Н.М. Новикова - Курс лекций (1125270), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

.|(3),RAWENSTWA i OPREDELIM MNOVESTWO KONUS.())0G x : fy 2 Rnj hrgj x ;yi 8j 2 J x g:oPREDELENIE 6. mNOVESTWO X DLQ OGRANI^ENIJ NERAWENSTWNAZYWAETSQ REGULQRNYM W TO^KE x 2 X ESLI G x K X;xtEOREMA 2 NEOBHODIMYE USLOWIQ LOKALXNOGO MINIMUMA S OGRANI^ENIQMI NERAWENSTWAMI pUSTX FUNKCII f; gi 8i 2 M DIFFERENCIRUEMY PO aDAMARU X 6 ;; x0 TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA fW ZADA^EI MNOVESTWO X REGULQRNO W TO^KE x0 tOGDA9j rff x0 X j gj x0 g :() =(()(3),()().(-).,-=|(1),(3).0 :()+(j2J (x0 ))= 0(5)dOKAZATELXSTWO. pO TEOREME I IZ OPREDELENIQ REGULQRNOSTIX W x0 SLEDUET 0 ^TO hrf x0 ;yi 0 DLQ WSEH y UDOWLETWORQ@]IHUSLOWI@ hrgj x ;yi 8j 2 J x zNA^IT PO OPREDELENI@ xLINEJNOE NERAWENSTWO hrf x0 ;yi QWLQETSQ SLEDSTWIEM SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTW fhrgj x0 ;yi 8j 2 J x0 g pRIWEDQ\TO NERAWENSTWO K STANDARTNOMU WIDU h rf x0 ;yi I PRIMENIW1,(())00(()9j ,3-)0(x POLU^IM ^TOrf x0 X j rgj x0 :(( 7),0 :(7,0(AFINNU@ LEMMU fARKA[A,).)) .0,) =(j2J (x0 ))tAKIM OBRAZOM DLQ REGULQRNYH OGRANI^ENIJ NEOBHODIMYM USLOWIEM LOKALXNOGO MINIMUMA W GLADKOJ ZADA^EQWLQETSQ RAWENSTWO NUL@ DIFFERENCIALA FUNKCII W FIGURNYH SKOBKAH W DLQHOTX KAKIH NIBUDX j ~TOBY NE ZAPISYWATX W QWNOM WIDE MNOVESTWO AKTIWNYH OGRANI^ENIJ WWODQT FUNKCI@ lAGRANVA,-(1),(3)-(5)-0.L ;x : f x() =(-,)+j gj x : f x h;g x0 ij 2MGDE WEKTOR FUNKCIQ g : gj j j 2 MX() =()+()REGULQRNOJ ZADA^IiZ TEOREMY SLEDUET ^TO RAWENSTWO NUL@ DIFFERENCIALA FUNKCII lAGRANVA DLQ j TAKVE QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM()(1),(3),2,-048( ) = (( )).-LOKALXNOGO MINIMUMA W REGULQRNOJ ZADA^EIBO MNOVITELIlAGRANVA j SOOTWETSTWU@]IE NEAKTIWNYM OGRANI^ENIQM MOVNOWZQTX RAWNYMI NUL@ pOSLEDNEE USLOWIE ZAPISYWAETSQ KAK(1),(3),,,.h;g x0 i()= 0(6)I NAZYWAETSQ USLOWIEM DOPOLNQ@]EJ NEVESTKOSTI iTAK DOKAZANAtEOREMA 3 (PRINCIP OPTIMALXNOSTI lAGRANVA) w PREDPOLOVENIQH TEOREMY DLQ ZADA^ISU]ESTWUET NEOTRICATELXNYJWEKTOR MNOVITELEJ lAGRANVA TAKOJ ^TO DLQ x0 WYPOLNENYUSLOWIQ OPTIMALXNOSTI rx L x0 ;IdLQ WYPUKLYH ZADA^DANNYE NEOBHODIMYE USLOWIQ QWLQ@TSQ W REGULQRNOM SLU^AE I DOSTATO^NYMI I MOVET BYTX DOKAZANAFUNKCIItEOREMA 4 kUNA, tAKKERA eSLI W ZADA^Ef;gj 2 C1 Rn WYPUKLY I MNOVESTWO X REGULQRNO W L@BOJ TO^KE TO xTO^KA OPTIMUMA W \TOJ ZADA^E TOGDA I TOLXKO TOGDAKOGDA W NEJ WYPOLNENY USLOWIQ OPTIMALXNOSTI DLQ dOKAZATELXSTWO.

