" x OBOZNA^AET " OKRESTNOSTX TO^KI xdLQ POISKA LOKALXNOGO MINIMUMA PRIMENQ@TSQ SPECIALXNYE METODY KOTORYE PRI OPREDELENNYH PREDPOLOVENIQH OKAZYWA@TSQ \FFEKTIWNYMI tOGDA KAK OB]AQ ZADA^A GLOBALXNOJ OPTIMIZACII QWLQETSQ NP TRUDNOJ dEJSTWITELXNO K NEJ SWODITSQ NP POLNAQuTWERVDENIE 1. cln/zmpdOKAZATELXSTWO. pOSKOLXKU ZADA^A ln QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM ZADA^I lp TO DLQ SWEDENIQ cln K zmp DOSTATO^NO PREDSTAWITX USLOWIE CELO^ISLENNOSTI PEREMENNYH W WIDE OGRANI^ENIJNERAWENSTW NA WE]ESTWENNYE PEREMENNYE ^TO NETRUDNO SDELATXNAPRIMER TAK fxj 2 Zg \KWIWALENTNO fxj 2 Rj 2 xj gpO\TOMU METODY GLOBALXNOJ OPTIMIZACII BUDUT RASSMOTRENY WRAZD A W DANNOM PARAGRAFE OSTANOWIMSQ NA POISKE LOKALXNOGO \KSTREMUMA oTMETIM ^TO DLQ RQDA \KSTREMALXNYH POSTANOWOK ZADA^FIZIKI TO^KI LOKALXNOGO \KSTREMUMA IME@T SAMOSTOQTELXNOE ZNA^ENIE kROME TOGO SU]ESTWUET CELYJ KLASS zmp DLQ KOTOROGO LOKALXNYJ \KSTREMUM SOWPADAET S GLOBALXNYM MINIMUMOM \TO ZADA^IWYPUKLOGO PROGRAMMIROWANIQf NAZYWAETSQ WYPUKLOJ NA X ESLI EEoPREDELENIE 2.

fUNKCIQ:NADGRAFIKX f f x;y j y f x ; x 2 X g WYPUKLOE MNOVESTWO fUNKCIQ WYPUKLAQ NA WSEJ OBLASTI OPREDELENIQ NAZYWAETSQWYPUKLOJ mNOVESTWO NAZYWAETSQ WYPUKLYM ESLI WMESTE S L@BYMI(1)(-,^|()( ^) ).,--,,.-..(2),,,,-.(1),(0 :)()()(-)..-,-.--.-..-,(-),,,:sin ()0 ..4,-.,-.,,-,|.,epigraf.=()()|,-,.,40DWUMQ SWOIMI TO^KAMI ONO SODERVIT OTREZOK IH SOEDINQ@]IJuTWERVDENIE 2. l@BAQ TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA WYPUKLOJFUNKCII QWLQETSQ TO^KOJ EE GLOBALXNOGO MINIMUMAdOKAZATELXSTWO.

pUSTX f0 x0 > f x tOGDA f x0 > f x DLQWSEH TO^EK x POLUINTERWALA x ;x PO OPREDELENI@ A ZNA^IT IW NEKOTOROJ OKRESTNOSTI x0 PROTIWORE^IE S OPREDELENIEMdLQ RE[ENIQ ZADA^ WYPUKLOGO PROGRAMMIROWANIQ PRIMENIM METOD \LLIPSOIDOW PRI^EM W GLADKOM SLU^AE OTSE^ENIE POLU\LLIPSOIDA PROWODITSQ NA OSNOWE GRADIENTA NEWYPOLNENNOGO OGRANI^ENIQW POLNOJ ANALOGII S ALGORITMOM IZ x pO\TOMU ZADA^A POISKA "PRIBLIVENNOGO RE[ENIQ ZADA^I WYPUKLOGO PROGRAMMIROWANIQ OKAZYWAETSQ POLINOMIALXNO RAZRE[IMOJ dLQ OSTRYH ZADA^ WYPUKLOGOPROGRAMMIROWANIQ KOGDA FUNKCIQ CELI UBYWAET W OKRESTNOSTIMINIMUMA NE MEDLENNEE NEKOTOROJ LINEJNOJ FUNKCII MOVNO POLU^ITX I TO^NOE RE[ENIE2.