nEOBHODIMOSTX SLEDUET IZ PREDYDU]IH TEOREM POKAVEM DOSTATO^NOSTX dLQ DANNOGO W TO^KE x WYPOLNENOUSLOWIE \KSTREMALXNOSTI x DLQ FUNKCII L ; s U^ETOM NEOTRICATELXNOSTI \TA FUNKCIQ WYPUKLA PO x ZNA^IT x QWLQETSQ TO^KOJEE MINIMUMA SM UTWERVDENIE x oTS@DA I IZ USLOWIQ DOPOLNQ@]EJ NEVESTKOSTIPOLU^IM ^TO f x f x h; g x i L x ; :L x; f x h;g x i f x 8x 2 X IBO gj x DLQ x UDOWLETWORQ@]IH OGRANI^ENIQM ^TO I TREBUETSQ W OPREDELENIIaNALOGI^NYE TEOREMAM UTWERVDENIQ SPRAWEDLIWY I DLQ SLU^AQ KOGDA X ZADAETSQ OGRANI^ENIQMI RAWENSTWAMI I DLQ SME[ANNYH SISTEM OGRANI^ENIJ RAWENSTW I NERAWENSTW gj x ; gi xtOLXKO NA SOOTWETSTWU@]IE OGRANI^ENIQM RAWENSTWAM MNOVITELIlAGRANVA i NE NADO NAKLADYWATX USLOWIQ NEOTRICATELXNOSTI ANA USLOWIE DOPOLNQ@]EJ NEVESTKOSTI \TI OGRANI^ENIQ NE WLIQ@TW SLU^AE OGRANI^ENIJ RAWENSTW WOOB]E OPUSKAEM I PRIHODIM KKLASSI^ESKOMU PRAWILU MNOVITELEJ lAGRANVA2. tEPERX WSPOMNIM ^TO POLU^ENNYE USLOWIQ QWLQ@TSQ ZNA^IMYMI LI[X W PREDPOLOVENII REGULQRNOSTI OGRANI^ENIJ DLQ KOTOROGOOPREDELENIE NE DAET KONSTRUKTIWNOGO SPOSOBA PROWERKI w DANNOM.,.2-(1),(3)0,:,) = 0((6).(1),(3)-,((),).(1),(3))(-|,0.-,.().,(.2,() =()+(8).()(-,-) =())+((())=0(),),-(2).2{4-,-,:(-)0() = 0.-,(-(6)).,-,6.49PUNKTE BUDUT RASSMOTRENY NEKOTORYE DOSTATO^NYE USLOWIQ REGULQRNOSTI OGRANI^ENIJ NERAWENSTW DLQ GLADKIH ZADA^kROME G x OPREDELENNOGO W P 1 WWEDEM TAKVE MNOVESTWO-(3)(),..,()G0 x : fy 2 Rnj hrgj x ;yi < 8j 2 J x g;() =0()OTLI^A@]EESQ ZAMENOJ NESTROGOGO NERAWENSTWA STROGIM nO \TO MNOVESTWO UVE WKL@^AETSQ W KONTINGENTNYJ KONUSuTWERVDENIE 5.

w PREDPOLOVENII DIFFERENCIRUEMOSTI POaDAMARU ILI NEPRERYWNOJ DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCIJ gj ZADA@]IH OGRANI^ENIQ G0 x K X;x 8x 2 XdOKAZATELXSTWO OT PROTIWNOGO pUSTX SU]ESTWUET NAPRAWLENIE y 2 G0 x NE WHODQ]EE W K X;x T E DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI FIGURIRU@]EJ W OPREDELENII NAJDETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX t ;yt ! ;y x t yt 62 X SLEDOWATELXNO 8t 9 INDEKS jTAKOJ ^TO gj x t yt > wOZMOVNYH INDEKSOW KONE^NOE ^ISLO ARAZLI^NYH t BESKONE^NO MNOGO ZNA^IT NAJDETSQ OGRANI^ENIE PUSTXi E KOTOROE NARU[AETSQ BESKONE^NOE ^ISLO RAZ rASSMOTRIM SOOTWETSTWU@]U@ PODPOSLEDOWATELXNOSTX ftk g gi x tk ytk > I USTREMLQQ k ! 1 POLU^IM ^TO gi x nO IZ USLOWIQ x 2 X SPRAWEDLIWOOBRATNOE NERAWENSTWO OTKUDA SLEDUET RAWENSTWO T E i 2 J : x oDNAKO DLQ \TOGO i PO OPREDELENI@ BUDEM IMETX hrgi x ;yi.-.()(3),()((),((),-.).),,-.

.-5,()(+0(+):)+-,,0.,|,,,,- ,.:,,()(-+)0,-0.,,. .4(()).-=gi x y0 gi xg i x t k y t k gi x :k!1t k(;y !(+0;y )pRI[LI K PROTIWORE^I@ S y 2 G0 x:=(lim+)()0)=(lim(+)()0).oTS@DA POLU^AEM SLEDU@]EE USLOWIE REGULQRNOSTI:G x G0 x :() =()(7)zDESX I DALEE ^ERTA NAD MNOVESTWOM OBOZNA^AET EGO ZAMYKANIEuTWERVDENIE 6. w SDELANNYH PREDPOLOVENIQH USLOWIE OBESPE^IWAET REGULQRNOSTX X W TO^KE xdLQ DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NO ZAMETITX ^TO MNOVESTWOK X;x QWLQETSQ ZAMKNUTYM A WKL@^ENIE G0 x K X;x PRIWODIT K G0 x K X;x POSLE WZQTIQ OPERACII ZAMYKANIQ.(7)-)-.,(),()(())(.50uTWERVDENIE 7.

dOSTATO^NYM DLQ QWLQETSQG0 x 6 ;:DLQ ALGEBRAI^ESKOJ SUMMY G I G0 SLEdOKAZATELXSTWO. iZ00DUET G G G T E G G0 G0 A G0 DAET G G0 G iIZ LINEJNOSTI OPERATORA ZAMYKANIQ I ZAMKNUTOSTI G POLU^AEMdLQ WYPUKLYH X WYPOLNENIE I SLEDOWATELXNO REGULQRNOSTXW L@BOJ TO^KE OGRANI^ENIJ GARANTIRUETSQ USLOWIEM sL\JTERA9x0 2 X gi x0 < 8i 2 M lINEJNYE OGRANI^ENIQ WSEGDAREGULQRNY MNOVESTWO G SOWPADAET S KONTINGENTNYM KONUSOM HOTQ(7)() =(8)(8):+,. .-+0,+.(7).(8)()(:,,(3)()0).(),USLOWIE sL\JTERA ILI DLQ NIH MOVET NE WYPOLNQTXSQdRUGIE TIPY USLOWIJ REGULQRNOSTI A TAKVE USLOWIQ REGULQRNOSTI DLQ SME[ANNYH SISTEM OGRANI^ENIJ RAWENSTW I NERAWENSTWSM Ww ^ASTNOSTI KLASSI^ESKIM USLOWIEM REGULQRNOSTI DLQOGRANI^ENIJ RAWENSTW QWLQETSQ LINEJNAQ NEZAWISIMOSTX GRADIENTOWOGRANI^ENIJ W \KSTREMALXNOJ TO^KE(8).,.[4{6].-,-.upravnenie 8.