oB]IMI METODAMI LOKALXNOJ OPTIMIZACII DLQ PROIZWOLXNOGO NE OBQZATELXNO WYPUKLOGO SLU^AQ QWLQ@TSQ METODY LOKALXNOGOSPUSKAoPREDELENIE 3. wEKTOR h 2 Rn NAZYWAETSQ NAPRAWLENIEM UBYWANIQ FUNKCII f W TO^KE x ESLI f x h < f x DLQ WSEH DOSTATO^NOMALYH >uTWERVDENIE 3. pUSTX f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x tOGDAESLI h f x ;hi < TO h NAPRAWLENIE UBYWANIQ FUNKCII f WTO^KE x A ESLI h NAPRAWLENIE UBYWANIQ FUNKCII f W TO^KE x TO,..()((]).(()()2),,|1.-,-6.--.||-.(,,-).,(+)()0..grad()h f x ;hi 0,,grad(),||,0.dOKAZATELXSTWO. iZ USLOWIQ DIFFERENCIRUEMOSTI f IMEEM DLQf x h f x h f x ;hi o fh f x ;hi o =g o^EWIDNO POSLEDNQQ DOBAWKA NE IZMENITDOSTATO^NO MALYH >grad()+(0:)(+).() =grad()+() =,ZNAKA WYRAVENIQ W FIGURNYH SKOBKAH ESLI SKALQRNOE PROIZWEDENIESTROGO OTRICATELXNO ILI STROGO POLOVITELXNO oTS@DA AWTOMATI^ESKI WYTEKAET TREBUEMOE UTWERVDENIEtAKIM OBRAZOM NAPRAWLENIE LOKALXNOGO UBYWANIQ DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII DOLVNO SOSTAWLQTX OSTRYJ UGOL S EE ANTIGRADIENTOM KOTORYJ QWLQETSQ W SMYSLE LINEJNOGO PRIBLIVENIQ NAILU^[IMNAPRAWLENIEM UBYWANIQ dLQ MNEMONIKI PRIWEDEM \PIGRAF K GLAWEPOSWQ]ENNOJ GRADIENTNYM METODAM MINIMIZACII IZ GO IZDANIQ,.-.,--,.,,411-KNIGI f.

p. wASILXEWA ~ISLENNYE METODY RE[ENIQ \KSTREMALXNYHZADA^: \wOT KTO-TO S GORO^KI SPUSTILSQ | ANTIGRADIENT!"eSLI gradf (x) = 0, TO x BUDET STACIONARNOJ TO^KOJ. oTMETIM,^TO W USLOWNOJ OPTIMIZACII RAWENSTWO NUL@ GRADIENTA UVE NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM MINIMUMA (SOOTWETSTWU@]IE USLOWIQBUDUT RASSMOTRENY W x9). nO W BOLEE PROSTOM SLU^AE X = Rn MOVNO,DWIGAQSX NEBOLX[IMI [AGAMI W NAPRAWLENII ANTIGRADIENTA FUNKCII f W TEKU]EJ TO^KE, PRIJTI W STACIONARNU@ TO^KU, KAK PRAWILO,LOKALXNOGO MINIMUMA. tAK MY POLU^AEM IDE@ GRADIENTNOGO METODABEZUSLOWNOJ MINIMIZACII, ZADAWAEMOGO ITERATIWNOJ PROCEDUROJxt+1 = xt tgradf (xt); t = 1; 2;:::; 8x1 2 Rn:pARAMETR t NAZYWAETSQ [AGOWYM MNOVITELEM I MOVET WYBIRATXSQ,ISHODQ IZ RAZLI^NYH SOOBRAVENIJ, RAZNYMI SPOSOBAMI.1) pASSIWNYE SPOSOBY | ft g WYBIRAETSQ ZARANEE.pOSTOQNNYJ [AG | t = 0 DLQ DOSTATO^NO MALYH 0 .uBYWA@]IJ[AG (ESLI 0 NE IZWESTNO ILI PRI NALI^II POMEH) |t # 0; P t = 1; P 2t < 1, NAPRIMER t = 1=t.t2) aDAPTIWNYE SPOSOBY | ft g ZAWISIT OT REALIZU@]EJSQ fx g.ttmETOD SKOREJ[EGO SPUSKA | t 2 Arg min>0 f (x gradf (x )):mETOD DROBLENIQ [AGA (DELENIQ POPOLAM) | ESLI f (xt+1 ) > f (xt ), TOWOZWRAT K t-J ITERACII S t := t =2.

Характеристики

Список файлов лекций