pOLU^ITX TEOREMU DWOJSTWENNOSTIlp KAK SLEDSTWIE TEOREMY kUNA-tAKKERA DLQ SLU^AQ OZlp().uSLOWIQ OPTIMALXNOSTI SLUVAT OSNOWNYM INSTRUMENTOM TEORETI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ ZADA^ USLOWNOJ OPTIMIZACII ~TOBY ^ISLENNO PRIBLIVENNO NAJTI USLOWNYJ \KSTREMUM S IH POMO]X@ PRIMENQ@T METODY BEZUSLOWNOJ OPTIMIZACII DLQ POISKA SEDLOWOJ TO^KIFUNKCII lAGRANVA ILI KOMBINIRU@T [TRAFNU@ FUNKCI@ S FUNKCIEJ lAGRANVA DLQ POLU^ENIQ TO^NOGO GLADKOGO [TRAFA k SOVALENI@ WSE \TI METODY OSTANAWLIWA@TSQ W PERWOM POPAW[EMSQ LOKALXNOM \KSTREMUME gLOBALXNYJ OPTIMUM MOVNO ISKATX PEREBIRAQ LOKALXNYE OPTIMUMY NO DLQ ZADA^ NEODNOMERNOJ MINIMIZACIINE PONQTNO KAK NAHODITX WSE LOKALXNYE OPTIMUMY nEKOTORYE IZSU]ESTWU@]IH PODHODOW K RE[ENI@ ZADA^ GLOBALXNOJ OPTIMIZACIIPRIWODQTSQ W SLEDU@]EM PARAGRAFE-.(-),--.-,-.,,,..51-4.sposoby re{eniq perebornyh zada~lITERATURA:pAPADIMITRIU h., sTAJGLIC k. kOMBINATORNAQ OPTIMIZACIQ.m.: mIR, 1985.6.

mINU m. mATEMATI^ESKOE PROGRAMMIROWANIE. m.: nAUKA, 1990.2.x10. gLOBALXNAQ OPTIMIZACIQ. mETOD WETWEJ I GRANICsLU^AJNYJ I POSLEDOWATELXNYJ PEREBOR. mETOD WETWEJ I GRANIC W GLOBALXNOJ OPTIMIZACII. oPISANIE I STRATEGII METODA.1. kAK UVE OTME^ALOSX RANEE, ZADA^I GLOBALXNOJ OPTIMIZACII(T.E. W NEWYPUKLOM SLU^AE ZADA^I OPTIMIZACII WOOB]E) QWLQ@TSQPEREBORNYMI. pEREBORNYE ALGORITMY NE \FFEKTIWNY (W RAS^ETE NAHUD[U@ ZADA^U), PO\TOMU USPEH W RE[ENII KAVDOJ KONKRETNOJ ZADA^I SU]ESTWENNYM OBRAZOM ZAWISIT OT SPOSOBA ORGANIZACII PEREBORA.eSLI MY GOTOWY OSTAWITX WOZMOVNOSTX ILI NEWOZMOVNOSTX RE[ENIQNA[EJ ZADA^I NA WOL@ SLU^AQ, TO ESTESTWENNO ISPOLXZOWATX SLU^AJNYJ PEREBOR. |TOT SPOSOB PEREBORA OBY^NO QWLQETSQ SAMYM PROSTYMI, KAK PRAWILO, \KONOMIT PAMQTX.

dLQ ZADA^I POISKA GLOBALXNOGO MINIMUMA EMU SOOTWETSTWUET SLEDU@]IJ METOD mONTE-kARLO.pUSTX RE[AETSQ ZADA^A (1) IZ x8, GDE (DLQ UPRO]ENIQ IZLOVENIQ)MNOVESTWO OGRANI^ENIJ X | EDINI^NYJ n-MERNYJ KUB. wYBIRAEM WSOOTWETSTWII S RAWNOMERNYM RASPREDELENIEM NA X SLU^AJNYE TO^KIxt, W KOTORYH WY^ISLQEM ZNA^ENIE CELEWOJ FUNKCII, ZAPOMINAEM TEKU]EE NAIMENX[EE ZNA^ENIE | REKORD | I REALIZU@]U@ EGO TO^KU.tOGDA 8" > 0 WEROQTNOSTXP(j min f (xt ) f j > ") ! 0 PRI t ! 1:tsHODIMOSTX TAKOGO METODA BUDET DOWOLXNO MEDLENNOJ. pRI \TOM NEIZWESTNO, NA KAKOM RASSTOQNII OT TO^KI MINIMUMA NAHODITSQ POLU^ENNAQ REALIZACIQ.sUZIM KLASS RASSMATRIWAEMYH ZADA^ (1), PREDPOLOVIW WDOBAWOKK PREDYDU]EMU, ^TO FUNKCIQ CELI LIP[ICEWA NA X S KONSTANTOJL: f 2Lip(X;L), T.E. jf (x) f (x0)j Lkx x0k 8x;x0 2 X .

i NERASS^ITYWAQ NAJTI TO^NOE RE[ENIE, ZADADIMSQ PODHODQ]IM " > 0 S52CELX@ POISKA " PRIBLIVENNOGO RE[ENIQ x" f x" f x " nABLIZOSTX x" I x NIKAKIH USLOWIJ NE NAKLADYWAETSQtEPERX MY MOVEM PRIMENQTX METODY DETERMINIROWANNOGO PEREBORA pASSIWNYJ NE ISPOLXZU@]IJ PRI WYBORE O^EREDNOJ TO^KIINFORMACI@ POLU^ENNU@ DLQ PREDYDU]IH SPOSOB POISKA PRIWOX NA PODKUBYX j TAK ^TOBYDIT K POLNOMU PEREBORU RAZOBXEM:jj008x;x 2 X kx x k "=L W KAVDOM X BEREM PROIZWOLXNU@TO^KU xj I POLAGAEM:-:()()+. (.)-.(,)-:,:=,f x"(j) = minf xj :()o^EWIDNO x" I ESTX ISKOMOE " PRIBLIVENNOE RE[ENIE dEJSTWITELXNO 8j; 8x 2 X j f x" f xj f x " PO USLOWI@ lIP[ICAI W ^ASTNOSTI DLQ x x IMEEM f x" f x " SOOTWETSTWIEpS OPREDELENIEM oDNAKO STORONA KAVDOGO j GO PODKUBA RAWNA"= L n A WSEGO PODKUBOW I SLEDOWATELXNO WY^ISLENIJ ZNA^ENIJ CELEWOJ FUNKCII BUDET Lpn=" n W L@BOM SLU^AE ^TO NE MYSLIMO DAVEDLQ DESQTKA PEREMENNYH pO\TOMU RAZRABATYWA@TSQ METODY POSLEDOWATELXNOGO PEREBORA POZWOLQ@]IE U^ITYWATX UVE WY^ISLENNYEZNA^ENIQ I ADAPTIROWATXSQ K NEHUD[EMU SLU^A@pREDPOLOVIM ^TO UVE WY^ISLENY ZNA^ENIQ FUNKCII W TO^KAHj 1 I REKORDNYM OKAZALOSX ZNA^ENIE f xr R tOGDA ESLIx1;:::;xjf xr < f xr TO OBNOWLQEM REKORD r j; R f xj A ESLI f xj >f x :TO MOVNO NE WY^ISLQTXZNA^ENIJ FUNKCII NA MNOVESTWETj R fx 2 X kx xj k jf xj R =Lg TAKj KAK \TOjNE DASTr NOWOGO REKORDA IBO 8x 2 Tr f x f x Lkx x k f x f x T Ef x f xr R I ZNA^IT SREDI NIH NET GLOBALXNO OPTIMALXNOGORE[ENIQ oBNOWLENIE REKORDA W PRINCIPE POZWOLQET OTBROSITXANALOGI^NYE MNOVESTWA Ti R DLQ i ;:::;jeSTESTWENNO W Ti ; Tj MOGUT POPASTX I TO^KI xk S UVE WY^ISLENNYM ZNA^ENIEM f xk KOTORYE TAKIM OBRAZOM WY^ISLQLISX ZRQ pO\TOMU HOTELOSX BY TAK ORGANIZOWATX PEREBOR ^TOBY PO WOZMOVNOSTIUMENX[ITX ^ISLO PODOBNYH ZRQ[NYH WY^ISLENIJ k SOVALENI@OPTIMALXNOJ STRATEGII ORGANIZACII PEREBORA DLQ MNOGOMERNYH ZADA^ NET iSPOLXZOWANIE SLU^AJNYH TO^EK xi PRIWODIT K PROBLEMEHRANENIQ I OBNOWLENIQ SLOVNOGO MNOVESTWA [Ti R ZAWEDOMO NE OPTIMALXNYH TO^EK mETOD POSLOJNOGO PEREBORA DAET WOZMOVNOSTX SOKRA]ENIQ LI[X PO ODNOJ PEREMENNOJ dLQ ZADA^ BOLX[OJ RAZMERNOSTI,-,(,,)()(=(-|-,)() +.)(.

Характеристики

Список файлов лекций